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前言

在计算机科学与编程领域，循环结构作为程序设计的基础构件之一，对于实现重复执行某段代码逻辑至关重要。特别是当涉及到数值处理、数据遍历、或是模式生成等场景时，循环结构的运用尤为关键。本篇文章深入探讨了循环结构中一个核心概念——带余除法，及其在C++编程中的广泛应用。带余除法不仅在基本的数学运算中扮演着重要角色，更是众多高级算法与数据处理逻辑的基石。通过理解并掌握这一概念，编程新手能够迈出坚实的一步，向更复杂的算法设计与问题解决能力迈进。

学习路线：C++从入门到NOI学习路线

学习大纲：C++全国青少年信息学奥林匹克竞赛（NOI）入门级-大纲

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一、带余除法

1.1 概念

带余除法，也称为除法的带余形式，是指当我们对两个整数进行除法运算时，得到的结果不仅包括商，还包括余数。具体来说，如果有一个整数被另一个非零整数除，结果可以表示为：

   a = bq + r

其中：

• a 是被除数（dividend），

• b 是除数（divisor），且 𝑏≠0，

• q 是商（quotient），它是整除的结果，

• r 是余数（remainder），满足 0 ≤ r < ∣b∣。

这意味着，任何整数 a 除以非零整数 b 的结果可以分解为一个整数商 q 加上一个小于除数绝对值的余数 r。如果r=0，则说明 a 能被 b 整除。

1.2 编程中的使用

1.2.1 模运算

模运算（% ）直接体现了带余除法的余数部分，常用于处理周期性问题、取模运算等。

例如：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    for(int day = 1; day <= 7; ++day) {
        cout << "今天是第 " << day << " 天" << endl;
        if(day % 7 == 0) {
            cout << "一周结束，周末快乐！" << endl;
        }
    }
    }
    return 0;
}

通过循环模拟一周七天的过程。使用模运算day % 7来检测是否到达一周的末尾（即余数为0时），从而在每个星期日输出“周末快乐！”的消息。这演示了模运算在处理循环和周期性事件中的应用。

1.2.2 判断奇偶性

通过 n % 2 可以简单判断一个整数 n 是否为奇数（余数为1则为奇数，为0则为偶数）。

例如：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int number = 7;
    if(number % 2 == 0) {
        cout << number << " 是偶数。" << endl;
    } else {
        cout << number << " 是奇数。" << endl;
    }
    return 0;
}

判断一个整数的奇偶性实质上是带余除法中模运算的一个直接应用。当我们对任意整数 n 使用模运算 % 2 时，就是在做带余除法，即 n = 2*q + r，其中 q 是商，而 r 是余数。在这种情况下，余数 r 只可能为0或1，因为2是偶数，任何整数除以2的余数只能是这两个值之一。

1.2.3 判断倍数关系

判断 n 是否是 m 的倍数，可以使用 n % m == 0。如果这个表达式为真，意味着 n 能被 m 整除，即 n 是 m 的倍数。

例如：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n = 12, m = 3;
    if(n % m == 0) {
        cout << n << " 是 " << m << " 的倍数。" << endl;
    } else {
        cout << n << " 不是 " << m << " 的倍数。" << endl;
    }
    return 0;
}

使用n % m == 0来检查n是否能被m整除，即n是否为m的倍数。当余数为0时，表明n能被m整除，证明了它们之间存在倍数关系。此例展现了模运算在判断数与数之间整除性质上的应用。

1.2.4 循环和迭代控制

在需要循环一定次数或者按固定间隔执行某些操作时，模运算可以帮助我们控制循环的流程。

例如：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    for(int i = 0; i < 20; ++i) {
        cout << "*";
        if((i+1) % 10 == 0) { // 每10个星号后换行
            cout << endl;
        }
    }
    }
    return 0;
}

本例中，循环打印星号，并在每满10个星号后换行，通过(i+1) % 10 == 0来判断何时应该换行。这展示了模运算如何帮助控制循环的流程，实现特定的输出格式或规律性行为。

1.2.5 密码学与安全

在密码学中，模运算是构建很多加密算法（如RSA加密）的基础，其中带余除法的概念是理解这些算法的关键。

例如：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    // 简化的RSA示例，仅展示模幂运算
    int base = 5, exponent = 3, modulus = 13;
    int result = 1;
    for(int i = 0; i < exponent; ++i) {
        result = (result * base) % modulus;
    }
    cout << "计算结果: " << result << endl;
    return 0;
}

简化版的RSA示例展示了模幂运算，通过循环和模运算计算base的exponent次方对modulus取模的结果。模运算在此类加密算法中用于保持运算结果的范围，同时保证运算的安全性和隐私保护，是密码学中的基础工具。

1.2.6 算法设计

许多经典的算法，如欧几里得算法（GCD求解）和中国剩余定理的应用，都依赖于带余除法的原理。

例如：

#include <iostream>
using namespace std;

int gcd(int a, int b) {
    while(b != 0) {
        int t = b;
        b = a % b;
        a = t;
    }
    return a;
}

int main() {
    int x = 48, y = 18;
    cout << "GCD of " << x << " and " << y << " is " << gcd(x, y) << endl;
    return 0;
}

使用模运算实现欧几里得算法，通过循环不断更新a和b的值，直到b变为0，此时a即为两数的最大公约数。此例展示了模运算在经典算法设计中的核心作用，尤其是解决数论问题。

1.2.7 数据验证与错误处理

在处理数组索引等场合，使用模运算可以确保索引值在有效范围内，防止越界错误。

例如：

#include <iostream>
using namespace std;

void accessArray(int arr[], int size, int index) {
    // 使用模运算确保索引在有效范围内
    int safeIndex = index % size;
    cout << "数组索引为: " << safeIndex << ", 数组值为: " << arr[safeIndex] << endl;
}

int main() {
    int arr[] = {1, 2, 3, 4, 5};
    int size = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]);
    accessArray(arr, size, 7); // 实际索引超出范围，但通过模运算避免错误
    return 0;
}

该示例通过index % size确保数组访问的安全性，即使提供的索引值大于数组的实际大小，也能通过模运算得到一个合法的索引值，防止数组越界错误。这说明了模运算在数据验证和错误预防中的实用性，确保程序的健壮性。

二、例题讲解

问题：1389 - 数据分析

类型：简单循环

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题目描述：

该方法的操作方式为，如果要传递 2 个数字信息给友军，会直接传递给友军一个整数 n（n 是一个 10 位以内的整数），该整数的长度代表要传递的第一个数字信息，分解出该整数的每一位，如果该位是偶数，那么将这一位加到总和上去，代表要传递的第二个数字信息。
请你编写一个程序，从接收到的数字 n 中获取这 2 个数字信息。
比如：军事单位传递的数字为 12345678 ，则希望向友军传递的 2 个数字就是 8 （共有 8 位）和 20（2+4+6+8=20） 。

输入：

一个整数 n（n≤10^9 ） 。

输出：

两个整数，用空格隔开。

样例：

输入：

12345678

输出：

8 20

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1.分析问题

1. 已知：一个整数n;
2. 未知：数字n中的 2 个数字信息。
3. 关系：长度代表要传递的第一个数字信息，各数位上偶数的总和

2.定义变量

• 定义整型变量n用于存储输入的整数，t作为临时变量存储n的每一位数字，one用于记录位数，two用于记录偶数位的总和。

	//二、数据定义 
	int n,t,one=0,two=0; 

3.输入数据

• 读取用户输入的整数n。

	//三、数据输入 
	cin>>n;

4.数据计算
使用while(n)循环，只要n不为0就继续执行循环。

• t = n % 10; 取n的个位数存入t。
• if(t % 2 == 0) 判断t是否为偶数，如果是则执行two += t;累加到偶数总和中。
• n /= 10; 通过整除10去除n的个位，使n的值向左移一位，以便下一次循环处理下一位数字。
• ++one; 每次循环增加1，用于计数位数。

	//四、数据计算 
	while(n){
		t=n%10;
		if(t%2==0){
			two+=t;
		}
		n/=10;
		++one;	
	}

5.输出结果

• 输出位数和偶数位数字的总和，中间用空格隔开。

	//五、输出结果 
	cout<<one <<" "<<two;

完整代码如下：

#include<bits/stdc++.h> // 引入头文件，包含了所有常用STL库函数，方便编程但可能降低编译速度，实际开发中推荐按需引入具体头文件。
using namespace std; // 声明使用标准命名空间std，使得可以直接调用std下的函数和对象，如cin, cout等，无需前缀std::。

int main(){ // 定义主函数，程序的入口点。
    
    // 分析问题
    // 已知：一个整数n;
    // 未知：要找出两个关于n的信息——数字n的位数（长度）和n中所有偶数位数字的总和。
    
    // 数据定义
    int n, t, one = 0, two = 0; // 定义变量：n为待处理的整数，t为临时变量存储n的当前位数，one记录位数，two记录偶数位总和。

    // 数据输入
    cin >> n; // 从标准输入读取一个整数n。

    // 数据计算
    while(n){ // 当n不等于0时，继续循环。
        t = n % 10; // 取n的个位数存入t。
        if(t % 2 == 0){ // 判断t（当前位数）是否为偶数。
            two += t; // 若是偶数，将其加到two中。
        }
        n /= 10; // n除以10丢弃个位，让其变为下一个位的数。
        ++one; // 位数计数加1，表示处理了一位。
    }

    // 输出结果
    cout << one << " " << two; // 打印出位数（one）和偶数位数字的总和（two），中间以空格分隔。

    return 0; // 主函数结束，返回0表示程序正常退出。
}

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问题：1750 - 有0的数

类型：简单循环

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题目描述：

请求出 1∼n 中含有数字 0 的数，有多少个？

输入：

一个整数 n（n≤999） 。

输出：

一个整数，代表 1∼n 中含有数字 0 的数的个数。

样例：

输入：

80

输出：

8

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1.分析问题

1. 已知：1-n的数 (n<=999)；
2. 未知：含0的数的个数；
3. 关系：带余除法

2.定义变量

• 定义整型变量n用于接收用户输入的上限值，c初始化为0，用来计数含0的数字数量。

	//二、数据定义 
	int n,c=0; 

3.输入数据

• 从标准输入读取一个整数n，作为计数范围的上限。

	//三、数据输入 
	cin>>n;

4.数据计算

通过for循环遍历10到n（含n）之间的每个数i。

• 判断条件i%10==0检查i的个位是否为0；
• 判断条件i/10%10==0检查i的十位是否为0（先整除后取余，确保检查十位）；
• 如果i的个位或十位包含0，则c的值增加1，表示找到了一个含0的数字。

	//四、数据计算 
	for(int i=10;i<=n;i++){
		if(i%10==0||i/10%10==0) ++c;
		
	}

5.输出结果

• 将统计得到的含0数字的数量c输出到标准输出。

	//五、输出结果 
	cout<<c;
	return 0;

完整代码如下：

#include<bits/stdc++.h> // 包含通用头文件，提供多种常用库函数
using namespace std; // 使用std命名空间，简化标准库函数的调用

int main() { // 程序执行入口
    // 问题描述：
    // 给定一个正整数n，计算从1到n之间（包括n）数字中包含数字0的个数。
    // 方法：通过逐个检查每个数的个位和十位是否为0来计数。

    int n, count = 0; // 初始化变量，n为用户输入值，count记录含0的数的总数

    // 用户输入
    cin >> n; 

    // 循环处理：从10开始至n（包括n）
    for(int i = 10; i <= n; i++) {
        // 检查当前数的个位或十位是否为0
        if(i % 10 == 0 || i / 10 % 10 == 0) 
            count++; // 是，则count加1
    }

    // 输出结果
    cout << count; // 输出含0的数字总数

    return 0; // 程序成功执行完毕，返回0
}

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问题：1457 - 子数整除

类型：循环应用

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题目描述：

于一个五位数 abcde ，可将其拆分为三个子数：
sub1=abc
sub2=bcd
sub3=cde
例如，五位数20207 可以拆分成sub1=202
sub2=020 (也就是 20)
sub3=207
现在给定一个正整数 K ，要求你编程求出 10000 到30000 之间所有满足下述条件的五位数，条件是这些五位数的三个子数sub1,sub2,sub3 都可被 K 整除。

输入：

一个正整数K（0<K<1000） 。

输出：

每一行为一个满足条件的五位数，要求从小到大输出。
不得重复输出或遗漏。如果无解，则输出 No。

样例：

输入：

15

输出：

22555
25555
28555
30000

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1.分析问题

1. 已知：10000-30000的五位数，正整数K
2. 未知：哪些五位数的三个子数sub1,sub2,sub3都可被K整除。
3. 关系：一个五位数abcde，可将其拆分为三个子数：sub1=abc,sub2=bcd,sub3=cde

2.定义变量

• 定义变量k用于存储用户输入的整数，sub1、sub2、sub3分别存储五位数分解出的三个子数。
• isFind，表示是否找到了符合条件的数。

	//二、数据定义 
	int k,sub1,sub2,sub3; 
	bool isFind=false;

3.输入数据

• 读取用户输入的正整数K。

	//三、数据输入 
	cin>>k;

4.数据计算

通过一个for循环遍历从10000到30000的所有五位数。

• 计算每个五位数对应的sub1、sub2、sub3，方法是通过数学运算提取相应位置的数字。

• 判断这三个子数是否都能被K整除，如果能则打印该五位数，并设置isFind为true表示找到了至少一个解。

//四、数据计算 
	for(int i=10000;i<=30000;i++){
		sub1=i/100;
		sub2=i/10%1000;
		sub3=i%1000;
		
		if(sub1%k==0&&sub2%k==0&&sub3%k==0){
			if(!isFind) isFind=true;
			cout<<i<<endl;
		}	
	}

5.输出结果

• 如果没有找到任何符合条件的数（即isFind仍为false），则输出"No"。

//五、输出结果 
	if(!isFind){
		cout<<"No";
	}

完整代码如下：

#include <bits/stdc++.h> // 包含常用头文件
using namespace std;

int main() {
    // 问题分析：
    // 给定条件：寻找10000至30000之间，能被用户输入的正整数K整除其特定子串的所有五位数。
    // 子串定义：将五位数分为abcde，子串为abc、bcd、cde。

    // 数据定义
    int k, sub1, sub2, sub3; // k为用户输入的整数，sub1、sub2、sub3分别为五位数的子串
    bool isFind = false;     // 标记是否找到符合条件的五位数

    // 数据输入
    cin >> k; // 读取用户输入的K值

    // 数据计算
    for (int i = 10000; i <= 30000; i++) { // 遍历10000至30000之间的所有五位数
        sub1 = i / 100;                  // 提取五位数的前三位(abc)
        sub2 = (i / 10) % 1000;          // 提取五位数的中间三位(bcd)，先除以10移除个位，再取模1000保留后三位
        sub3 = i % 1000;                 // 提取五位数的后三位(cde)，直接对1000取余

        // 检查这三个子串是否都能被K整除
        if (sub1 % k == 0 && sub2 % k == 0 && sub3 % k == 0) {
            // 如果是第一个找到的解，标记已找到解
            if (!isFind) isFind = true;
            cout << i << endl; // 打印当前找到的满足条件的五位数
        }
    }

    // 输出结果
    // 如果没有找到任何满足条件的五位数
    if (!isFind) {
        cout << "No"; // 输出"No"
    }

    return 0; // 程序正常结束
}

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问题：1121 - “倒”数

类型：需要找规律的循环

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题目描述：

输入一个正整数 N（0<N<2147483647），将这个数倒着合成一个新数后输出。
比如： 543 ，倒过来是345 （请注意：34500 ，倒过来是543 ，不是00543 ）！

输入：

一行，一个正整数 N 。

输出：

一行，一个正整数。

样例：

输入：

345

输出：

543

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1.分析问题

1. 已知：一个正整数n(0<n<2147483647);
2. 未知：输出它的倒数;
3. 关系：带余除法。

2.定义变量

• 定义了两个整型变量，n用于存储输入的整数，result初始化为0，用于存放颠倒后的结果。

	//二、数据定义 
	int n,result=0;

3.输入数据

• 通过cin读取用户输入的整数n。

	//三、数据输入 
	cin>>n;

4.数据计算

• 使用while循环，在每次迭代中，将n的最后一个数字（通过n % 10获得）加到result的末尾（通过result * 10 + n % 10实现），同时去掉n的最后一个数字（通过n /= 10实现）。
• 循环直至n变为0，此时result中存储的就是原数的数字顺序颠倒后的结果。

	//四、数据计算 
	while(n!=0){
		result=result*10+n%10;
		n/=10;
	}

5.输出结果

• 使用cout输出结果result。

	//五、输出结果 
	cout<<result;

完整代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;

int main(){
    // 一、问题分析
    // 给定条件：一个正整数n，其值位于0到2147483647之间（不包括0）。
    // 目标：输出该整数的数字顺序颠倒后的结果。
    // 方法：使用带余数的除法逐步提取原数的每一位数字，并将其累加到结果变量以构建颠倒后的数字。
    
    // 二、数据定义
    int n, result = 0;  // n 用于存储输入的整数，result 初始化为0，用于存放最终的颠倒结果
    
    // 三、数据输入
    cin >> n;  // 从标准输入读取一个整数到变量n中
    
    // 四、数据计算
    while(n){  // 当n不为0时，继续处理
        result = result * 10 + n % 10;  // 将n的最后一个数字添加到result的末尾
        n /= 10;  // 去掉n的最后一个数字
    }
    
    // 五、输出结果
    cout  << result << endl;  // 输出颠倒后的数字
    
    return 0;  // 程序结束，返回0表示成功执行
}

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问题：1962. 数值计算

类型：简单循环

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题目描述：

给出一个不多于 5 位的非负整数，要求
1、 求出它是几位数
2、 分别输出每一位数字
3、 按逆序输出各位数字，例如原数为 321 ,应输出 123。

输入：

一个不大于 5 位的正整数。

输出：

三行
第 1 行 5 位数。
第 2 行 用空格分开的每个数字。
第 3 行 按逆序输出这个数。

样例：

输入：

12345

输出：

5
1 2 3 4 5
54321

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1.分析问题

1. 已知：一个不多于 5 位的非负整数;
2. 未知：求出它是几位数; 分别输出每一位数字;按逆序输出各位数字;

2.定义变量

• 定义了三个变量，n用于存储输入的整数，c用于计数位数，dx用于存储逆序整数。

	//二、数据定义 
	int n,c=0,dx=0;

3.输入数据

• 使用cin读取用户输入的整数。

	//三、数据输入 
	cin>>n;

4.数据计算

• 通过一个while循环处理输入的整数n。在循环中，我们递增c以计数位数，同时逐步构建逆序数dx。每次循环，temp除以10并向下取整，直到temp变为0，循环结束。

	int temp=n;
	while(temp){
		++c;
		dx=dx*10+temp%10;
		temp/=10;
	}

5.输出结果

• 首先输出整数的位数c。
• 接着，通过将dx（逆序数）逐位输出，实际上实现了原整数的正序输出。因为对逆序数dx从低到高逐位处理，恰好等同于原数的正序遍历。
• 最后，再次输出逆序数dx。

//五、输出结果
	cout<<c<<endl; 
	
	temp=dx;
	
	while(temp){
		cout<<temp%10<<" ";
		temp/=10;
	} 
	cout<<endl<<dx;

完整代码如下：

#include <bits/stdc++.h> // 包含常用头文件，简化代码
using namespace std; // 使用std命名空间，避免std::前缀

int main() {
    // 问题分析：
    // 给定一个最多5位的非负整数，需完成以下任务：
    // 1. 计算该整数的位数。
    // 2. 分别输出每一位数字（正序）。
    // 3. 按逆序输出每一位数字。
    
    // 数据定义：
    int n, c = 0, dx = 0; // n: 用户输入的整数; c: 记录位数; dx: 用于存储逆序后的整数
    
    // 数据输入：
    cin >> n; // 从标准输入读取一个非负整数
    
    // 数据处理：
    int temp = n; // 创建临时变量temp，用于迭代处理n
    while(temp) { // 当temp不为0时循环
        ++c; // 每次循环增加c的值，用于计数位数
        dx = dx * 10 + temp % 10; // dx通过当前最低位数字构建逆序数（当前位*10+新低位）
        temp /= 10; // temp除以10丢弃当前最低位，继续处理下一位
    }
    
    // 输出结果：
    cout << c << endl; // 输出整数的位数
    
    // 准备正序输出数字，通过逆序数dx间接实现
    temp = dx; // 将dx的值赋给temp，开始正序输出每一位
    while(temp) { // 对temp进行循环，直到所有位都输出
        cout << temp % 10 << " "; // 输出当前最低位数字，然后加空格分隔
        temp /= 10; // 移动到下一个更高位
    }
    cout << endl; // 输出换行，分隔正序与逆序输出部分
    
    cout << dx << endl; // 再次输出dx，展示逆序后的整数
    
    return 0; // 程序正常结束
}

三、总结

通过对带余除法及其在C++编程中的应用进行全面解析，我们不仅重温了其基本概念，还深入探讨了模运算在多个维度上的重要性。从简单的周期性问题处理、奇偶性判断，到倍数关系验证、循环控制、乃至深入密码学与算法设计的核心，模运算展示了其强大的灵活性与实用性。通过一系列实例，我们见证了如何利用带余除法解决实际问题，比如数据反转、数字分析、以及安全相关的应用等。此外，模运算在确保程序健壮性，如数组索引验证方面，也发挥了不可小觑的作用。

通过学习和实践这些例子，读者应已掌握了如何在循环结构中有效地运用带余除法，进一步理解了它在处理循环逻辑、数据验证、算法设计等方面的价值。这对于准备参加NOI（全国青少年信息学奥林匹克竞赛）及其他编程相关比赛的学生而言，无疑是宝贵的技能提升。未来无论是面对数学计算、数据处理，还是解决更复杂数学问题和算法设计挑战，带余除法及其在循环结构中的应用都将是一把不可或缺的钥匙。希望本次学习之旅能够激发更多对编程和算法探索的兴趣，助力每一位学习者在信息技术的海洋中扬帆远航。

四、感谢

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