Matlab数学建模实战应用：案例3

前言

一、问题分析

二、模型建立

三、Matlab代码实现

完整代码示例

四、模型验证

五、模型应用

实例示范：投资组合优化

步骤 1：导入数据并计算统计量

步骤 2：建立优化模型并求解

步骤 3：绘制有效前沿（Efficient Frontier）

步骤 4：比较不同投资组合策略

步骤 5：回测和风险评估

步骤 6：计算夏普比率和最大回撤

步骤 7：应用模型进行投资决策支持和资产再平衡

实例总结

投资决策支持

资产再平衡

风险监控

总结

前言

投资组合优化是金融工程中的核心问题之一，通过合理分配资金在不同资产之间，可以在控制风险的同时最大化收益。本文将详细介绍一个投资组合优化的完整过程，包括问题分析、模型选择、Matlab代码实现、模型验证和应用。

一、问题分析

投资目标：
- 投资者通常希望通过组合投资来分散风险，同时获得合理回报。常见的目标包括最大化收益、最小化风险或在特定风险水平下最大化收益。
风险控制：
- 分散投资的主要目的是通过持有不同资产，降低单个资产的波动对整体组合的影响。风险控制可以通过方差或标准差等指标来衡量。
资产收益率：
- 每个资产的预期收益率是投资决策的重要依据，可以通过历史数据或金融模型获得。
投资组合策略：
- 投资组合策略包括均值-方差模型（Markowitz模型）、资本资产定价模型（CAPM）等。

二、模型建立

三、Matlab代码实现

以下是使用Markowitz模型进行投资组合优化的完整代码示例。

导入数据：
- 假设资产的历史收益率信息存储在文件assets_data.csv中。

    % 读取资产收益率数据
    data = readtable('assets_data.csv');
    returns = data{:,:}; % 假设数据的各列为不同资产的收益率
    num_assets = size(returns, 2);

    % 计算资产的期望收益率和协方差矩阵
    exp_returns = mean(returns);
    cov_matrix = cov(returns);

建立优化模型：
- 使用Markowitz均值-方差模型寻找最优投资组合。

    % 设置优化目标和约束
    target_return = 0.02; % 目标收益率
    Aeq = ones(1, num_assets); % 权重之和为1
    beq = 1;
    lb = zeros(num_assets, 1); % 各资产权重要大于等于0
    ub = ones(num_assets, 1); % 各资产权重要小于等于1

    % 使用quadprog求解二次规划问题
    options = optimoptions('quadprog', 'Display', 'off');
    w = quadprog(cov_matrix, [], -exp_returns, -target_return, Aeq, beq, lb, ub, [], options);

    % 输出最优权重和预期收益、风险
    optimal_return = exp_returns * w;
    optimal_risk = sqrt(w' * cov_matrix * w);
    disp(['Optimal Weights: ', num2str(w')]);
    disp(['Expected Return: ', num2str(optimal_return)]);
    disp(['Expected Risk: ', num2str(optimal_risk)]);

绘制有效前沿（Efficient Frontier）：
- 通过绘制有效前沿，我们可以看到在不同收益率和风险水平下的最优投资组合。

    % 生成不同目标收益率下的有效前沿
    target_returns = linspace(min(exp_returns), max(exp_returns), 50);
    risks = zeros(size(target_returns));
    weights = zeros(num_assets, length(target_returns));

    for i = 1:length(target_returns)
        rt = target_returns(i);
        w = quadprog(cov_matrix, [], -exp_returns, -rt, Aeq, beq, lb, ub, [], options);
        weights(:, i) = w;
        risks(i) = sqrt(w' * cov_matrix * w);
    end

    % 绘制有效前沿
    figure;
    plot(risks, target_returns, 'LineWidth', 2);
    title('Efficient Frontier');
    xlabel('Risk (Standard Deviation)');
    ylabel('Return');
    grid on;

比较不同投资组合策略：
- 通过比较不同的投资组合策略（如等权重策略、风险最小化策略）来评估各策略的优缺点。

    % 等权重策略
    w_eq = ones(num_assets, 1) / num_assets;
    return_eq = exp_returns * w_eq;
    risk_eq = sqrt(w_eq' * cov_matrix * w_eq);

    % 风险最小化策略
    w_min_risk = quadprog(cov_matrix, [], [], [], Aeq, beq, lb, ub, [], options);
    return_min_risk = exp_returns * w_min_risk;
    risk_min_risk = sqrt(w_min_risk' * cov_matrix * w_min_risk);

    % 绘制比较图
    figure;
    plot(risks, target_returns, 'LineWidth', 2);
    hold on;
    scatter(risk_eq, return_eq, 50, 'r', 'filled');
    scatter(risk_min_risk, return_min_risk, 50, 'g', 'filled');
    legend('Efficient Frontier', 'Equal Weight', 'Minimum Risk', 'Location', 'Best');
    title('Comparison of Investment Strategies');
    xlabel('Risk (Standard Deviation)');
    ylabel('Return');
    grid on;

完整代码示例

% 读取资产收益率数据
data = readtable('assets_data.csv');
returns = data{:,:}; % 假设数据的各列为不同资产的收益率
num_assets = size(returns, 2);

% 计算资产的期望收益率和协方差矩阵
exp_returns = mean(returns);
cov_matrix = cov(returns);

% 设置优化目标和约束
target_return = 0.02; % 目标收益率
Aeq = ones(1, num_assets); % 权重之和为1
beq = 1;
lb = zeros(num_assets, 1); % 各资产权重要大于等于0
ub = ones(num_assets, 1); % 各资产权重要小于等于1

% 使用quadprog求解二次规划问题
options = optimoptions('quadprog', 'Display', 'off');
w = quadprog(cov_matrix, [], -exp_returns, -target_return, Aeq, beq, lb, ub, [], options);

% 输出最优权重和预期收益、风险
optimal_return = exp_returns * w;
optimal_risk = sqrt(w' * cov_matrix * w);
disp(['Optimal Weights: ', num2str(w')]);
disp(['Expected Return: ', num2str(optimal_return)]);
disp(['Expected Risk: ', num2str(optimal_risk)]);

% 生成不同目标收益率下的有效前沿
target_returns = linspace(min(exp_returns), max(exp_returns), 50);
risks = zeros(size(target_returns));
weights = zeros(num_assets, length(target_returns));

for i = 1:length(target_returns)
    rt = target_returns(i);
    w = quadprog(cov_matrix, [], -exp_returns, -rt, Aeq, beq, lb, ub, [], options);
    weights(:, i) = w;
    risks(i) = sqrt(w' * cov_matrix * w);
end

% 绘制有效前沿
figure;
plot(risks, target_returns, 'LineWidth', 2);
title('Efficient Frontier');
xlabel('Risk (Standard Deviation)');
ylabel('Return');
grid on;

% 等权重策略
w_eq = ones(num_assets, 1) / num_assets;
return_eq = exp_returns * w_eq;
risk_eq = sqrt(w_eq' * cov_matrix * w_eq);

% 风险最小化策略
w_min_risk = quadprog(cov_matrix, [], [], [], Aeq, beq, lb, ub, [], options);
return_min_risk = exp_returns * w_min_risk;
risk_min_risk = sqrt(w_min_risk' * cov_matrix * w_min_risk);

% 绘制比较图
figure;
plot(risks, target_returns, 'LineWidth', 2);
hold on;
scatter(risk_eq, return_eq, 50, 'r', 'filled');
scatter(risk_min_risk, return_min_risk, 50, 'g', 'filled');
legend('Efficient Frontier', 'Equal Weight', 'Minimum Risk', 'Location', 'Best');
title('Comparison of Investment Strategies');
xlabel('Risk (Standard Deviation)');
ylabel('Return');
grid on;

四、模型验证

投资组合优化模型建立后，需要通过实际数据检验其有效性。以下是模型验证的几个方面：

回测（Backtesting）：
- 回测是通过使用历史数据检验投资策略在过去的表现，从而评估其有效性和稳定性。

    % 从历史数据中取出一部分作为回测数据
    backtest_returns = returns(end-12:end,:); % 假设最近一年（12个月）数据用于回测

    % 根据优化模型得到的权重进行回测
    portfolio_returns = backtest_returns * w;
    portfolio_cumulative_returns = cumprod(1 + portfolio_returns) - 1;

    % 绘制回测结果
    figure;
    plot(1:length(portfolio_cumulative_returns), portfolio_cumulative_returns, 'b', 'LineWidth', 2);
    title('Backtesting Portfolio Cumulative Returns');
    xlabel('Time (months)');
    ylabel('Cumulative Returns');
    grid on;

风险评估：
- 使用夏普比率、最大回撤等指标评估投资组合的风险和收益。

    % 计算夏普比率（假设无风险利率为 0.03）
    risk_free_rate = 0.03 / 12; % 月利率
    excess_returns = portfolio_returns - risk_free_rate;
    sharpe_ratio = mean(excess_returns) / std(excess_returns);

    % 计算最大回撤
    cumulative_returns = cumprod(1 + portfolio_returns) - 1;
    drawdowns = max(max(cumulative_returns) - cumulative_returns);
    max_drawdown = max(drawdowns);

    disp(['Sharpe Ratio: ', num2str(sharpe_ratio)]);
    disp(['Maximum Drawdown: ', num2str(max_drawdown)]);

比较不同回测策略：
- 通过比较等权重策略、风险最小化策略等回测结果对比不同策略的优劣。

    % 根据等权重策略进行回测
    portfolio_returns_eq = backtest_returns * w_eq;
    portfolio_cumulative_returns_eq = cumprod(1 + portfolio_returns_eq) - 1;

    % 根据风险最小化策略进行回测
    portfolio_returns_min_risk = backtest_returns * w_min_risk;
    portfolio_cumulative_returns_min_risk = cumprod(1 + portfolio_returns_min_risk) - 1;

    % 绘制不同策略的回测结果比较
    figure;
    plot(1:length(portfolio_cumulative_returns), portfolio_cumulative_returns, 'b', 'LineWidth', 2);
    hold on;
    plot(1:length(portfolio_cumulative_returns_eq), portfolio_cumulative_returns_eq, 'r--', 'LineWidth', 2);
    plot(1:length(portfolio_cumulative_returns_min_risk), portfolio_cumulative_returns_min_risk, 'g-.', 'LineWidth', 2);
    legend('Optimal Portfolio', 'Equal Weight Portfolio', 'Minimum Risk Portfolio', 'Location', 'Best');
    title('Comparison of Backtesting Cumulative Returns');
    xlabel('Time (months)');
    ylabel('Cumulative Returns');
    grid on;

以下表格总结了模型验证步骤及其示例：

步骤	说明	示例代码
回测	使用历史数据检验投资策略的有效性和稳定性	`backtest_returns = returns(end-12:end,:); portfolio_returns = backtest_returns * w;`
风险评估	使用夏普比率、最大回撤等指标评估投资组合的风险和收益	`sharpe_ratio = mean(excess_returns) / std(excess_returns); max_drawdown = max(drawdowns);`
比较不同回测策略	比较等权重策略、风险最小化策略等回测结果	`plot(1:length(portfolio_cumulative_returns), portfolio_cumulative_returns, 'b');`

五、模型应用

投资组合优化模型的实际应用包括以下几个方面：

投资决策支持：
- 根据优化模型的建议，分配资金到不同资产，形成具体的投资组合策略。

    % 输出最优投资组合权重
    disp('Optimal Portfolio Weights:');
    disp(w);

    % 根据权重分配投资金额（假设总金额为100万元）
    total_investment = 1e6;
    investment_allocation = total_investment * w;
    fprintf('Investment Allocation:\n');
    for i = 1:num_assets
        fprintf('Asset %d: %.2f\n', i, investment_allocation(i));
    end

资产再平衡：
- 随着市场条件的变化，定期调整投资组合，使其始终符合最优比例。

    % 设定再平衡周期（例如每季度）
    rebalance_period = 3; % 每3个月进行一次再平衡
    for t = rebalance_period:rebalance_period:length(prices)
        current_prices = prices(t-rebalance_period+1:t,:);
        current_returns = diff(log(current_prices)); % 计算最新收益率
        current_exp_returns = mean(current_returns);
        current_cov_matrix = cov(current_returns);

        % 使用最新数据重新进行优化
        w = quadprog(current_cov_matrix, [], -current_exp_returns, -target_return, Aeq, beq, lb, ub, [], options);

        % 更新投资组合权重
        disp(['Rebalanced Weights at Time ', num2str(t)]);
        disp(w');
    end

风险监控：
- 持续监控投资组合的风险和波动，并根据市场变化和投资目标进行调整。

    % 每月计算投资组合的实际收益和风险
    for t = 1:length(prices)
        % 计算逐月收益率
        monthly_returns = mean(returns(t,:));
        monthly_risks = std(returns(t,:));

        % 输出月度收益和风险
        fprintf('Month %d: Return = %.4f, Risk = %.4f\n', t, monthly_returns, monthly_risks);

        % 如果风险超出预期范围，采取相应措施
        if monthly_risks > expected_risk_range
            disp('Risk exceeds expected range, consider rebalancing or adjusting strategy.');
        end
    end

以下总结了模型应用的步骤及其示例：

应用场景	说明	示例代码
投资决策支持	根据优化模型的建议，分配资金到不同资产	`investment_allocation = total_investment * w;`
资产再平衡	定期调整投资组合，使其始终符合最优比例	`w = quadprog(current_cov_matrix, [], -current_exp_returns, -target_return, ...);`
风险监控	持续监控投资组合的风险和波动，并根据市场变化进行调整	`fprintf('Month %d: Return = %.4f, Risk = %.4f\n', t, monthly_returns, monthly_risks);`