原题链接🔗：二叉搜索树中第K小的元素
难度：中等⭐️⭐️

题目

给定一个二叉搜索树的根节点 root ，和一个整数 k ，请你设计一个算法查找其中第 k 小的元素（从1开始计数）。

示例 1：

输入：root = [3,1,4,null,2], k = 1
输出：1

示例 2：

输入：root = [5,3,6,2,4,null,null,1], k = 3
输出：3

提示：

• 树中的节点数为 n 。
• 1 <= k <= n <= 10⁴
• 0 <= Node.val <= 10⁴

进阶：如果二叉搜索树经常被修改（插入/删除操作）并且你需要频繁地查找第 k 小的值，你将如何优化算法？

题解

二叉搜索树

二叉搜索树（Binary Search Tree，简称BST）是一种特殊的二叉树，它具有以下性质：

1. 有序性：对于树中的每个节点，其左子树上所有节点的值都小于该节点的值，其右子树上所有节点的值都大于或等于该节点的值。

2. 没有兄弟节点：每个节点最多只有一个左子节点和一个右子节点。

3. 每个节点存储一个键值：在二叉搜索树中，每个节点通常存储一个键值，该键值用于维护树的有序性。

4. 树结构：二叉搜索树是树结构，这意味着它是一个没有环的分层数据结构。

5. 平衡性：理想情况下，二叉搜索树是平衡的，即左右子树的高度差不超过1。平衡的二叉搜索树可以保证操作（如搜索、插入和删除）的时间复杂度为O(log n)。但在最坏的情况下，如果插入的元素是有序的，树将退化成链表，时间复杂度变为O(n)。

二叉搜索树的应用非常广泛，因为它提供了高效的数据存储和检索方式。以下是一些基本操作：

• 搜索：在BST中搜索一个元素，可以从头节点开始，根据目标值与当前节点值的比较结果，决定是向左子树还是向右子树搜索。这个过程可以递归或迭代进行，直到找到目标值或到达叶子节点。

• 插入：向BST中插入一个新元素，首先搜索该元素应该插入的位置，然后根据BST的性质将其插入到适当的位置。

• 删除：从BST中删除一个元素，需要考虑几种情况：删除的节点没有子节点、有一个子节点或有两个子节点。在删除节点后，需要调整树以保持BST的性质。

• 遍历：BST可以通过前序、中序、后序和层序遍历来访问所有节点。中序遍历特别有用，因为它将按照升序访问所有节点。

二叉搜索树的实现通常涉及到递归和迭代技术，以及对树结构的深入理解。在实际应用中，为了提高性能，可能会使用自平衡的二叉搜索树，如AVL树或红黑树。

中序遍历

二叉树的中序遍历是一种遍历二叉树的方法，其遍历顺序为：先遍历左子树，然后访问根节点，最后遍历右子树。这种遍历方式可以确保在访问任何节点之前，其所有左子节点已经被访问过，同样地，在访问任何节点之后，其所有右子节点也会被访问。

中序遍历对于二叉搜索树（BST）特别有用，因为它会按照节点值的非递减顺序访问所有节点，即中序遍历的结果是一个有序数组。

以下是中序遍历的基本步骤：

1. 访问左子树：首先，递归地对左子树进行中序遍历。

2. 访问根节点：然后，访问根节点。在遍历过程中，通常会将根节点的值添加到一个列表中。

3. 访问右子树：最后，递归地对右子树进行中序遍历。

中序遍历的时间复杂度为O(n)，其中n是树中节点的数量，因为它需要访问树中的每个节点。空间复杂度取决于递归调用的深度，最坏情况下是O(n)（当树退化成链表时），最好情况下是O(log
n)（当树是平衡的）。

中序遍历递归法

1. 解题思路：

在LeetCode上，题目“二叉搜索树中第K小的元素”通常要求你找到一个二叉搜索树（BST）中第K小的元素。二叉搜索树的性质是：对于树中的任何节点，其左子树上的所有节点的值都小于该节点的值，其右子树上的所有节点的值都大于该节点的值。

解题思路如下：

• 理解BST的性质：首先，要利用BST的性质来简化问题。在BST中，中序遍历（左-根-右）会以递增的顺序访问所有节点。

• 中序遍历：由于题目要求找到第K小的元素，我们可以通过中序遍历BST来实现。在遍历过程中，记录访问的节点数量。

• 计数与停止：在中序遍历的过程中，当访问到第K个节点时，停止遍历。这个节点就是所求的第K小的元素。

• 递归或迭代：中序遍历可以通过递归或迭代的方式实现。递归是更直观的方法，但迭代可以避免潜在的递归深度问题。

• 实现算法：编写代码实现上述逻辑。

2. c++ demo：

#include <iostream>
#include <vector>

// 定义二叉树的节点结构
struct TreeNode {
    int val;
    TreeNode* left;
    TreeNode* right;
    TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
};

class Solution {
public:
    // 主函数，接收二叉搜索树的根节点和K值，返回第K小的元素
    int kthSmallest(TreeNode* root, int k) {
        std::vector<int> elements;
        inOrderTraversal(root, elements, k);
        return elements[k - 1]; // 由于数组索引从0开始，所以用k-1
    }

private:
    // 中序遍历辅助函数，同时接收一个vector来存储遍历结果
    void inOrderTraversal(TreeNode* node, std::vector<int>& elements, int k) {
        if (!node || elements.size() >= k) {
            return;
        }

        // 遍历左子树
        inOrderTraversal(node->left, elements, k);

        // 访问当前节点
        if (elements.size() < k) {
            elements.push_back(node->val);
        }

        // 遍历右子树
        inOrderTraversal(node->right, elements, k);
    }
};

// 示例使用
int main() {
    // 构建一个示例二叉搜索树
    //       3
    //      / \
    //     1   4
    //      \
    //       2
    TreeNode* root = new TreeNode(3);
    root->left = new TreeNode(1);
    root->right = new TreeNode(4);
    root->left->right = new TreeNode(2);

    Solution solution;
    int k = 3; // 假设我们要找第3小的元素
    std::cout << "The " << k << "st smallest element is: " << solution.kthSmallest(root, k) << std::endl;

    // 清理分配的内存（在实际应用中应该使用智能指针来自动管理内存）
    delete root->left->right;
    delete root->left;
    delete root->right;
    delete root;

    return 0;
}

• 输出结果：

The 3st smallest element is: 3

3. 代码仓库地址：kthSmallest