1.有重复元素全排列的计数问题(部分正确
【考察知识点】有重复元素的全排列的计数
【题目描述】
共有n个小球(1<=n<=20),这n个小球有k种颜色(1<=k<=10),白色s1个,红色s2个,……,蓝色sk个,即n=s1+s2+…+sk
现在将这n个小球进行排列,有多少种排列方式?
例如,有4个小球,其中2个白色,2个红色,则有以下6种排列:
白白红红
白红白红
白红红白
红白白红
红白红白
红红白白
【输入格式】
第一行,测试数据的组数,可输入多组测试数据,每一组测试数据都包含下面两行。
每组测试数据的第一行,n和k。n和k的描述和范围见前文描述。
每组测试数据的第二行,共k个数,s1、s2、…、sk。见前文描述。
【输出格式】
共有多少种排列方式数。
【输入样例】
4 //表示4组测试数据
4 2 //第1组
2 2
5 3 //第2组
1 2 2
6 3 //第3组
2 2 2
10 4 //第4组
2 3 3 2
【输出样例】
(Test 1) Full permutations with repeating elements: 6
(Test 2) Full permutations with repeating elements: 30
(Test 3) Full permutations with repeating elements: 90
(Test 4) Full permutations with repeating elements: 25200
【样例程序】
#include "stdio.h"
#include <iostream>
#include "stdlib.h"
using namespace std;
//求阶乘
long long fact(int n)
{
long long f=1;//2score
for(int i=n; i>=1; i--)
f*=i; //累乘 3 score
return f;
}
int main()
{
int T ,t , n, k, s[11];
cin >> T;
t=T;
while(T--) //T为测试数据的组数,有几组
{
cin >> n >> k;
for(int i=1;i<=k;i++) cin>>s[i];
long long p=fact(n);
for(int i=1;i<=k;i++)
divisor*=fact(s[i]);//3 score
cout<<"(Test "<<t-T<<") "<<"Full permutations with repeating elements: "<< p <<endl;
}
return 0;
}
2.找零钱
【考察知识点】动态规划算法
【题目描述】
设有n种不同面值的钱币各若干张,可用这n种钱币产生许多不同的币值。
有零钱:{1元×3张,2元×3张,5元×1张},若要找回7元,有如下4种方案:
(1)3张1元 + 2张2元
(2)1张1元 + 3张2元
(3)2张1元 + 1张5元
(4)1张2元 + 1张5元
这4种方案中,最少张数的方案为上面第(4)种方案,仅需2张。
你的任务:给定币值m和n种不同面值钱币及其张数,求要找回币值m最少要多少张。
【输入格式】
多组测试数据的形式。
第1行先输入有多少组测试数据,然后后续每组测试数据连续输入。
每组中的第1行有1个正整数n(1<=n<50),表示有n种不同的钱币。
每组中的第2行有n个正整数,分别表示每种钱币的面值v[1]...v[n](0<=v[i]<=100, 1<=i<=n)。
每组中的第3行有n个正整数,分别表示每种钱币的张数k[1]...k[n] (0<=k[i]<=100, 1<=i<=n)。
每组中的第4行有1个正整数,表示给定需要找回的钱币值m (1<=m<=20000)。
【输出格式】
每组结果连续输出,每组输出占一行。
计算出给定币值所需的最少张数。
若无法给出找钱方案,返回“no possible”(注意:无大写且无标点)。
【输入样例】
1 (表示下面仅一组数据)
3
1 2 5
3 3 1
7
【输出样例】
2
#include <iostream>
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
using namespace std;
#define MAX 100000
int c[51][20001];
int solve(int n, int *v, int *k, int m)
{
int min=0x7fffffff,w,t;
for(int i=0;i<=n;i++)
c[i][0]=0;
for(int j=0;j<=m;j++)
{
//c[ ][ ]第一行的填写
if(j%v[1]==0 && j/v[1]<=k[1])
c[1][j]=
j/v[1]
;
else
c[1][j]=MAX;
}
//c[ ][ ]后续行的填写
for(int i=2;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
{
t = (int)(j/v[i])>k[i]? k[i] : (int)(j/v[i]);
min=c[i-1][j];
for(int s=1;s<=
t
;s++)
{
if(j>=s*v[i])
w=
c[i-1][j - s * v[i]] + s
;
else
w=MAX;
if(w<min) min=w;
}
c[i][j]=min;
}
return
c[n][m]
; //返回哪个数组元素?
}
int main()
{
int n;
int v[51],k[51];
int m;
int T;
scanf("%d", &T); //共T组测试数据
while(T--) { //逐组处理
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i];
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>k[i];
cin>>m;
int q=solve(n,v,k,m);
if(q!=MAX)
cout<<q<<endl;
else
cout<<"no possible"<<endl;
}
return 0;
}
3.树状数组
【考察知识点】树状数组
【题目描述】
用树状数组高效实现区间求和操作。
注:本题要求用树状数组(即程序中的c[])做区间求和,修改元素(addv函数)和前缀和求和(getSum函数)的时间复杂度都为O(logn)。用树状数组这一数据结构,比常规循环做前缀和要快的多。
【输入格式】
第1行先输入正整数n,表示数据元素的个数。元素个数n不超过100000。
第2行有n个整数,分别表示a[1]...a[n]的数值。
第3行有2个正整数,分别表示询问区间的左右边界。
【输出格式】
求询问区间的区间元素和。如样例数据中a[3]+a[4]+...+a[8]的和为33。
【输入样例】
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 8
【输出样例】
33
【样例程序】
#include <iostream>
#include <string.h>
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
using namespace std;
int a[100001]; //输入数据
int c[100001]; //树状数组存储空间
int n; //有效数据个数
//此函数为x二进制表达中最右边1与后面的全0(如果有的话),构成的数值。
//比如若x=12,二进制为1100,则lowbit(12)返回为4,二进制为100
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
//这个函数求a[1]+...+a[x]的和。指的是从1下标过来到下标x的元素和(称为前缀和)
int getSum(int x)
{
int ans = 0;
while(x > 0){
ans +=
c[x]
;
x -=
lowbit(x)
;
}
return ans;
}
//这个函数为a[x]做增值修改,即a[x]=a[x]+value后,树状数组c[ ]也随之做了相应的修改
void addv(int x, int value)
{
a[x] += value;
while(x <= n){
c[x] +=
value
;
x +=
lowbit(x)
;
}
}
int main()
{
scanf("%d", &n);
memset(a, 0, sizeof(a));
memset(c, 0, sizeof(c));
for(int v, i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &v);
addv(i, v); //把输入值加到a[i]中,同时建立树状数组c[ ]
}
int l, r;
scanf("%d%d", &l, &r); //输入要获得区间和的区间左和右边界
int ans=0; //不合法输入都为0
if (l>=1 && r<=n)
if(l>1)
ans = getSum(r)-getSum(l-1); //当左边界l>=2时,返回前缀和之差:即sum(r)-sum(l-1);
else
ans = getSum(r); //当左边界l为1时,直接返回到r的前缀和(即sum(r)=a[1]+...+a[r])
else {
printf("Illegal data interval!");
}
printf("%d", ans);
return 0;
}
4.亲戚关系
【考察知识点】并查集
【题目描述】
有亲戚关系的,可视为一个家族内。某些庞大的家族可能人数众多,要判断两个人是否是亲戚,确实还很不容易。
现在给出某个亲戚关系图,询问任意给出的两个人是否具有亲戚关系。
规定:x和y是亲戚,y和z是亲戚,那么x和z也是亲戚。如果x,y是亲戚,那么x的亲戚都是y的亲戚,y的亲戚也都是x的亲戚。
【输入格式】
第一行:三个整数n, m, p,(范围:1<=n,m,p<=5000),分别表示有n个人,共列出m个亲戚关系,共询问p对人之间是否存在亲戚关系。
以下m行:每行两个数Mi, Mj(1<=Mi,Mj<=n),表示Mi 和Mj 具有亲戚关系,有m行这样的亲戚关系构成了家族图。
接下来p行:每行两个数Pi, Pj(1<=Pi,Pj<=n),询问Pi 和Pj 是否具有亲戚关系,有p次这样的询问。
【输出格式】
p行,每行一个’Yes’或’No’。表示第i个(1<=i<=p)的答案为“具有”或“不具有”亲戚关系。
这其实是一个很有现实意义的问题。我们可以建立并查集模型,把所有人划分到若干个不相交的集合中,每个集合里的人彼此是亲戚。为了判断两个人是否为亲戚,只需看它们是否属于同一个集合即可。因此,考虑用并查集进行维护所有的亲戚关系。
【输入样例】
11 7 8
1 3
2 3
5 6
9 10
5 10
4 9
8 11
1 3
2 8
6 8
3 9
4 6
5 9
4 5
9 11
【输出样例】
Yes
No
No
No
Yes
Yes
Yes
No
【样例程序】
#include <iostream>
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
using namespace std;
#define MAXN 5001
//fa[i]记录i元素所属的集合代表元素
int fa[MAXN];
//rankhigh[]数组记录每个根节点对应的深度,如果它不是根节点,其rank值相当于以它作为根节点的子树的深度
int rankhigh[MAXN];
void init(int n)
{
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
fa[i] =
i
; //初始化时,所有元素的代表元素为自己本身
rankhigh[i] = 1; //初始化时,所有元素的秩为1
}
}
//查找x属于哪个集合,返回这个集合的根代表
int find(int x)
{
if(fa[x] != x)
fa[x] =
find(fa[x])
; //查找x的fa[x]是谁?再继续递归地查找fa[fa[x]]又是谁?……
//找完返回时,还顺便做个赋值,即路径压缩
return fa[x];
}
//将i和j所在的集合进行合并
void merge(int i, int j)
{
int x = find(i), y = find(j);
//合并时比较两个根节点,把rank较小者往较大者上合并,可以不增加树高度
if (rankhigh[x] <= rankhigh[y])
fa[x] =
y
;
else
fa[y] =
x
;
//如果深度相同且根节点不同,则新的根节点的深度+1
if (rankhigh[x] == rankhigh[y] && x != y)
rankhigh[y]++;
}
int main()
{
int n, m, p, x, y;
cin>>n>>m>>p; //n个人,m个亲戚关系,p个询问亲戚关系
init(n);
for (int i = 0; i < m; ++i) //m行,把具有亲戚关系的x和y给merge( )到一个家族中
{
cin>>x>>y;
merge(x, y);
}
for (int i = 0; i < p; ++i) //p个询问,若x和y是亲戚关系,则显示“Yes”,否则“No”
{
cin>>x>>y;
if(find(x) == find(y))
cout<<"Yes\n";
else
cout<<"No\n";
}
return 0;
}
5.两条线段的相交问题
【考察知识点】几何问题中的线段相交
【问题描述】
已知两条线段,线段端点由输入确定,先判定这两条线段的位置关系,存在如下五种关系:
0:两条线段无交点,不交叉或无公共点;
1:两条线段规范相交;
(此处先解释一下,何谓“规范相交”? 规范相交规定为:两线段恰好有一个公共交点,且公共点不是任何线段的任何一个端点,也就是说,每条线段的两个端点都在另一条线段的两侧,我们可用叉积的异号来判断点是否在线段的两侧)
2:线段的某个端点在另一条线段上(不是另一条线段的端点,只是另一条线段中的某点);
3:线段有唯一一个公共端点;
4:两条线段共线且有无数交点。
【输入格式】
先输入测试数据共有多少组。
每组分别输入两个线段的端点坐标(浮点型):
a1.x a1.y a2.x a2.y
b1.x b1.y b2.x b2.y
【输出格式】
每组数据的结果按顺序输出。每组中,请输出两个线段的位置关系(用0~4数字表示情况)。如果是情况1,还需输出交叉的交点(保留2位小数形式)。其它情况无需输出交点。
【输入样例】
5 //共5组数据
0 0 1 1 //第1组
2 0 4 -1
0 0 3 3 //第2组
0 2 4 -1
0 0 3 3 //第3组
1.6 1.6 4 -1
0 0 3 3 //第4组
3 3 4 -1
0 0 3 3 //第5组
1.2 1.2 5 5
【输出样例】
relation 0:
The two line segments: not intersect.
relation1:
The two line segments: proper intersect.
1.14 1.14
relation 2:
The two line segments: a end point is on the other segment.
relation 3:
The two line segments: a common point.
relation 4:
The two line segments: collinear.
【样例解释】
【样例程序】
#include "stdio.h"
#include <iostream>
#include "stdlib.h"
#include <cmath>
using namespace std;
//定义点
struct Point{
double x;
double y;
Point(double x=0, double y=0):x(x), y(y) { }//构造函数,方便给x和y值的代码编写
};
//定义向量,向量和点的表示形式一样,但几何意义不同
typedef Point Vector;
// 向量+向量=向量,或者,向量+点=向量
Vector operator + (Vector A, Vector B) {return Vector(A.x+B.x, A.y+B.y);}
// 点-点=向量
Vector operator - (Point A, Point B) {return Vector(A.x-B.x, A.y-B.y);}
// 向量*数=向量,参数顺序:向量*浮点数,或浮点数*向量,两种参数顺序皆可乘
Vector operator * (Vector A, double p) {return Vector(A.x*p, A.y*p);}
Vector operator * (double p, Vector A) {return Vector(A.x*p, A.y*p);}
// 向量/数=向量
Vector operator / (Vector A, double p) {return Vector(A.x/p, A.y/p);}
//对double型的数,如何比较大于0,等于0,或小于0
const double EPS =1e-10;
int dcmp(double x)
{
if (fabs(x)<EPS) return 0;
else return x<0? -1 : 1;
}
//点积
double Dot(Vector A, Vector B) {return A.x*B.x + A.y*B.y;}
double Length(Vector A) {return sqrt(Dot(A,A));}
//叉积
double Cross(Vector A, Vector B) {return A.x*B.y - A.y*B.x;}
//判断p点是否在线段a1a2上,返回true的情况并不包括p恰好是线段端点(这种情况是返回false的)
int ontheSegment(Point p, Point a1, Point a2)
{
return dcmp(Cross(a1-p, a2-p))==0 && dcmp(Dot(a1-p, a2-p))<0;
}
//定义五种位置关系的编号
const int NO_CROSSING_POINT = 0;
const int PROPER_INTERSECTION = 1;
const int ONE_POINT_ON_SEGMENT = 2;
const int COMMON_POINT = 3;
const int COLLINEAR = 4;
//判断两条线段的位置关系,是否“规范相交”
//规范相交定义为:两线段恰好有一个公共点,且公共点不是任何一条线段的端点
//判断是否规范相交,要做这样一个“跨立实验”的判断:每条线段的两个端点都在另一条线段的两侧
//“两侧”,可以用叉积的符号来判断
int judgeSegmentIntesection(Point a1, Point a2, Point b1, Point b2)
{
//分别计算如下的c1、c2、c3、c4
double c1=Cross(a2-a1,b1-a1);
double c2=Cross(a2-a1,b2-a1);
double c3=Cross(b2-b1,a1-b1);
double c4=Cross(b2-b1,a2-b1);
//线段a1a2和线段b1b2共线
if(dcmp(c1)==0 && dcmp(c2)==0)
return COLLINEAR;
//有一个端点搭在另一条线段上,或共端点的情况
if( ontheSegment(a1,b1,b2) || ontheSegment(a2,b1,b2) || ontheSegment(b1,a1,a2) || ontheSegment(b2,a1,a2))
return ONE_POINT_ON_SEGMENT;
else
if((dcmp(c1)==0 && dcmp(c2) !=0) || (dcmp(c1)!=0 && dcmp(c2)==0) || (dcmp(c3)==0 && dcmp(c4)!=0) || (dcmp(c3)!=0 && dcmp(c4)==0))
return ;
//规范相交:c1和c2异号(点b1和点b2在线段a1a2的两侧),且c3和c4也异号(点a1和点a2在线段b1b2的两侧)
if( dcmp(c1)*dcmp(c2)<0 && )
return PROPER_INTERSECTION;
else
return NO_CROSSING_POINT;
}
//计算直线交点的坐标
Point GetSegmentIntersection(Point P, Vector v, Point Q, Vector w)
{
Vector u=P-Q;
double t = Cross(w,u)/Cross(v,w);
return P+v*t;
}
int main()
{
Point a1,a2,b1,b2;
int T;
cin>>T; //T为测试数据的组数,共T组
while(T--) {
cin>>a1.x>>a1.y>>a2.x>>a2.y; //输入线段的两个端点,即线段a1a2
cin>>b1.x>>b1.y>>b2.x>>b2.y; //输入线段的两个端点,即线段b1b2
//先判断两条线段的位置关系
int cas=judgeSegmentIntesection(a1, a2, b1, b2);
cout<<"relation "<<cas<<":"<<endl;
switch (cas)
{
case NO_CROSSING_POINT:
cout<<"The two line segments: not intersect."<<endl; break;
case PROPER_INTERSECTION:
cout<<"The two line segments: proper intersect."<<endl; break;
case ONE_POINT_ON_SEGMENT:
cout<<"The two line segments: a end point is on the other segment."<<endl; break;
case COMMON_POINT:
cout<<"The two line segments: a common point."<<endl; break;
case COLLINEAR:
cout<<"The two line segments: collinear."<<endl; break;
default:
cout<<"error!"<<endl;
}
Point segmIntsectPoint;
if (cas==PROPER_INTERSECTION) //若规范相交,则计算交点坐标
{
segmIntsectPoint=GetSegmentIntersection(a1, , b1, b2-b1);
printf("%.2f %.2f\n", segmIntsectPoint.x, );
}
}
return 0;
}
部分正确