图像变换与信号分解

空间域：就是像素域，在空间域的处理是在像素级的处理，如像素级的叠加。
频率域：任何一个波形都可以分解用多个正弦波之和。每个正弦波都有自己的频率和振幅。所以任意一个波形信号又自己的频率和振幅的集合。
为了有效和快速的对图像进行处理和分析，常常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间，并利用这些空间的特有性质方便地进行一定的加工，最后在转换回图像空间以得到所需要的效果。这些转换方法称为图像变换技术。

傅里叶变换也被喻为图像的第二种语言。

信号频谱代表了信号在不同频率分量成分的大小，能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。

正弦信号与傅里叶级数

两个函数正交的充要条件是：他们的内积为0

Q&A:

1. 怎样的信号是我们需要的“简单”信号？
   $$正交信号\{\begin{array}{l}正、余弦三角函数\\ \\ 复指数函数\end{array}$$
2. 他们遵循什么样的组合规律？

定理1：组成三角级数的函数系 $1,\cos x,\sin x,cos2x,sin2x,...,cosnx,sinnx$在 $[-\pi ,\pi ]$ 上正交， 即其中任意两个不同的函数之积在 $[-\pi ,\pi ]$ 上的积分等于0

定理：设周期为 $2l$ 的周期函数 $f(x)$ 满足收敛定理条件，则它的傅里叶展开式为
$$\begin{gathered} f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l}) \\ 其中 \\ \{\begin{array}{l}{a}_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)cos\frac{n\pi x}{l}dx\\ \\ b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)sin\frac{n\pi x}{l}dx\end{array} \end{gathered}$$

傅里叶变换

对于周期函数我们可以通过傅里叶级数去描述任何一个周期函数。
然而，对于非周期函数，我们就需要傅里叶变换而不是傅里叶级数来描述了

连续时间傅里叶变换：
$$X(jw)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-jwt}dt$$
连续时间傅里叶反变换：
$$x(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }X(jw)e^{jw}dw$$
$X(jw)$ 称为频谱密度函数，简称为频谱。

欧拉公式：
$$e^{ix}=cosx+i\cdot sinx,i为虚数单位$$
常见的傅里叶变换对

原函数	象函数
$e^{-\beta t}u(t)$	$\frac{1}{\beta +jw}$
$\delta (t)$	$1$
$1$	$2\pi \delta (w)$
$\delta (t-t_0)$	$e^{-jw{t}_0}$
$u(t)$	$\frac{1}{jw}+\pi \delta (w)$
$sin{w}_{0}t$	$j\pi [\delta (w+w_0)-\delta (w-w_0)]$
$cos{w}_{0}t$	$\pi [\delta (w+w_0)+\delta (w-w_0)]$

其中 $u(t)$ 为单位脉冲函数 $$u(t)\{\begin{array}{l}1,t>0\\ \\ 0,t<0\end{array}$$

傅里叶变换的性质

离散傅里叶变换(DFT)

一维离散傅里叶变换
对于一个连续函数 $f(x)$ 等间隔采样可以得到一个离散序列。设采样点数为 $N$, 则这个离散序列可表示为 { f ( 0 ) , f ( 1 ) , . . . f ( N − 1 ) } \{ f(0), f(1), ... f(N-1) \} {f(0),f(1),...f(N−1)}。 令 $x$ 为离散时变量，$u$ 为离散频率变量，则可以将离散傅里叶变换对定义为：
正变换：$$F(u)=\frac{1}{N}\sum _{x=0}^{N-1}f(x)e^{-\frac{j2\pi ux}{N}}(u=0,1,\mathrm{2...}N-1)$$
逆变换：$$f(x)=\sum _{u=0}^{N-1}F(u)e^{\frac{j2\pi ux}{N}}(x=0,1,\mathrm{2...}N-1)$$

二维离散傅里叶变换
$$F(u,v)=\frac{1}{MN}\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi (\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})}$$
$$f(x,y)=\sum _{u=0}^{M-1}\sum _{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi (\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})}$$

例：

傅里叶比变换的幅度谱与相位谱

• 幅度谱告诉我们图像中某种频率的成分有多少
• 相位谱告诉我们频率成分位于图像的什么位置

通常情况我们只关心幅度谱

从幅度谱中我们可以看出明亮线反应图像的灰度级变化，这正是图像的轮廓处，明亮线和原始图像的轮廓线是垂直的。如果原始图像中有圆形区域，那么幅度谱中也呈圆形分布

相位谱较幅度谱更能影响图像的形状，通常，幅度决定图像的强弱，相位决定图像的频率。

频率域滤波

• 陷波滤波器
  $$H(u,v)=\{\begin{array}{l}0,(u,v)=(M/2,N/2)\\ 1,其他\end{array}$$

  • 设置 $F(0,0)=0$（结果图像的平均值为0）， 而保留其他傅里叶变换的频率成分不变
  • 除了原点处有凹陷外，其他均是常量函数
  • 由于图像平均值为0而产生整体平均灰度级的降低
  • 用于识别由特定的、局部化频域成分引起的空间图像效果

• 低通滤波器：使低频通过而使高频衰减的滤波器

  • 被低通滤波的图像比原始图像少尖锐的细节部分，而突出平滑过渡部分
  • 对比空间域滤波的平滑处理，如均值滤波器

• 高通滤波器：是高频通过而使低频衰弱的滤波器

  • 被高通滤波的图像比原始图像少灰度级的平滑过渡，而突出边缘等细节部分
  • 对比空间域的梯度算子、拉普拉斯算子

结论：

• 高斯低通滤波器不能达到有相同截止频率的二阶巴特沃斯低通滤波器的平滑效果
• 高斯低通滤波器没有振铃
• 如果需要严格控制低频和高频之间截止频率的过渡，选用巴特沃斯低通滤波器，代价是可能产生振铃

重点
频率域的滤波步骤：

1. 用 $(-1{)}^{x+y}$ 乘以输入图像进行中心变换
   $$f(x,y)(-1{)}^{x+y}\iff F(u-\frac{M}{2},v-\frac{N}{2})$$

2. 计算1中的二维离散傅里叶变换，即求 $F(u,v)$

3. 用滤波器函数 $H(u,v)$ 乘以 $F(u,v)$

4. 计算3中结果的二维离散傅里叶逆变换

5. 得到4中结果的实部

6. 用 $(-1{)}^{x+y}$乘以5中的结果，取消输入图像的乘数

Q&A

• 空间滤波和频率滤波的异同点？
  • 在使用非线性滤波时，应当在空间域进行处理。当使用线性滤波时，可以在空间域进行也可以在频率域进行，在空间域线性滤波时，滤波器的尺寸应该远远小于图像的尺寸。在频率域滤波，需要使用正向变换和逆变换。