在上一篇文章中，我们讲到了使用逻辑回归和梯度提升决策树组合的模型融合办法，用于CTR预估，给这个组合起了个名字，叫“辑度组合”。这对组合中，梯度提升决策树GBDT，所起的作用就是对原始的特征做各种有效的组合，一颗树一个叶子节点就是一种特征组合。

从特征组合说起

从逻辑回归最朴素的特征组合就是二阶笛卡尔乘积，但是这种暴力组合存在如下问题：
1.两两组合导致特征维度灾难；
2.组合后的特征不见得都有效，事实上大部分可能无效；
3.组合后的特征样本非常稀疏，即组合容易，但是样本中可能不存在对应的组合，也就没办法在训练时更新参数。

如果把包含了特征两两组合的逻辑回归线性部分写出来，就是：
$$\hat{y}={\omega }_0+\sum _{i=1}^n{\omega }_i{x}_i+\sum _{i=1}^n\sum _{j=j+1}^n{\omega }_{ij}{x}_i{x}_j$$

这和原始的逻辑回归相比，多了后面的部分，特征两两组合，也需要去学习对应的参数权重。
问题是两两组合后可能没有样本能欧学习到$w_{ij}，在应用中，对于这些组合，也只能放弃，因为没有学到权重。

针对这个问题，就有了一个新的算法模型：因子分解机模型，也叫FM,即Factorization Machine。因子分解机也常常用来做模型融合。

FM模型

1.原理

因子分解机模型是在2010年被提出，因为逻辑回归在做特征组合时样本稀疏，无法学习到很多特征组合的权重，所以因子分解机的提出者就想，能否对上面那个公式中的$w_{ij}$做解耦，让每一个特征学习一个隐因子向量出来。

正如矩阵分解时，为每一个用户和每一个物品各自都学习一个隐因子向量，这样，任何两个特征需要组合时，只需隐因子变量做向量点积，就是两者组合特征的权重了。

针对逻辑回归的线性部分：
$$\hat{y}={\omega }_0+\sum _{i=1}^n{\omega }_i{x}_i+\sum _{i=1}^n\sum _{j=i+1}^n<v_i,v_j>x_i{x}_j$$

这个公式和前面特征组合的公式相比，不同之处就是原来有个\omega_{ij},变成了两个隐因子向量的点积<V_i,V_j>。

它认为两个特征之间，即便没有出现在一条样本中，也是有间接联系的。比如特征A和特征B,出现在一些样本中，特征B和特征C也出现在一些样本中，那么特征A和特征C无论是否出现在一些样本中，我们有理由认为两个特征仍然有些联系。

如果在实际预测CTR时，特征A和特征C真的同时出现在一些样本中，如果你用的是因子分解模型，你可以直接取特征A和特征C的隐因子向量，进行点积计算，就得到两者组合的权重。因子分解机的先进之处就在于此。

既然二阶组合特征可以学到隐因子向量，那么三阶、四阶、五阶呢？实际上，组合越多，计算复杂度就会陡增，一般在实际使用中，因子分解机多用在二阶特征组合中。

2.模型训练

因子分解机的参数学习并无特别之处，看目标函数，这里是把他当做融合模型来看的，用来做CTR预估，因预测目标是一个二分类，因子分解机的输出还需要经过sigmoid函数变换：
$$\sigma (\hat{y})=\frac{1}{1+e^{-\hat{y}}}$$

因此损失目标函数为：
$$loss(\theta )=-\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m[y^{(i)}log(\sigma (\hat{y}))+(1-y^{(i)})log(1-\sigma (\hat{y})]$$

公式中$\sigma (\hat{y})$ 是因子分解机的预测输出后经过sigma函数变换得到的预估CTR,$\hat{y}$是真实样本的类别标记，正样本为1，负样本为0，m是样本总数。

对于这个损失目标函数使用梯度下降或者随机梯度下降，就可以得到模型的参数，注意函数实际上还需要加上正则项。

3.预测阶段

因子分解机中二阶特征组合那一部分，在实际计算时，复杂度有点高，如果隐因子向量的维度是k,特征维度是n,那么这个复杂度为O(kn^2),其中n方是特征要两两组合，k是每次组合都要对k维向量计算
点积。需稍微改造一下，改造过程如下:

loop1 begin: 循环k次，k就是隐因子向量的维度，其中，循环到第f次时做以下事情

 loop2 begin:循环n个特征，第i次循环时做这样的事情

  1. 从第i个特征的隐因子向量中拿出第f维的值
  2. 计算两个值：A是特征值和f维的值相乘，B是A的平方

 loop2 end

 把n个A累加起来，并平方得到C，把n个B也累加起来，得到D

 用C减D，得到E

loop1 end

把k次循环得到的k个E累加起来，除以2

这就是因子分解机中，二阶组合部分的实际计算方法，目前复杂度下降为O(kn)。

4.一网打尽其他模型

下面继续带你见识一些因子分解机的神奇之处。看下面这张图：

下面继续带你见识一些因子分解机的神奇之处。看下面这张图：

这张图中的每一条样本都记录了用户对电影的评分，最右边的y是评分，也就是预测目标；左边的特征有五种，用户ID、当前评分的电影ID、曾经评过的其他分、评分时间、上一次评分的电影。

现在我们来看因子分解机如何一网打尽其他模型的，这里说的打败是说模型可以变形成其他模型。

前面例子，因子分解机实现了带有特征组合的逻辑回归。

现在假设图中的样本特征只留下用户ID和电影ID,因子分解机模型就变成：
$$\hat{y}={\omega }_0+{\omega }_u+{\omega }_i+<V_u,V_i>$$

用户ID和电影ID，在一条样本中，各自都只有一个维度1，其他都是0。所以在一阶部分就没有了求和符号，直接是$w_u$和$w_i$,二阶部分乘积也只剩下了1，其他都为0，就转变为偏置信息的SVD。

继续，在SVD基础上把样本中的特征加上用户历史评分过的电影ID,再求隐因子向量，就转变为SVD++;再加上时间信息，就变成了time-SVD。

因子分解机把前面讲过的矩阵分解一网打尽了，顺便还干起了逻辑回归的工作。正因为如此，因子分解机常常用来做模型融合，在推荐系统的排序阶段肩负起对召回结果做重排序的任务。

5.FFM

在因子分解机基础上可以进行改进，改进思路是：不但认为特征和特征之间潜藏着一些关系，还认为特征和特征类型也有千丝万缕的关系。

这个特征类型，就是某些特征实际上来自数据的同一个字段。比如用户id，占据了很多维度，变成了很多特征，但他们都属于同一个类型，都叫做用户ID。这个特征类型就是字段，即Field.所以这种改进叫做Field-aware Factorization Machines ，简称FFM。

因子分解机模型如下：
$$\hat{y}={\omega }_0+\sum _{i=1}^n{\omega }_i{x}_i+\sum _{i=1}^n\sum _{j=i+1}^n<V_i,V_j>x_i{x}_j$$

之前因子分解机认为每个特征有一个隐因子向量，FFM改进的是二阶组合那部分，改进的模型认为每个特征有f个隐因子向量，这里的f就是特征一共来自都少个字段（Field）,二阶组合部分改进后如下：
$$\sum _{j=1}^n\sum _{j=i+1}^n<V_{i,fj},V_{j,fi}>x_i{x}_j$$

FFM模型也常用来做CTR预估，在FM和FFM事件过程中，记得要对样本和特征做归一化。

总结

今天，我给你介绍了另一种常用来做CTR预估的模型，因子分解机。因子分解机最早提出在2010年，在一些数据挖掘比赛中取得了不错的成绩，后来被引入到工业界做模型融合，也表现不俗。
严格来说，因子分解机也算是矩阵分解算法的一种，因为它的学习结果也是隐因子向量，也是用隐因子向量的乘积来代替单个权重参数。