Scipy误差函数详解

news2024/11/16 23:29:39

文章目录

- 误差函数简介
- 复平面上的误差函数
- 与误差函数相关的函数

误差函数简介

误差函数的实质是正态分布的概率，其重要性可见一斑，其表达式为

$\operatorname{erf}=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int^x_0e^{-t^2}\text dt$

和标准正态分布累积分布函数 $\Phi$ 的关系为

$\Phi(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\operatorname{erf}(\frac{x}{\sqrt{2}})$

scipy中提供了erf函数，下面画一下误差函数的图像

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.special as ss
xs = np.arange(-3000, 3000)/1000
plt.plot(xs, ss.erf(xs))
plt.show()

在这里插入图片描述

由于误差函数在概率统计中的含义是累积分布函数，所以不可能是发散的。其泰勒展开也收敛，其泰勒级数为

$\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt\pi}\sum^\infty_{n=0}\frac{(-1)^nz^{2n+1}}{n!(2n+1)}$

复平面上的误差函数

误差函数在复平面上也有定义，而且图像十分精彩

xs, ys = np.indices([500,500])/100-2.5
zs = ss.erf(xs + 1j*ys)
fig = plt.figure()

ax = fig.add_subplot(1,3,1,projection='3d')
ax.plot_surface(xs, ys, np.real(zs))
ax.set_title("real(zs)")

ax = fig.add_subplot(1,3,2,projection='3d')
ax.plot_surface(xs, ys, np.imag(zs))
ax.set_title("imag(zs)")

ax = fig.add_subplot(1,3,3,projection='3d')
ax.plot_surface(xs, ys, np.abs(zs))
ax.set_title("abs(zs)")

plt.show()

图像为

在这里插入图片描述

如果把其实部或者虚部画成为彩图可能更加带感

xs, ys = np.indices([400,400])/100-2
zs = ss.erf(xs + 1j*ys)
plt.imshow(np.real(zs), cmap=plt.cm.prism)
plt.axis('off')
plt.show()

得到

在这里插入图片描述

与误差函数相关的函数

在scipy中，定义了一些列和误差函数相关的函数，

函数	与`erf`的关系
`erfc`	`1 - erf(x)`
`erfcx`	`exp(x*2) erfc(x)`
`erfi`	`-i erf(i z)`
`erfinv`	误差函数翻转
`erfcinv`	`erfc`翻转

下面逐一演示这3对函数

fDct = {
    "erf":ss.erf,
    "erfinv":ss.erfinv,
    "erfi":ss.erfi,
    "erfc":ss.erfc,
    "erfcinv":ss.erfcinv,
    "erfcx":ss.erfcx
}

fig = plt.figure()
xs = np.arange(-3000, 3000)/1000
for i,key in enumerate(fDct):
    ax = fig.add_subplot(2,3,i+1)
    ax.plot(xs, fDct[key](xs))
    ax.set_title(key)

plt.show()