【数学建模】数据的无量纲化处理 2005建模A题:长江水质综合评价与预测

news2024/9/28 9:25:46

数据的无量纲化处理是一种统计学中的预处理技术，主要用于消除数据中的量纲影响，使得不同单位或量级的指标可以相互比较和结合。无量纲化通过调整数据的范围或尺度，使得数据集中的每个特征或变量处于相似的数值区间内。以下是几种常见的无量纲化处理方法：

极值化（Min-Max Scaling 或归一化 Normalization）：
$将数据缩放到[0, 1]或[-1, 1]的区间内，公式为： [ X_{\text{norm}} = \frac{X - X_{\text{min}}}{X_{\text{max}} - X_{\text{min}}} ]$
标准化（Standardization 或 Z-score normalization）：
均值化（Mean Normalization）：
$使数据具有零均值，但不一定单位方差，公式为： [ X_{\text{mean}} = \frac{X - \mu}{X_{\text{max}} - X_{\text{min}}} ]$

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在具体应用中，选择哪种无量纲化方法取决于数据的特点和后续分析的需求。例如，如果数据的分布未知或非正态，可能更倾向于使用极值化；如果数据的分布接近正态，则标准化可能更为合适。

示例：
假设我们有两个指标，一个是员工的年龄（范围从20到60），另一个是他们每天的步数（范围从5000到30000）。如果我们想对这两个指标进行比较，我们需要首先进行无量纲化处理。

对于年龄，假设最小值是20岁，最大值是60岁。使用极值化公式，我们可以将年龄缩放到[0, 1]的范围内。对于步数，同样地，我们可以用同样的方法进行缩放。这样，处理后的数据就可以在同一尺度上进行比较和分析了。

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在进行综合评价之前，确实需要对评价指标进行标准化处理，以消除不同量纲和量级的影响。这个过程称为无量纲化，它确保了所有指标可以在同一尺度上比较，避免了综合评价中的偏差。对于效益型、成本型和固定型指标，无量纲化的方式有所不同。

给定的实测数据矩阵 (X) 和评价标准矩阵 (Y) 如下所示：
$[ X = \begin{bmatrix} 130 & 10.3 & 0.35 & 2.76 \ 105 & 10.7 & 0.4 & 2.0 \ 20 & 1.4 & 4.5 & 0.22 \ 30 & 6.26 & 0.25 & 1.67 \ 20 & 10.13 & 0.5 & 0.23 \end{bmatrix}, Y = \begin{bmatrix} 4 & 23 & 110 & 660 \ 0.09 & 0.36 & 1.8 & 7.1 \ 12 & 2.4 & 0.55 & 19 \ 0.02 & 0.06 & 0.31 & 1.2 \ 0.1 & 0.1 & 0.1 & 0.1 \end{bmatrix} ]$

其中，(X) 表示实测数据，(Y) 表示评价标准。接下来，我们构建无量纲化后的实测数据矩阵 (A) 和等级标准矩阵 (B)。

无量纲化方法

对于 效益型指标，使用最大值标准化，即 (\frac{x_{ij}}{\max(x_j)})。

对于 成本型指标，使用最小值标准化，即 (\frac{x_{ij}}{\min(x_j)})。

对于 固定型指标，可以使用目标值标准化，即 (\left|\frac{x_{ij}-target_j}{target_j}\right|)，其中 (target_j) 是目标值。
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建立无量纲化矩阵

对于实测数据矩阵 (X) 中的每一列（即每一个评价指标），根据其属性应用上述方法进行无量纲化，得到无量纲化实测数据矩阵 (A)。

同样地，对评价标准矩阵 (Y) 进行相应的无量纲化处理，得到无量纲化等级标准矩阵 (B)。

例如，对于总磷（效益型指标），使用最大值标准化；对于 耗氧量（成本型指标），使用最小值标准化；对于 透明度 和总氨（假设为固定型指标），使用目标值标准化。

这样，通过无量纲化处理后，所有的指标都在同一尺度上，可以进行下一步的综合评价计算，比如使用加权平均法、TOPSIS法或其他多准则决策方法来得出最终的综合评价结果。

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要对湖泊水质的富营养化进行综合评价，我们首先需要分析给定的四个指标（总磷、耗氧量、透明度、总氨）对水质评价的影响。富营养化通常是由过量的营养物质，尤其是磷和氮，导致藻类过度生长引起的，这会影响水体的透明度和溶解氧水平。接下来，我们将依据给定的评价标准，对这四个指标进行分析，并对湖泊水质进行综合评价。

分析指标作用

总磷（Total Phosphorus）：总磷是富营养化的主要驱动因素，高浓度的总磷会导致藻类大量繁殖，加速富营养化进程。西湖、东湖和巢湖的总磷浓度远高于青海湖和滇池，显示出更高的富营养化风险。
耗氧量（Chemical Oxygen Demand, COD）：耗氧量反映水中有机物含量，间接指示富营养化程度。西湖、东湖和巢湖的耗氧量较高，说明这些湖泊中可能有较多的有机污染物，这与总磷浓度高的趋势一致。
透明度（Transparency）：低透明度往往与高藻类密度相关，藻类过多会降低水体的透明度。西湖、东湖和巢湖的透明度较低，表明藻类密度可能较高，滇池的透明度相对较好，但总磷和总氨的浓度仍显示其富营养化问题。
总氨（Total Ammonia）：总氨是另一种重要的营养盐，虽然其对富营养化的影响不如总磷明显，但高浓度的总氨仍能促进藻类生长。西湖和巢湖的总氨浓度较高，表明它们也面临着氮源富营养化的压力。

综合评价

为了综合评价湖泊水质，我们将对照湖泊水质评价标准（表2-3），对每个湖泊进行等级评定。由于评价标准未提供确切的数值界限，我们将使用给出的区间进行大致判断。

杭州西湖

总磷：富营养
耗氧量：富营养
透明度：极富营养
总氨：中营养

综合来看，西湖水质等级接近富营养至极富营养。

武汉东湖

总磷：富营养
耗氧量：富营养
透明度：极富营养
总氨：贫营养

东湖水质等级接近富营养至极富营养。

青海湖

总磷：贫营养
耗氧量：贫营养
透明度：中营养
总氨：贫营养

青海湖水质等级接近贫营养。

巢湖

总磷：中营养
耗氧量：中营养
透明度：极富营养
总氨：贫营养

巢湖水质等级接近中营养至富营养。

滇池

总磷：贫营养
耗氧量：富营养
透明度：贫营养
总氨：贫营养

滇池水质等级接近贫营养至富营养。

综上所述，西湖、东湖和巢湖面临较为严重的富营养化问题，而青海湖和滇池的状况相对较好，但仍存在局部富营养化现象。对于治理措施，应当针对总磷和总氨的来源进行管控，比如减少农业面源污染，加强污水处理，控制入湖污染物排放，同时实施生态修复工程，提升湖泊自净能力。

% 实测数据矩阵
X = [130 10.3 0.35 2.76;
     105 10.7 0.4 2.0;
     20 1.4 4.5 0.22;
     30 6.26 0.25 1.67;
     20 10.13 0.5 0.23];

% 评价标准矩阵
Y = [1 4 23 110 660;
     0.09 0.36 1.8 7.1 27.1;
     37 12 2.4 0.55 0.17;
     0.02 0.06 0.31 1.2 4.6];

% 无量纲化处理
% 假设第1列和第2列为成本型指标，第3列和第4列为效益型指标
A1 = X(:,1) ./ max(X(:,1)); % 成本型指标 - 总磷
A2 = X(:,2) ./ max(X(:,2)); % 成本型指标 - 耗氧量
A3 = X(:,3) ./ min(X(:,3)); % 效益型指标 - 透明度
A4 = X(:,4) ./ min(X(:,4)); % 效益型指标 - 总氨
A = [A1 A2 A3 A4];

% 标准化评价标准
% 假设第1列至第5列为成本型指标
B = Y / max(Y); % 所有指标视为成本型指标进行标准化

% 计算权重
w = std(B) ./ sum(std(B));

% 计算距离
% 注意：dist() 和 mandist() 不是MATLAB内置函数，需要自定义或使用其他函数代替
% 这里使用欧式距离作为示例
jd = sqrt(sum((A - B') .^ 2, 2));
mjd = jd; % 假设 mjd 为某种距离计算方式，这里直接使用欧式距离

% 输出结果
disp('标准化后的实测数据矩阵 A:');
disp(A);
disp('标准化后的评价标准矩阵 B:');
disp(B);
disp('权重 w:');
disp(w);
disp('距离 jd:');
disp(jd);