算法学习014 0-1背包问题 c++动态规划算法实现中小学算法思维学习信奥算法解析

news2025/1/11 18:30:14

C++0-1背包

一、题目要求

1、编程实现

2、输入输出

二、算法分析

三、程序编写

四、运行结果

五、考点分析

六、推荐资料

C++0-1背包

一、题目要求

1、编程实现

有 N 件物品和一个容量为 M的背包，每件物品有各自的价值且只能被选择一次，要求在有限的背包容量下，装入的物品总价值最大。

2、输入输出

输入描述：第一行输入两个整数，分别表示N和M，中间空格隔开

第二行输入N个整数，表示每件物品需要的空间（vi）

第三行输入N个整数，表示每件物品的价值（wi）

输出描述：只有一行，一个整数，即最大的价值总和

输入样例：

4 20
8 9 5 2
5 6 7 3

输出样例：

二、算法分析

从给定题目的初步分析可以看出，本题是比较典型的背包问题
所以可以采用动态规划的方式实现
由于要求的是最大价值总和，所以可以设置动态数组dp[i][j]，i表示第i个物品，j表示放入物品的容量，dp[i][j]表示的是放入前i个物品，且容量不超过j的最大价值
而每件物品可以选择放或者不放，如果不放，也就是前i-1件物品放入容量为j的背包，对应的dp[i][j] = dp[i-1][j]
如果放入i件物品，也就是前i-1件物品，也就是前i-1件物品放入容量为j-vi的背包的价值总和，加上当前第i件物品对应的价值wi，dp[i][j] = dp[i-1][j-v[i]] + w[i]
所以可以得出对应的动态数组dp[i]的状态转移方为：dp[i]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]] + w[i])
物品放入背包是逐个放置，所以遍历顺序从前往后

三、程序编写

解法一：

//程序中的dp和cost数组可以使用动态数组vector进行实现更好
//N为物品数量，m为最大容量，dp存放的是前i件物品容量为j所能获得的最大价值
//v数组存放的是每件物品所需空间，w数组为每件物品对应的价值
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 101;
const int M = 100000;
int dp[N][M],v[N],w[N];
int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin >> v[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin >> w[i];
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=m;j++)
		{
			if(j>v[i]) dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);
			else dp[i][j] = dp[i-1][j];
		}
	
	cout << dp[n][m];
}

解法二：（优化）

//0-1背包
//N为物品数量，m为最大容量，dp存放的是前i件物品容量为v所能获得的最大价值
//v数组存放的是每件物品所需空间，w数组为每件物品对应的价值
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 101;
const int V = 100010;
int dp[V],v[N],w[N];
int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin >> v[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin >> w[i];
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=m;j>=v[i];j--)
		{
			dp[j] = max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
		}
	
	cout << dp[m];
}

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