自动控制：滑模控制(Sliding Mode Control, SMC)

滑模控制（Sliding Mode Control, SMC）是一种在处理非线性系统时非常有效的控制技术。它通过驱动系统状态达到并保持在特定的滑模面附近，来实现控制目标。本文将介绍滑模控制的基本概念、系统描述与控制目标、构造滑模面、构建滑模趋近律，并提供一个简单的Python代码示例。

系统描述与控制目标

在自动控制中，滑模控制的目标是将系统状态驱动到预先设计的滑模面，并在滑模面上保持运动。滑模控制能够处理非线性、不确定性和外部扰动，使其在复杂控制环境中表现出色。

设定一个典型的非线性系统描述如下：

$$\dot{x}(t)=f(x(t),u(t))+d(t)$$

其中：

• $x(t)$ 是系统状态向量
• $u(t)$ 是控制输入
  -$f(x(t),u(t))$ 是已知的非线性函数
• $d(t)$是外部扰动

控制目标是设计控制输入$u(t)$，使系统状态$x(t)$能够跟踪期望的轨迹$x_d(t)$。

基本思想

滑模控制的基本思想是设计一个滑模面，使得一旦系统状态达到该滑模面，它们将保持在滑模面附近运动。滑模控制分为两个阶段：趋近阶段和滑动阶段。

1. 趋近阶段：系统状态从任意初始状态趋近滑模面。
2. 滑动阶段：一旦系统状态达到滑模面，它们将在滑模面上运动，对外部扰动和不确定性不敏感。

构造滑模面

滑模面的设计是滑模控制的关键步骤。滑模面$S(x)$通常被设计为状态变量的线性组合：

$$S(x)=Cx$$

其中 ( C ) 是设计矩阵。对于跟踪控制问题，可以定义滑模面为误差状态的函数：

$$S(x)=e(t)=x(t)-x_d(t)$$

目标是使得 ( e(t) \rightarrow 0 )，即系统状态 ( x(t) ) 跟踪期望状态 ( x_d(t) )。

构建滑模趋近律

滑模趋近律的目的是设计控制输入 ( u(t) )，使得系统状态趋近滑模面并保持在滑模面上。常用的趋近律有：

1. 恒定速率趋近律：

$$\dot{S}(x)=-k\text{sign}(S(x))$$

2. 指数趋近律：

$$\dot{S}(x)=-\lambda S(x)-k\text{sign}(S(x))$$

其中 ( k ) 和 ( \lambda ) 是正的控制参数，( \text{sign}(S(x)) ) 是符号函数。

Python代码示例

下面是一个简单的滑模控制示例，假设系统为一个二阶非线性系统。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义符号函数
def sign(x):
    return np.where(x >= 0, 1, -1)

# 定义滑模控制器
def smc_control(x, x_dot, x_d, x_dot_d, x_ddot_d, k, lambda_):
    # 误差
    e = x - x_d
    e_dot = x_dot - x_dot_d
    
    # 滑模面
    s = e_dot + lambda_ * e
    
    # 控制输入
    u = x_ddot_d - lambda_ * e_dot - k * sign(s)
    return u

# 初始化参数
k = 1.0
lambda_ = 1.0
dt = 0.01
t = np.arange(0, 10, dt)
n = len(t)

# 初始化状态变量
x = np.zeros(n)
x_dot = np.zeros(n)
x_d = np.sin(t)
x_dot_d = np.cos(t)
x_ddot_d = -np.sin(t)

# 模拟系统
for i in range(1, n):
    u = smc_control(x[i-1], x_dot[i-1], x_d[i-1], x_dot_d[i-1], x_ddot_d[i-1], k, lambda_)
    x_dot[i] = x_dot[i-1] + u * dt
    x[i] = x[i-1] + x_dot[i] * dt

# 绘制结果
plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.plot(t, x_d, label='Desired position')
plt.plot(t, x, label='Actual position')
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Position')
plt.legend()
plt.title('Sliding Mode Control')
plt.grid(True)
plt.show()

代码解释

该代码实现了一个简单的滑模控制器，用于控制一个二阶非线性系统。代码分为以下几个部分：

1. 符号函数定义

def sign(x):
    return np.where(x >= 0, 1, -1)

该函数返回输入$x$的符号。对于正数，返回 1；对于负数，返回 -1。符号函数在滑模控制中用于趋近律的设计。

2. 滑模控制器定义

def smc_control(x, x_dot, x_d, x_dot_d, x_ddot_d, k, lambda_):
    # 误差
    e = x - x_d
    e_dot = x_dot - x_dot_d
    
    # 滑模面
    s = e_dot + lambda_ * e
    
    # 控制输入
    u = x_ddot_d - lambda_ * e_dot - k * sign(s)
    return u

这个函数实现了滑模控制器的逻辑：

• 计算误差$e=x-x_d$和误差导数$e\_dot=x\_dot-x\_do{t}_d$。
• 计算滑模面$s=e\_dot+lambda\_\ast e$。
• 根据滑模趋近律计算控制输入$u$。

3. 参数初始化

k = 1.0
lambda_ = 1.0
dt = 0.01
t = np.arange(0, 10, dt)
n = len(t)

初始化控制参数$k$和 $\lambda$，仿真时间步长$dt$，仿真时间数组$t$ 及其长度$n$。

4. 状态变量初始化

x = np.zeros(n)
x_dot = np.zeros(n)
x_d = np.sin(t)
x_dot_d = np.cos(t)
x_ddot_d = -np.sin(t)

初始化状态变量$x$、状态导数$x\_dot$和期望轨迹（期望状态$x_d$、期望状态导数$x\_do{t}_d$、期望状态二阶导数$x\_ddo{t}_d$。

5. 系统仿真

for i in range(1, n):
    u = smc_control(x[i-1], x_dot[i-1], x_d[i-1], x_dot_d[i-1], x_ddot_d[i-1], k, lambda_)
    x_dot[i] = x_dot[i-1] + u * dt
    x[i] = x[i-1] + x_dot[i] * dt

在每个时间步长$dt$ 内：

• 调用 smc_control 计算控制输入$u$。
• 更新状态导数$x\_dot$ 和状态$x$。

6. 绘制结果

plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.plot(t, x_d, label='Desired position')
plt.plot(t, x, label='Actual position')
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Position')
plt.legend()
plt.title('Sliding Mode Control')
plt.grid(True)
plt.show()

绘制系统状态$x$和期望状态$x_d$随时间的变化图。图中展示了实际系统状态如何跟踪期望轨迹。

结论

滑模控制是一种有效的非线性控制方法，特别适用于处理模型不确定性和外部扰动。通过设计合适的滑模面和趋近律，滑模控制可以使系统状态快速趋近并保持在期望轨迹上。本文介绍了滑模控制的基本概念、系统描述与控制目标、滑模面构造以及滑模趋近律，并提供了一个简单的Python代码示例，展示了滑模控制在二阶系统中的应用。