先放正确答案
∫
−
∞
+
∞
e
−
x
2
=
π
\int _{-\infin} ^{+\infin} e^{-x^{2}}=\sqrt{\pi}
∫−∞+∞e−x2=π
证法有许多 这是选自点我的一个证明方法。
首先要明确这是一个超越函数 求不了原函数
所以以下部分……纯属失败案例
注：原本在desmos上完成的推导，复制时可能会带上一点奇怪的写法。 f ( x ) = ∫ 0 x . . . d . . . f(x)=\int^{x}_{0}...d... f(x)=∫0x...d...就相当于 f ( x ) = ∫ . . . d x ( 字母替换为 x ) f(x)=\int...dx(字母替换为x) f(x)=∫...dx(字母替换为x)
纯理论上的原函数是这样的
f
(
x
)
=
∫
0
x
e
−
c
2
d
c
f\left(x\right)=\int_{0}^{x}e^{-c^{2}}dc
f(x)=∫0xe−c2dc相信不少人会构造一个
g
(
x
)
=
−
c
2
,
m
(
x
)
=
e
x
,
f
(
x
)
=
m
(
g
(
x
)
)
g(x)=-c^{2},m(x)=e^{x},f(x)=m(g(x))
g(x)=−c2,m(x)=ex,f(x)=m(g(x))然后求原函数…
我是令u=g( c )。则原积分需要进行转化
f
(
x
)
=
∫
0
−
x
2
e
u
−
(
(
x
∣
x
∣
)
−
4
u
)
d
u
f(x)=\int_{0}^{-x^2}\frac{e^{u}}{-\left(\left(\frac{x}{\left|x\right|}\right)\sqrt{-4u}\right)}du
f(x)=∫0−x2−((∣x∣x)−4u)eudu
一定有人问我这个分母是怎么得到的？
我只想说，这个算式你能否看懂？
g
−
1
(
x
)
=
−
x
g^{-1}(x)=\sqrt{-x}
g−1(x)=−x
……这个再看不懂回厂重造吧
然后我们知道du=g’(x)dx,u=g(x)。相应地，
d
x
=
d
u
g
′
(
x
)
,
x
=
g
−
1
(
u
)
dx=\frac{du}{g'(x)}\quad,x=g^{-1}(u)
dx=g′(x)du,x=g−1(u)
g
′
(
x
)
=
−
2
x
g'(x)=-2x
g′(x)=−2x
d
u
g
′
(
x
)
=
d
u
g
′
(
(
x
∣
x
∣
)
g
−
1
(
u
)
)
\frac{du}{g'(x)}=\frac{du}{g'((\frac{x}{|x|})g^{-1}(u))}
g′(x)du=g′((∣x∣x)g−1(u))du
有人问了：这个
(
x
∣
x
∣
)
(\frac{x}{|x|})
(∣x∣x)什么情况?它有势力有背景是判断x的正负号，因为g(x)会消掉x的正负号。（当然，x不能为0）
那么转化再带入一下：
f
(
x
)
=
∫
0
−
x
2
e
u
−
2
(
(
x
∣
x
∣
)
−
u
)
d
u
f(x)=\int_{0}^{-x^2}\frac{e^{u}}{-2\left(\left(\frac{x}{\left|x\right|}\right)\sqrt{-u}\right)}du
f(x)=∫0−x2−2((∣x∣x)−u)eudu
如果把2乘到根号里就得出上式了。
这个算式还能再整理一下
f
(
x
)
=
∫
0
−
x
2
x
∣
x
∣
e
u
−
2
−
u
d
u
f(x)=\int_{0}^{-x^{2}}\frac{x}{|x|}\frac{e^{u}}{-2\sqrt{-u}}du
f(x)=∫0−x2∣x∣x−2−ueudu
f
(
x
)
=
∫
0
−
(
x
2
)
x
∣
x
∣
e
u
−
u
2
u
d
u
f(x)=\int_{0}^{-\left(x^{2}\right)}\frac{x}{\left|x\right|}\frac{e^{u}\sqrt{-u}}{2u}du
f(x)=∫0−(x2)∣x∣x2ueu−udu
f
(
x
)
=
x
∣
x
∣
∫
0
−
(
x
2
)
e
u
−
u
2
u
d
u
f(x)=\frac{x}{\left|x\right|}\int_{0}^{-\left(x^{2}\right)}\frac{e^{u}\sqrt{-u}}{2u}du
f(x)=∣x∣x∫0−(x2)2ueu−udu
f
(
x
)
=
i
x
∣
2
x
∣
∫
0
−
(
x
2
)
u
−
½
e
u
d
u
f(x)=\frac{ix}{\left|2x\right|}\int_{0}^{-\left(x^{2}\right)}u^{-½}e^{u}du
f(x)=∣2x∣ix∫0−(x2)u−½eudu
根据
∫
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
x
f
(
x
)
g
(
x
)
−
∫
x
f
′
(
x
)
g
(
x
)
d
x
−
∫
x
f
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
∫f(x)g(x)dx=xf(x)g(x)-∫xf'(x)g(x)dx-∫xf(x)g'(x)dx
∫f(x)g(x)dx=xf(x)g(x)−∫xf′(x)g(x)dx−∫xf(x)g′(x)dx
∫
u
−
½
e
u
d
u
=
u
½
e
u
−
∫
u
(
u
−
½
)
′
e
u
d
u
−
∫
u
½
e
u
d
u
\int u^{-½}e^{u}du=u^{½}e^{u}-\int u(u^{-½})'e^{u}du-\int u^{½}e^{u}du
∫u−½eudu=u½eu−∫u(u−½)′eudu−∫u½eudu
u
e
u
−
∫
(
−
1
2
u
)
e
u
d
u
−
∫
u
e
u
d
u
\sqrt{u}e^{u}-\int (-\frac{1}{2\sqrt{u}})e^{u}du-\int \sqrt{u}e^{u}du
ueu−∫(−2u1)eudu−∫ueudu
……反正我是解不下去了，Desmos也不支持虚数，后面的也没办法验证，等再看~又是离题万里TAT
反正我本人想不到更好的方法了，但毕竟这个超越函数好像本身就难以求出原函数……遂告终
完
