算法训练营 day24 回溯算法 回溯算法理论基础 组合
回溯算法理论基础
回溯法也可以叫做回溯搜索法，它是一种搜索的方式。
虽然回溯法很难，很不好理解，但是回溯法并不是什么高效的算法。
因为回溯的本质是穷举，穷举所有可能，然后选出我们想要的答案。
回溯法，一般可以解决如下几种问题：
- 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
- 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
- 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
- 排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
- 棋盘问题：N皇后，解数独等等
回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构，是的，我指的是所有回溯法的问题都可以抽象为树形结构！
因为回溯法解决的都是在集合中递归查找子集，集合的大小就构成了树的宽度，递归的深度，都构成的树的深度。
递归就要有终止条件，所以必然是一棵高度有限的树（N叉树）。
回溯三部曲
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回溯函数模板返回值以及参数
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回溯函数终止条件
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回溯搜索的遍历过程
回溯算法模板框架如下：
void backtracking(参数) {
if (终止条件) {
存放结果;
return;
}
for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
处理节点;
backtracking(路径，选择列表); // 递归
回溯，撤销处理结果
}
}
组合
77. 组合 - 力扣（LeetCode）
给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。
你可以按 任何顺序 返回答案。
- 递归函数的返回值以及参数
在这里要定义两个全局变量，一个用来存放符合条件单一结果，一个用来存放符合条件结果的集合。
static List<List<Integer>> result = new ArrayList<List<Integer>>();
static List<Integer> path = new ArrayList<Integer>();
从下图中红线部分可以看出，在集合[1,2,3,4]取1之后，下一层递归，就要在[2,3,4]中取数了，那么下一层递归如何知道从[2,3,4]中取数呢，靠的就是startIndex。
所以需要startIndex来记录下一层递归，搜索的起始位置。
那么整体代码如下：
List<List<Integer>> result = new ArrayList<List<Integer>>();
List<Integer> path = new ArrayList<Integer>();
void backtracking(int n, int k, int startIndex)
- 回溯函数终止条件
path这个数组的大小如果达到k，说明我们找到了一个子集大小为k的组合了，在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。
if (path.size()==k){
result.add(path);
return;
}
- 单层搜索的过程
for循环每次从startIndex开始遍历，然后用path保存取到的节点i。
代码如下：
for (int i = startIndex; i <= n; i++) { // 控制树的横向遍历
path.add(i); // 处理节点
backtracking(n, k, i + 1); // 递归：控制树的纵向遍历，注意下一层搜索要从i+1开始
path.remove(path.size()-1); // 回溯，撤销处理的节点
}
java整体代码如下：
class Solution {
List<List<Integer>> result = new ArrayList<List<Integer>>();
List<Integer> path = new ArrayList<Integer>();
public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
backtracking(n,k,1);
return result;
}
void backtracking(int n, int k, int startIndex){
if (path.size()==k){
result.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
for (int i = startIndex; i <= n; i++){
path.add(i);
backtracking(n,k,i+1);
path.remove(path.size()-1);
}
}
优化剪枝
所以，可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。
如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。
接下来看一下优化过程如下：
- 已经选择的元素个数：path.size();
- 还需要的元素个数为: k - path.size();
- 在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1，开始遍历
为什么有个+1呢，因为包括起始位置，我们要是一个左闭的集合。
举个例子，n = 4，k = 3， 目前已经选取的元素为0（path.size为0），n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。
从2开始搜索都是合理的，可以是组合[2, 3, 4]。
优化后代码：
class Solution {
List<List<Integer>> result = new ArrayList<List<Integer>>();
List<Integer> path = new ArrayList<Integer>();
public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
backtracking(n,k,1);
return result;
}
void backtracking(int n, int k, int startIndex){
if (path.size()==k){
result.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
for (int i = startIndex; i <= n-(k-path.size())+1; i++){
path.add(i);
backtracking(n,k,i+1);
path.remove(path.size()-1);
}
}
}
