【C++算法图解专栏】一篇文章带你入门二分算法

news2024/11/17 3:24:05

✍个人博客：https://blog.csdn.net/Newin2020?spm=1011.2415.3001.5343
📣专栏定位：为 0 基础刚入门数据结构与算法的小伙伴提供详细的讲解，也欢迎大佬们一起交流~
📚专栏地址：https://blog.csdn.net/Newin2020/article/details/126445229
❤️如果有收获的话，欢迎点赞👍收藏📁，您的支持就是我创作的最大动力💪
🎏唠叨唠叨：在这个专栏里我将会整理 PAT 甲级的真题题解，并将他们进行分类，方便大家参考。

二分法

这一讲我们来介绍一个经常出现在我们视野中的算法 —— 二分法，想必大家都不陌生，利用它可以优化很多过程，使时间复杂度骤降，正如其名二分一样，不用从头往后一个个的遍历。

虽然作为基础算法之一，但是想要完全掌握它并不容易，最让人折磨的是它那“迷人”的边界问题。作为初学者，没必要研究的过于细致，会对自信心有很大的打击，可以先记下模板，后面题目做多了就会慢慢体会出来，接下来我将给大家讲解二分法的一些常用算法和模板。

在此之前需强调一下，二分法只适用于有序序列中，在无序序列中使用二分法没有任何意义。

整数二分

还是继承我们的传统，边讲题目边介绍算法，首先来看第一道开胃菜。

猜数问题

给定 100 以内的一个数，让我们猜出是哪个数。

如果从 1 遍历到 100 那显得比较麻烦，特别是当数字范围扩大时，比如扩大到 10 万，那时间复杂度将非常的高。

所以就要用到二分法来做，每次取中值进行判断，然后再不断地缩小范围，直到超出边界为止，它可以将时间复杂度从 O(1) 降到 O(log2n)，还是很可观的。

我们直接上代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1000];
int bin_search(int* a, int n, int x) {   //在数组a中找数字x，返回位置
    int left = 0, right = n;
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (a[mid] >= x) right = mid;
        else             left = mid + 1;
        cout << a[mid] << " ";              //打印猜数的过程
    }
    return left;
}
int main() {
    int n = 100;
    for (int i = 0; i < n; i++) a[i] = i + 1;      //赋值，数字1~100
    int test = 54;                      //猜54这个数
    int pos = bin_search(a, n, test);
    cout << "\n" << "test=" << a[pos];
}

其中 mid=left+(right-left)/2 需要大家牢记，它等价于 mid=(left+right)/2，但因为防止整数过大导致溢出，所以我们常用前面那种写法。

另外，我相信这代码中最让人难以理解的是 left 和 right 两指针的边界问题，我这里采用的这种做法的 while 条件为 left<right 而不是 left<=right。这就考虑到循环内部的代码了，先来看看循环内部重点代码的含义分别是什么：

  • int mid=left+(right-left)/2 表示取左边界 left 和右边界 right 的中值，但需要注意的是由于特性，编译器在计算时遇到小数会自动向下取整，比如 5/2=2，这是一个很关键的点。
  • if(a[mid]>=x) right=mid 表示当中值大于等于目标值时，将右边界 right 缩小到 mid。因为目标值可能就是 mid，所以不能使 right=mid-1。
  • else left=mid+1 表示当中值小于目标值时，将左边界 left 缩小到 mid+1。因为目标值现在只可能出现中值的右边，故如果使 left=mid 将毫无意义，已经确定 a[mid] 不是目标值了，并且还可能导致死循环。例如，left=0,right=1，则 mid=1/2=0，且 a[mid]<x，如果还让 left=mid 则循环将永远进行下去。

现在我们考虑，为什么不能让中值大于目标值时 right=mid-1 且中值小于等于目标值时 left=mid，即让上面判断条件反过来。还是上面那个例子，left=0,right=1，则 mid=1/2=0，且 a[mid]<=x，如果让 left=mid 则会死循环。当然也有解决方法，但为了避免混淆，只记住一种方法即可，在后续的使用中只用自己背过的那种处理方法。

但是这道题只是其中一种题型，我们需要背的不只这一个模板，因为这里解决的是一个确定的数，如果该数不存在怎么办，还需要进一步讨论，这就需要继续看我们下面的模板题了。

在单调递增序列中找 x 或者 x 的后继

在单调递增数列 a 中查找某个数 x，如果数列中没有 x，找比它大的第一个数。

这道题和上道题唯一不同的地方就是该题查找的数可能不存在，如果不存在则要找到大于它的第一个数，还是先来看代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1000];
int bin_search(int* a, int n, int x) {     //a[0]～a[n-1]是单调递增的
    int left = 0, right = n;              //注意：不是 n-1，此时是左闭右开的[0,n)
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;  //int mid = (left + right) >> 1;
        if (a[mid] >= x)  right = mid;
        else    left = mid + 1;
    }                                     //终止于left = right
    return left;
}
int main() {
    int n = 100;
    for (int i = 0; i < n; i++) a[i] = 2 * i + 2;      //赋值，数字2~200，偶数
    int test = 55;                        //找55或55的后继
    int pos = bin_search(a, n, test);
    cout << "test=" << a[pos];
}

可以发现，这个代码和上面一题的核心代码部分一模一样，说明这一类的题都可以用到这个模板。可能会有小伙伴有疑问，如果将 if else 中的条件互换会怎样，答案在下一道题中。

在单调递增序列中找 x 或者 x 的前驱

在单调递增数列 a 中查找某个数 x，如果数列中没有 x，找比它小的第一个数。

这道题咋一看好像和上题差不多，但代码却有区别，上面提到如果将 if else 中条件互换会怎样，来看代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1000];
int bin_search2(int* a, int n, int x) {    //a[0]～a[n-1]是单调递增的
    int left = 0, right = n;
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left + 1) / 2;
        if (a[mid] <= x)  left = mid;
        else  right = mid - 1;
    }                                     //终止于left = right
    return left;
}
int main() {
    int n = 100;
    for (int i = 0; i < n; i++) a[i] = 2 * i + 2;     //赋值，数字2~200,偶数
    int test = 55;                       //找55或55的前驱
    int pos = bin_search2(a, n, test);
    cout << "test=" << a[pos];
}

可以发现把条件互换后，还变了一个地方就是 mid，不再是 mid=(left+right)/2，而是 mid=(left+right+1)/2，防止溢出改为 mid=left+(right-left+1)/2。这还是因为向下取整的特性，为了满足本题要求需要对此进行改动。

同样，如果将上面的 right=mid-1 改为 right=mid 也会出现死循环。

我们再来看一道稍微综合一点的模板题，帮助大家进一步理解。

数的范围

给定一个按照升序排列的长度为 n 的整数数组，以及 q 个查询。

对于每个查询，返回一个元素 k 的起始位置和终止位置（位置从 0 开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

输入格式

第一行包含整数 n 和 q，表示数组长度和询问个数。

第二行包含 n 个整数（均在 1∼10000 范围内），表示完整数组。

接下来 q 行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。

输出格式

共 q 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

数据范围

1≤n≤100000
1≤q≤10000
1≤k≤10000

输入样例：

6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5

输出样例：

3 4
5 5
-1 -1

这道题是不是看起来有点眼熟，好像和前面两题求前驱和后继的题目有点类似，还是先来看代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int k, n, q;
int arr[100010];

//后继的代码模板 —— 找左端点
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (arr[mid] < k)   l = mid + 1;
        else r = mid;
    }
    return l;
}

//前驱的代码模板 —— 找右端点
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (arr[mid] <= k) l = mid;
        else   r = mid - 1;
    }
    return l;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &q);
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        scanf("%d", &arr[i]);
    }
    while (q--)
    {
        scanf("%d", &k);
        int x = bsearch_1(0, n - 1);	//寻找左端点
        if (arr[x] != k)    printf("-1 ");
        else printf("%d ", x);
        x = bsearch_2(0, n - 1);	//寻找右端点
        if (arr[x] != k)    printf("-1\n");
        else printf("%d\n", x);
    }
    return 0;
}

本题需要我们找到目标值的相同区间，其中用到的代码模板就是前面两题的模板，归类一下：

  • 寻找左端点：套用后继代码模板
  • 寻找右端点：套用前驱代码模板

这样一看是不是要明朗一些，很多题目其实就是基于这些模板扩展来的。

浮点数二分

浮点数二分就没有整数二分那种烦人的边界问题，因为没有了向下取整，我们只需要考虑其中的精度问题，还是先来看一道模板题。

数的三次方根

给定一个浮点数 n，求它的三次方根。

输入格式

共一行，包含一个浮点数 n。

输出格式

共一行，包含一个浮点数，表示问题的解。

注意，结果保留 6 位小数。

数据范围

−10000≤n≤10000

输入样例：

1000.00

输出样例：

10.000000

这道题一开始看可能会有点懵，不知道这和二分有啥关系。在上面的模板当中，if 语句中的判断其实是可以变的，根据题目的要求进行变化。这道题我们可以对数的三次方根进行二分，先来看代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

double n;

int main()
{
    cin >> n;
    const double eps = 1e-8;
    double l = -100, r = 100;
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (r + l) / 2;
        if (mid * mid * mid >= n)   r = mid;
        else l = mid;
    }
    printf("%.6lf\n", l);
    return 0;
}

可以发现我们将左边界和右边界分别设置为了 l=-100 和 r=100，这样能够包含数据的范围，计算时区间回往中间收缩直至找到答案。另外，不用再因为边界问题而苦恼，l 和 r 在收缩时不用加一减一，直接等于 mid 即可。

但是要注意的是，浮点数会存在精度问题，可能 r 和 l 永远不相等，所以我们需要模拟相等的情形即只要 r 和 l 的差值足够小，我们就认为它相等。题目要求保留 6 位小数，所以我们可以将精度设置为 1e-8，即当 r-l 只要小于等于 1e-8，我们就认为此时已经收敛到某个值，直接退出循环即可。

总结

恭喜您成功点亮二分算法技能点！

通过上面这么多道模板题，可以发现其中的一些规律，这些题目的二分模板其实都差不多，但是从浮点数二分的模板题来看好像模板中 if 条件可能不同。很多题目不会明摆的告诉你这道题可以用二分来做，需要我们自己去找到其中的划分依据作为 if 中的判断条件，不过大体上模板都是一样的，因此二分的应用场景为：

  1. 存在一个有序的序列
  2. 可以将题目建模在一个有序序列上查找一个合适的数值

另外，我们仍然可以得出大部分题目通用的模板，如下：

整数二分通用模板

bool check(int x) {/* ... */} //检查x是否满足某种性质

//区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用，例如求一串相同数字的左边界或者某个数字及其后驱
//也就是说我们要找的这个点要尽可能的小，不断缩小右边界，但是每次的结果可能是目标值，故r=mid
int bsearch_1(int l, int r) {
	while (l < r) {
		int mid = l + (r - l) / 2;	//这样可以防止爆int
		if (check(mid))	//mid满足条件，需要保留
			r = mid;    //check()判断mid是否满足性质
		else
			l = mid + 1;
	}
	return l;
}

//区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用，例如求一串相同数字的右边界或者某个数字及其前驱
//也就是说我们要找的这个点要尽可能的大，不断缩小左边界，但是每次的结果可能是目标值，故l=mid
int bsearch_2(int l, int r) {
	while (l < r) {
		//这里要加1是因为除法是向下取整，如果不加1那么当只有两个数时，l=mid会进入死循环
		int mid = l + r + 1 >> 1;
		if (check(mid))	//mid满足条件，需要保留
			l = mid;
		else
			r = mid - 1;
	}
	return l;
}

浮点数二分通用模板

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

本文来自互联网用户投稿，该文观点仅代表作者本人，不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如若转载，请注明出处：http://www.coloradmin.cn/o/186393.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符，请联系多彩编程网进行投诉反馈，一经查实，立即删除！

相关文章

步进式PID控制算法及仿真

步进式PID控制算法及仿真

在较大阶跃响应时&#xff0c;很容易产生超调。采用步进式积分分离PID控制&#xff0c;该方法不直接对阶跃信号进行响应&#xff0c;而是使输入指令信号一步一步地逼近所要求的阶跃信号&#xff0c;可使对象运行平稳&#xff0c;适用于高精度伺服系统的位置跟踪。在步进式PID控…
阅读更多...
【数据手册】CH340G芯片使用介绍

【数据手册】CH340G芯片使用介绍

1.概述 CH340是一系列USB总线适配器&#xff0c;它通过USB总线提供串行、并行或IrDA接口。CH340G集成电路提供通用的MODEM信号&#xff0c;允许将UART添加到计算机上&#xff0c;或将现有的UART设备转换为USB接口。 2.特征 全速USB接口&#xff0c;兼容USB 2.0接口。使用最小…
阅读更多...
Android核心技术【SystemServer加载AMS】

Android核心技术【SystemServer加载AMS】

启动流程 Init 初始化Linux 层&#xff0c;处理部分服务 挂载和创建系统文件 解析rc文件&#xff1a; rc 文件中有很多action 进入无限循环 执行action&#xff1a;zygote 进程就在这里启动 for循环去解析参数&#xff0c;根据rc 文件中的action 执行相应操作 检测并重启需要…
阅读更多...
细谈文件操作

细谈文件操作

该文章将详细的介绍文件操作这方面的知识&#xff0c;文件的打开&#xff0c;关闭&#xff0c;读取&#xff0c;写入&#xff0c;以及相关的函数都会在本文一一介绍&#xff0c;干货满满喔&#xff01;1.为什么使用文件2.什么是文件2.1程序文件2.2数据文件2.3文件名3.文件的打开…
阅读更多...
SpringBoot(java)操作elasticsearch

SpringBoot(java)操作elasticsearch

elasticsearch我已经装了ik&#xff0c;中文分词器。已经使用容器搭建了集群。之前在我的博客-elasticsearch入门中&#xff0c;已经介绍了http请求操纵es的基本功能&#xff0c;java API功能和他一样&#xff0c;只是从http请求换成了javaApi操作。springBoot里继承了elastics…
阅读更多...
蓝桥杯算法训练合集八 1.数的划分2.求先序排列3.平方计算4.三角形高5.单词复数

蓝桥杯算法训练合集八 1.数的划分2.求先序排列3.平方计算4.三角形高5.单词复数

目录 1.数的划分 2.求先序排列 3.平方计算 4.三角形高 5.单词复数 1.数的划分 问题描述 将整数n分成k份&#xff0c;且每份不能为空&#xff0c;任意两份不能相同(不考虑顺序)。 例如&#xff1a;n7&#xff0c;k3&#xff0c;下面三种分法被认为是相同的。 1&#xff0c…
阅读更多...
关于宏文档开启宏后还是不能正常使用问题

关于宏文档开启宏后还是不能正常使用问题

1.问题 2.开启宏 (62条消息) [Win10Excel365]尽管已启用VBA宏&#xff0c;Excel还是无法运行宏_逍遥猴哥的博客-CSDN博客 3. 问题还是没解决 发现可能是字体显示乱码&#xff0c;导致vba运行找不到争取路径 VBA编辑器中中文乱码的解决办法&#xff1a;1、依次点击【工具→选项…
阅读更多...
如何写一个命令行解释器（SHELL）

如何写一个命令行解释器（SHELL）

文章目录前言什么是命令行解释器 ——SHELLSHELL的结构void print_info(char ** env) //打印命令行信息函数void read_comand(char **buffer) //读取指令函数char **split_line(char *buffer, int *flag) //分割字符串函数int excute_line(char **buffer, int flag) // 执行指令…
阅读更多...
Redis 安全汇总小结

Redis 安全汇总小结

Redis redis 是一个C语言编写的 key-value 存储系统&#xff0c;可基于内存亦可持久化的日志型、Key-Value数据库&#xff0c;并提供多种语言的API。它通常被称为数据结构服务器&#xff0c;因为值&#xff08;value&#xff09;可以是 字符串(String), 哈希(Hash), 列表(list…
阅读更多...
电子技术——基本MOS放大器配置

电子技术——基本MOS放大器配置

电子技术——基本MOS放大器配置 上一节我们探究了一种MOS管的放大器实现&#xff0c;其实MOS放大器还有许多变种配置&#xff0c;在本节我们学习最基本的三大MOS放大器配置&#xff0c;分别是共栅极&#xff08;CG&#xff09;、共漏极&#xff08;CD&#xff09;、共源极&…
阅读更多...
【MSSQL】分析数据库日志文件无法收缩的问题

【MSSQL】分析数据库日志文件无法收缩的问题

一、问题描述 在SQL Server 2008R2数据库中&#xff0c;无法对数据库日志进行收缩&#xff0c;导致日志不断膨胀。 二、问题分析 由于是日志文件不断增大且无法收缩&#xff0c;所以初步判断为存在未提交的事务。检查可能阻止日志阶段的活动事务&#xff0c;执行&#xff1a…
阅读更多...
使用 JMX 连接远程服务进行监测

使用 JMX 连接远程服务进行监测

使用 JMX 连接远程服务进行监测1.JVM参数2.启动脚本3.演示使用相关JMX工具连接部署在服务器上的Java应用&#xff0c;可以对应用的内存使用量&#xff0c;CPU占用率和线程等信息进行监测。相关监测工具有jconsole&#xff0c;jprofiler&#xff0c;jvisualvm等。1.JVM参数 监测…
阅读更多...
本地镜像发布到阿里云

本地镜像发布到阿里云

1、找到阿里云控制台中的容器镜像服务&#xff0c;进入个人版 2、先创建命名空间&#xff0c;再创建镜像仓库 记住创建时设置的密码&#xff0c;选择创建本地的镜像仓库 建完之后&#xff0c;选择管理 进入后的界面如下 内容如下&#xff1a; 1. 登录阿里云Docker Registry $…
阅读更多...
547、RocketMQ详细入门教程系列 -【消息队列之 RocketMQ（一）】 2023.01.30

547、RocketMQ详细入门教程系列 -【消息队列之 RocketMQ（一）】 2023.01.30

目录一、RocketMQ 特点二、基本概念2.1 生产者2.2 消费者2.3 消息服务器2.4 名称服务器三、参考链接一、RocketMQ 特点 RocketMQ 是阿里巴巴在2012年开源的分布式消息中间件&#xff0c;目前已经捐赠给 Apache 软件基金会&#xff0c;并于2017年9月25日成为 Apache 的顶级项目…
阅读更多...
【自然语言处理】【大模型】PaLM：基于Pathways的大语言模型

【自然语言处理】【大模型】PaLM：基于Pathways的大语言模型

PaLM&#xff1a;基于Pathways的大语言模型《PaLM: Scaling Language Modeling with Pathways》论文地址&#xff1a;https://arxiv.org/pdf/2204.02311.pdf 相关博客 【自然语言处理】【大模型】PaLM&#xff1a;基于Pathways的大语言模型 【自然语言处理】【chatGPT系列】大语…
阅读更多...
电脑重装系统后找不到硬盘怎么办

电脑重装系统后找不到硬盘怎么办

有网友的win10系统电脑出了系统故障进行了重装&#xff0c;但是又发现了重装系统后找不到硬盘的新问题&#xff0c;那么重装系统后找不到硬盘怎么办呢? 工具/原料&#xff1a; 系统版本&#xff1a;win10专业版 品牌型号&#xff1a;戴尔成就5880 方法/步骤&#xff1a; …
阅读更多...
使用FFmpeg工具进行推流、拉流、截图、变速、转换，及常见问题处理

使用FFmpeg工具进行推流、拉流、截图、变速、转换，及常见问题处理

下载安装 FFmpeg下载官网&#xff1a;FFmpeg &#xff0c;这里提供了官网下载的windows环境 4.1.3版本&#xff1a;https://download.csdn.net/download/qq_43474959/12311422 下载后&#xff0c;配置环境变量&#xff0c;将bin文件地址加入到path中&#xff1a; 测试 在cmd…
阅读更多...
数据结构 | 图结构 | 最小生成树 | Kruskal Prim算法讲解

数据结构 | 图结构 | 最小生成树 | Kruskal Prim算法讲解

文章目录前言Kruskal算法Prim算法前言 讲解之前&#xff0c;我们需要先明白连通图是指什么&#xff1f;连通图具有以一个顶点为起点可以到达该图中的任意一个顶点的特性&#xff0c;就算它们不直接相连&#xff0c;但是它们之间至少有一条可以递达的路径。并且连通图是针对无向…
阅读更多...
Mysql 中的日期时间函数汇总

Mysql 中的日期时间函数汇总

日期和时间函数MySQL中内置了大量的日期和时间函数&#xff0c;能够灵活、方便地处理日期和时间数据&#xff0c;本节就简单介绍一下MySQL中内置的日期和时间函数。1　CURDATE()函数CURDATE()函数用于返回当前日期&#xff0c;只包含年、月、日部分&#xff0c;格式为YYYY-MM-D…
阅读更多...
【Unity3D小工具】Unity3D中实现仿真时钟、表盘、仿原神时钟

【Unity3D小工具】Unity3D中实现仿真时钟、表盘、仿原神时钟

推荐阅读 CSDN主页GitHub开源地址Unity3D插件分享简书地址我的个人博客 大家好&#xff0c;我是佛系工程师☆恬静的小魔龙☆&#xff0c;不定时更新Unity开发技巧&#xff0c;觉得有用记得一键三连哦。 一、前言 今天实现一个时钟工具&#xff0c;其实在之前已经完成了一个简…
阅读更多...
推荐文章
最新文章

Copyright @ 2022~2023