各向异性含水层中地下水三维流基本微分方程的推导
参考文献：
- [1] 刘欣怡,付小莉.论连续性方程的推导及几种形式转换的方法[J].力学与实践,2023,45(02):469-474.
书接上回：
我们能得到三个方向的流入流出平衡方程：
∂
ρ
u
x
∂
x
d
x
d
y
d
z
\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}dxdydz
∂x∂ρuxdxdydz
∂
ρ
u
y
∂
y
d
x
d
y
d
z
\frac{\partial \rho u_y}{\partial y}dxdydz
∂y∂ρuydxdydz
∂
ρ
u
z
∂
z
d
x
d
y
d
z
\frac{\partial \rho u_z}{\partial z}dxdydz
∂z∂ρuzdxdydz
已知在dt时间内的流量变化率为:
∂
ρ
d
x
d
y
d
z
∂
t
\frac{\partial \rho \ dxdydz}{\partial t}
∂t∂ρ dxdydz
则表明净质量流量为：
(
∂
ρ
u
x
∂
x
+
∂
ρ
u
x
∂
x
+
∂
ρ
u
x
∂
x
)
d
x
d
y
d
z
(\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}+\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}+\frac{\partial \rho u_x}{\partial x})dxdydz
(∂x∂ρux+∂x∂ρux+∂x∂ρux)dxdydz
根据系统内的平衡
系统内质量的时间变化率
=
控制体内质量的时间变化率
+
通过控制面表面的净质量流量
系统内质量的时间变化率=控制体内质量的时间 变化率+通过控制面表面的净质量流量
系统内质量的时间变化率=控制体内质量的时间变化率+通过控制面表面的净质量流量
对于守恒型：
系统内质量的时间变化率=0
0 = ∂ ρ d x d y d z ∂ t + ( ∂ ρ u x ∂ x + ∂ ρ u x ∂ x + ∂ ρ u x ∂ x ) d x d y d z 0=\frac{\partial \rho \ dxdydz}{\partial t}+(\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}+\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}+\frac{\partial \rho u_x}{\partial x})dxdydz 0=∂t∂ρ dxdydz+(∂x∂ρux+∂x∂ρux+∂x∂ρux)dxdydz
化简为：
0
=
∂
ρ
∂
t
+
(
∂
ρ
u
x
∂
x
+
∂
ρ
u
x
∂
x
+
∂
ρ
u
x
∂
x
)
0=\frac{\partial \rho}{\partial t}+(\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}+\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}+\frac{\partial \rho u_x}{\partial x})
0=∂t∂ρ+(∂x∂ρux+∂x∂ρux+∂x∂ρux)
写成散度形式：
0
=
∂
ρ
∂
t
+
∇
(
ρ
u
)
0=\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla(\boldsymbol {\rho u})
0=∂t∂ρ+∇(ρu)
即可得到连续性方程
