点与向量

点 (point) 表示空间中的位置，它有空间中的坐标，例如在三维空间中，点有 (x, y, z) 坐标。

向量 (vector) 是有方向的量，它可以表示在空间中的移动。向量可以通过两个点的差计算，它连接起始点和终止点。

结构体：

class Point{
    double x;
    double y;
}

向量（Vector）也可以使用点的结构体来使用。

线段与直线

线段 (line segment) 是由两个端点组成的有向的有限长度的直线。

直线 (line) 是由无限多个点组成的无限长的线。

与线段不同，直线没有端点，它一直延伸到无穷远。

结构体：

class Segment{
    Point p1;
    Point p2;
}

同时直线和线段可以使用相同的方法实现。

圆

圆 (circle) 是一种二维图形，由一个中心点和一个固定半径组成。所有离中心点距离相等的点在同一个圆上。圆的定义可以通过一个方程来表示，例如 (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中 (a,b) 是圆心，r 是半径。

表示圆的类：

class Circle{
    Point c;
    double r;
}

此外多边形可以使用点的序列来表示，通常使用Point数组或List来表示。

向量的基本运算

 简单实现：

class Point{
    double x;
    double y;

    public Point(double x, double y) {
        this.x = x;
        this.y = y;
    }

   //加
    private Point add(Point p){
        return new Point(x+p.x,y+p.y);
    }
    //减
    private Point sub(Point p){
        return new Point(x-p.x,y-p.y);
    }
    //乘
    private Point mul(double k){
        return new Point(x*k,y*k);
    }
}

 向量大小

向量大小，也称为向量的模，是一维向量的长度，它反映了向量在空间中的长度。向量的模可以通过欧几里得公式来计算。

 double abs (Point a){
        return Math.sqrt(a.x*a.x+a.y*a.y);
    }

 向量内积

向量内积（也称为点积）是两个向量的数学表达式，用于评估向量的相似性。它可以计算为两个向量的对应元素的乘积的和。结果是一个标量，可以用来评估向量的相关性、方向和长度。

  double dot(Point a,Point b){
        return a.x*b.x+a.y*b.y;
    }

 向量外积

向量外积（也称为叉积）是两个向量的数学表达式，用于描述向量在三维空间中的相对位置。它返回一个向量，该向量的方向垂直于原始两个向量，长度为两个向量所围成平行四边形的面积。

 double cross(Point a,Point b){
        return a.x*b.y-a.y*b.x;
    }