隐式导数
前面我们学了如何求这些方程的导数：
y
=
x
3
+
1
or
y
=
x
sin
x
y = \sqrt{x^3+1} \quad \text{or} \quad y = x\sin x
y=x3+1ory=xsinx
但是如果是下面的方程，又该如何求导呢？
x
3
+
y
3
=
6
x
y
x^3 + y^3 = 6xy
x3+y3=6xy
这个方程的图像是这样的。
假设
y
y
y在
x
x
x是可导的，那么可以应用隐式求导：
x
3
+
[
f
(
x
)
]
3
=
6
x
f
(
x
)
x^3 + [f(x)]^3 = 6xf(x)
x3+[f(x)]3=6xf(x)
例一
(a) 如果
x
2
+
y
2
=
25
x^2 + y^2 = 25
x2+y2=25, 求
d
y
d
x
\frac{dy}{dx}
dxdy。
(b) 求圆上一点
(
3
,
4
)
(3,4)
(3,4)的切线。
解：
(a)
d
d
x
(
x
2
+
y
2
)
=
d
d
x
(
25
)
d
d
x
(
x
2
)
+
d
d
x
(
y
2
)
=
0
d
d
x
(
x
2
)
+
2
y
d
y
d
x
=
0
2
x
+
2
y
d
y
d
x
=
0
d
y
d
x
=
−
x
y
\begin{align*} \frac{d}{dx}(x^2 + y^2) &= \frac{d}{dx}(25)\\ \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) &= 0\\ \frac{d}{dx}(x^2) + 2y\frac{dy}{dx} &= 0\\ 2x+2y\frac{dy}{dx} &= 0\\ \frac{dy}{dx} &= -\frac{x}{y} \end{align*}
dxd(x2+y2)dxd(x2)+dxd(y2)dxd(x2)+2ydxdy2x+2ydxdydxdy=dxd(25)=0=0=0=−yx
(b)
d
y
d
x
=
−
3
4
\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}
dxdy=−43
因此
y
−
4
=
−
3
4
(
x
−
3
)
or
3
x
+
4
y
=
25
y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3) \quad \text{or} \quad 3x+4y = 25
y−4=−43(x−3)or3x+4y=25
例二
(a) 如果
x
3
+
y
3
=
6
x
y
x^3 + y^3 = 6xy
x3+y3=6xy，求
y
′
y'
y′。
(b) 求点
(
3
,
3
)
(3,3)
(3,3)上的切线。
(c) 在第一象限的哪个点的切线是水平的？
例三 求 sin ( x + y ) = y 2 cos x \sin(x+y) = y^2 \cos x sin(x+y)=y2cosx 的导数。
例四 求
x
4
+
y
4
=
16
x^4 + y^4 = 16
x4+y4=16 的二次导数。
解：
先求出
y
′
y'
y′
4
x
3
+
4
y
3
y
′
=
0
⇒
y
′
=
−
x
3
y
3
4x^3 + 4y^3y' = 0 \quad \Rightarrow \quad y' = -\frac{x^3}{y^3}
4x3+4y3y′=0⇒y′=−y3x3
再求
y
′
′
y''
y′′
y
′
′
=
d
d
x
(
−
x
3
y
3
)
=
−
y
3
(
d
/
d
x
)
(
x
3
)
−
x
3
(
d
/
d
x
)
(
y
3
)
(
y
3
)
2
=
−
y
3
⋅
3
x
2
−
x
3
(
3
y
2
y
′
)
y
6
\begin{align*} y'' &= \frac{d}{dx}(-\frac{x^3}{y^3}) = -\frac{y^3(d/dx)(x^3)-x^3(d/dx)(y^3)}{(y^3)^2}\\ &= -\frac{y^3\cdot 3x^2 - x^3(3y^2y')}{y^6} \end{align*}
y′′=dxd(−y3x3)=−(y3)2y3(d/dx)(x3)−x3(d/dx)(y3)=−y6y3⋅3x2−x3(3y2y′)
带入
y
′
y'
y′ 就有
y
′
′
=
−
y
3
⋅
3
x
2
−
x
3
3
y
2
(
−
x
3
y
3
)
y
6
=
−
3
(
x
2
y
4
+
x
6
)
y
7
=
−
3
x
2
(
y
4
+
x
4
)
y
7
\begin{align*} y'' &= -\frac{y^3\cdot 3x^2 - x^33y^2(-\frac{x^3}{y^3})}{y^6}\\ &= -\frac{3(x^2y^4+x^6)}{y^7} = -\frac{3x^2(y^4+x^4)}{y^7} \end{align*}
y′′=−y6y3⋅3x2−x33y2(−y3x3)=−y73(x2y4+x6)=−y73x2(y4+x4)
因为
x
4
+
y
4
=
16
x^4 + y^4 = 16
x4+y4=16 所以
y
′
′
=
−
3
x
2
(
16
)
y
7
=
−
48
x
2
y
7
y'' = -\frac{3x^2(16)}{y^7} = -48\frac{x^2}{y^7}
y′′=−y73x2(16)=−48y7x2
