目录
一.树形结构
二.基本概念
三.二叉树种类及性质
1.满二叉树
2.完全二叉树
3.完满二叉树
4.平衡二叉树
5.二叉树的性质
6.性质相关习题
四.二叉树的存储方式
五. 二叉树的遍历方式
六.二叉树的定义
一.树形结构
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合
它具有以下的特点：
- 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
- 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti (1 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
- 树是递归定义的。
注意：
- 树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
- 一棵N个结点的树有N-1条边。
二.基本概念
- 根节点：位于二叉树顶层的节点，没有父节点。
- 叶节点：没有子节点的节点，其两个指针均指向
None。- 边：连接两个节点的线段，即节点引用（指针）。
- 节点所在的层：从顶至底递增，根节点所在层为 1 。
- 节点的度：节点的子节点的数量。在二叉树中，度的取值范围是 0、1、2 。
- 二叉树的高度/深度：从根节点到最远叶节点所经过的边的数量。
- 节点的深度：从根节点到该节点所经过的边的数量。
- 节点的高度：从距离该节点最远的叶节点到该节点所经过的边的数量。
有些题目或教材可能会将其定义为“经过的节点的数量”。在这种情况下，高度和深度都需要加 1 。- 以上重点记忆
- 非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支结点
- 兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
- 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
- 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
- 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林
三.二叉树种类及性质
1.满二叉树
满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵 二叉树的层数为K，且结点总数是2^k - 1 ，则它就是满二叉树。
2.完全二叉树
完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
3.完满二叉树
完满二叉树：除了叶节点之外，其余所有节点都有两个子节点。
4.平衡二叉树
平衡二叉树：中任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过 1 。
5.二叉树的性质
- 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^i-1 (i>0)个结点
- 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 (k>=0)
- 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,
则有n0＝n2＋1- 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log2(n+1) 上取整
- 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i 的结点有：
若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子- 在完全二叉树中，如果节点总个数为奇数，则没有度为1的节点；如果节点总个数为偶数，只有一个度为1的节点。
6.性质相关习题
题目：某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为?
题解：由二叉树的性质，如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1，所以n0 = 199 +1 = 200.
题目：在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
题解：
2n为偶数，因此有一个度为1的节点。
2n = n0 + 1 + n2 = n0 + 1 + n0 - 1
2n = 2n0
n0 = n
题目：一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
767为奇数没有度为1的节点，767 = n0 + n1 + n2 767 = n0 + 0 + n2
题解：由n0 = n2 + 1推出n2 = n0 - 1 767 = n0 + 0 + n0 -1 -> 767 = 2n0 - 1
所以：n0 = 768 / 2 = 384
题目：一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（ ）
题解：已知节点求高度，运用性质4，h = log(n+1)向上取证。h = log(531+1)，向上取整为10
题目：将一颗有 100 个结点的完全二叉树从根这一层开始，每一层从左到右依次对结点进行编号，根节点编号为 1 ，则编号为 98 的节点的父节点编号为（）
因为根节点编号从1开始且为完全二叉树，根据性质若2i<n，左孩子序号：2i
所以父节点为98/2 = 49
题目： 一颗拥有1000个结点的树，树的度（即一个节点的最大子节点数）为4，则它的最小深度是（ ）
当这棵树每一层都是满的时，它的深度最小。也就是说，这棵树应当是一棵满四叉树。
高度为h，则这个树的节点个数为(4^h - 1) / 3，当h = 5, 最大节点数为341， 当h = 6, 最大节点数为1365，所以最小深度应该为6。
题目：在一颗度为3的树中，度为3的结点有2个，度为2的结点有1个，度为1的结点有2个，则叶子结点有（ ）个。
题解：令n3 = 2；n2 = 1；n1 = 2；设总结点的个数为N
则由节点个数的关系得 N = n3 + n2 + n1 + n0，由边条数的关系得 N-1 = 3*n3 + 2*n2 + 1*n1 + 0*n0
联立可得：N = 2 + 1 + 2 + n0，N-1 = 3*2 + 2*1 + 1*2 + 0
n0 = 6
四.二叉树的存储方式
二叉树可以链式存储，也可以顺序存储。
链式存储方式就用指针， 顺序存储的方式就是用数组。
链式（指针指向）：
顺序（数组）：
用数组来存储二叉树如何遍历的呢？
如果父节点的数组下标是 i，那么它的左孩子就是 i * 2 + 1，右孩子就是 i * 2 + 2。
五. 二叉树的遍历方式
二叉树主要有两种遍历方式：
- 深度优先遍历：先往深走，遇到叶子节点再往回走。
- 广度优先遍历：一层一层的去遍历。
- 深度优先遍历
- 前序遍历（递归法，迭代法） 遵循根左右的顺序
- 中序遍历（递归法，迭代法） 遵循左根右的顺序
- 后序遍历（递归法，迭代法） 遵循左右根的顺序
- 广度优先遍历
- 层序遍历（迭代法） 从上到下从左到右遍历
六.二叉树的定义
class TreeNode {
public char val;
public TreeNode left;
public TreeNode right;
public TreeNode(char val) {
this.val = val;
}
}
public TreeNode createTree (){
TreeNode A = new TreeNode('A');
TreeNode B = new TreeNode('B');
TreeNode C = new TreeNode('C');
TreeNode D = new TreeNode('D');
TreeNode E = new TreeNode('E');
TreeNode F = new TreeNode('F');
TreeNode G = new TreeNode('G');
TreeNode H = new TreeNode('H');
A.left = B;
A.right = C;
B.left = D;
B.right = E;
C.left = F;
C.right = G;
E.right = H;
return A;
}
