前缀和

1.一维的795. 前缀和 - AcWing题库

前缀和公式

s[i] = a[1] + a[2] + a[3] + ... + a[i] 即

s[i] = s[i-1] + a[i]

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int a[N], s[N];

int main(){
    
    int m, n;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i];

    // 初始化前缀和数组
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        s[i] = s[i-1] + a[i];

    while(m--) {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        // 减去左边多余的
        cout << s[r] - s[l-1] << endl; 
    }

    return 0;
}

注意原数组与前缀和数组都要从1开始存，避免边界问题

2.二维的796. 子矩阵的和 - AcWing题库797. 差分 - AcWing题库

二维前缀和公式

s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + a[i][j]

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1e3 + 10;
int a[N][N], s[N][N];

int main(){
    
    int m, n, q;
    cin >> m >> n >> q;
    
    for(int i = 1; i <= m; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            cin >> a[i][j];

    // 初始化二维前缀和数组
    for(int i = 1; i <= m; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + a[i][j];


    int x1, x2, y1, y2;
    while(q--) {
        
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        
        // 输出对应结果        
        cout << s[x2][y2] - s[x1-1][y2] - s[x2][y1-1] + s[x1-1][y1-1] << endl;
    }

    return 0;
}

差分

3.一维的797. 差分 - AcWing题库

#include<iostream> 
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int a[N], b[N];

void insert(int l, int r, int c){
    b[l] += c;
    b[r+1] -= c;
}

int main(){
    int m, n;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i];
    
    // 初始化差分数组   
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        insert(i, i, a[i]);
        
    int l, r, c;
    while(m--) {
        
        cin >> l >> r >> c;
    
        insert(l, r, c);
    }
    
    // 还原数组
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        b[i] += b[i-1];
        
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        cout << b[i] << " ";
    
    return 0;
}

差分数组用来间接表示这个序列，当对原数组的区间进行修改时，只需要对差分数组的起始、结尾位置分别进行一次修改就好

差分数组中的元素就是这个元素跟它的前一个元素的差值，比如

原数组：[1, 2, 2, 1, 2, 1]

差分数组：[1, 1, 0, -1, 1, 1]

可以直观的看到对差分数组进行前缀和操作就可以得到原数组

想象差分数组中的每个元素代表了一段“坡度”，前缀和则是沿着这些坡度从起点走到当前位置的累积高度变化。最终，这个累积变化量正是原序列中相应位置的值。

4.二维的798. 差分矩阵 - AcWing题库

 

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;
int a[N][N], b[N][N];

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c){
    b[x1][y1] += c;
    b[x2+1][y1] -= c;
    b[x1][y2+1] -= c;
    b[x2+1][y2+1] += c;
}

int main(){
    int m, n, q;
    cin >> m >> n >> q;
    for(int i = 1; i <= m; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            cin >> a[i][j];
            
    for(int i = 1; i <= m; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);
    
    while(q--){
        int x1, y1, x2, y2, c;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
        
        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }        
    
    for(int i = 1; i <= m; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            b[i][j] = b[i][j] + b[i-1][j] + b[i][j-1] - b[i-1][j-1];
    
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        for(int j = 1; j <= n; j++){
           cout << b[i][j] << " "; 
        }
        cout << endl;   
    }
    
    return 0;
}