正态、

威布尔、

指数分布、

3.1 概念介绍

指数分布（Exponential Distribution）是连续概率分布的一种，常用于描述时间间隔或距离等连续变量。它的概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CDF）如下所示：

概率密度函数（PDF）

对于参数 $\lambda >0$，指数分布的概率密度函数为：
$$f(x;\lambda )=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x}& x\ge 0\\ 0& x<0\end{array}$$
这里，$\lambda$ 是分布的参数，称为速率参数，它决定了分布的形状。

累积分布函数（CDF）

指数分布的累积分布函数为：
$$F(x;\lambda )=\{\begin{array}{ll}1-e^{-\lambda x}& x\ge 0\\ 0& x<0\end{array}$$

性质

1. 无记忆性：指数分布是无记忆的，即对于任何 $s,t\ge 0$，有
   $P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)$
2. 均值和方差：如果 $X\sim \text{Exponential}(\lambda )$，则
   • 均值：$\mathbb{E}[X]=\frac{1}{\lambda }$
   • 方差：$\text{Var}(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$

应用

指数分布在许多领域都有广泛应用，例如：

• 排队论：用于描述客户到达间隔时间。
• 可靠性工程：用于描述设备无故障运行时间。
• 生存分析：用于描述某事件发生的时间间隔。

3.2 参数及绘图

让我们更深入地了解指数分布的参数，并通过绘图来展示其特性。

参数

指数分布的关键参数是速率参数 $\lambda$。这个参数决定了事件发生的速率。具体来说：

• 速率参数 $\lambda$：表示事件发生的速率。单位时间内发生事件的期望次数。通常，$\lambda$ 值越大，事件发生得越快。
• 均值 $\mu =\frac{1}{\lambda }$：表示事件发生的平均时间间隔。通常，$\mu$ 值越大，事件发生的间隔时间越长。

概率密度函数（PDF）

$$f(x;\lambda )=\lambda e^{-\lambda x}\text{for}x\ge 0$$

累积分布函数（CDF）

$$F(x;\lambda )=1-e^{-\lambda x}\text{for}x\ge 0$$

绘图

我们将绘制不同 (\lambda) 值下的指数分布的概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CDF）。接下来，我们使用 Python 绘制这些图。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义参数
lambdas = [0.5, 1.0, 1.5]  # 不同的lambda值
x = np.linspace(0, 10, 400)  # x范围

# 绘制PDF
plt.figure(figsize=(14, 6))

# PDF
plt.subplot(1, 2, 1)
for lambd in lambdas:
    pdf = lambd * np.exp(-lambd * x)
    plt.plot(x, pdf, label=f'λ = {lambd}')
plt.title('Exponential Distribution - PDF')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.legend()

# CDF
plt.subplot(1, 2, 2)
for lambd in lambdas:
    cdf = 1 - np.exp(-lambd * x)
    plt.plot(x, cdf, label=f'λ = {lambd}')
plt.title('Exponential Distribution - CDF')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('F(x)')
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

以上代码将生成两个图，一个是概率密度函数（PDF），另一个是累积分布函数（CDF），每个图中都展示了不同 $\lambda$ 值（0.5、1.0、1.5）下的分布情况。现在，我将生成这些图并展示给你。

以上的图像展示了不同速率参数 (\lambda) 下的指数分布的概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CDF）。

图像解读

1. PDF 图像：

   • $\lambda =0.5$: 曲线下降较慢，表示事件发生的速率较低，间隔时间较长。
   • $\lambda =1.0$: 曲线下降适中，表示事件发生的速率为中等。
   • $\lambda =1.5$: 曲线下降较快，表示事件发生的速率较高，间隔时间较短。

2. CDF 图像：

   • $\lambda =0.5$: 曲线上升较慢，表示在较长的时间范围内事件才有较高的发生概率。
   • $\lambda =1.0$: 曲线上升适中。
   • $\lambda =1.5$: 曲线上升较快，表示在较短的时间范围内事件就有较高的发生概率。

通过这些图像，可以直观地理解不同速率参数 $\lambda$ 对于指数分布的影响。

3.3 指数分布拟合

 loc_expon, scale_expon = expon.fit(data)
 expon_pdf = expon.pdf(x, loc_expon, scale_expon) 

这行代码 loc_expon, scale_expon = expon.fit(data) 是使用 Python 的 SciPy 库中的 expon（指数分布）来拟合数据 data。具体来说，它使用指数分布来估计数据的参数。

代码解读

• expon.fit(data):

  • 这是 SciPy 库中 expon 对象的方法，用于拟合指数分布到数据 data。
  • data 是你要拟合的数据数组。

• 返回值:

  • expon.fit(data) 返回两个参数：loc 和 scale，分别对应指数分布的定位参数和尺度参数。
  • loc_expon 是定位参数（loc）。
  • scale_expon 是尺度参数（scale）。

指数分布的参数

• 定位参数（loc）：

  • 这是指数分布的平移参数，默认情况下为 0。它决定了分布的起点位置。

• 尺度参数（scale）：

  • 这是指数分布的尺度参数，与速率参数 $\lambda$ 有关。具体来说，尺度参数等于速率参数的倒数，即 $\text{scale}=\frac{1}{\lambda }$。

指数分布拟合

指数分布的概率密度函数（PDF）为：
$$f(x;\lambda )=\lambda e^{-\lambda (x-\text{loc})}$$
拟合数据时，我们实际上在估计参数 $\lambda$和 $\text{loc}$ 以使得这个分布最符合数据 data。

例子

假设我们有一组数据，并希望用指数分布来拟合它们，代码可能如下：

import numpy as np
from scipy.stats import expon

# 生成一些示例数据
data = np.random.exponential(scale=2, size=1000)

# 拟合指数分布到数据
loc_expon, scale_expon = expon.fit(data)

print(f"loc: {loc_expon}, scale: {scale_expon}")

在这个例子中，我们生成了一些服从指数分布的数据，然后使用 expon.fit 方法来拟合这些数据并估计参数 loc 和 scale。结果 loc_expon 和 scale_expon 将分别是定位参数和尺度参数。

伽马分布、

对数正态分布介绍