三角形最小路径和

给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。

每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。

示例 1：

输入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
输出：11
解释：如下面简图所示：
2 
3 4
6 5 7
4 1 8 3
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

示例 2：

输入：triangle = [[-10]]
输出：-10

思路：状态转移方程

代码：

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int n = triangle.size();
        int[][] f = new int[n][n];
        f[0][0] = triangle.get(0).get(0);
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            f[i][0] = f[i - 1][0] + triangle.get(i).get(0);
            for (int j = 1; j < i; ++j) {
                f[i][j] = Math.min(f[i - 1][j - 1], f[i - 1][j]) + triangle.get(i).get(j);
            }
            f[i][i] = f[i - 1][i - 1] + triangle.get(i).get(i);
        }
        int minTotal = f[n - 1][0];
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            minTotal = Math.min(minTotal, f[n - 1][i]);
        }
        return minTotal; 
    }
}

方法二：动态规划 + 空间优化

可以将空间复杂度优化至 O(n)。

f[i][j] 只与 f[i−1][…] 有关，而与 f[i−2][…] 及之前的状态无关，因此我们不必存储这些无关的状态。具体地，我们使用两个长度为 n 的一维数组进行转移，将 i 根据奇偶性映射到其中一个一维数组，那么 i−1 就映射到了另一个一维数组。这样我们使用这两个一维数组，交替地进行状态转移。

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int n = triangle.size();
        int[][] f = new int[2][n];
        f[0][0] = triangle.get(0).get(0);
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            int curr = i % 2;
            int prev = 1 - curr;
            f[curr][0] = f[prev][0] + triangle.get(i).get(0);
            for (int j = 1; j < i; ++j) {
                f[curr][j] = Math.min(f[prev][j - 1], f[prev][j]) + triangle.get(i).get(j);
            }
            f[curr][i] = f[prev][i - 1] + triangle.get(i).get(i);
        }
        int minTotal = f[(n - 1) % 2][0];
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            minTotal = Math.min(minTotal, f[(n - 1) % 2][i]);
        }
        return minTotal;
    }
}