“编辑距离”系列总结，一文读懂（Java实现）

news2024/11/15 11:02:30

目录

一、判断子序列 ——>删除元素

1.1、dp定义

1.2、递推公式

1.3、初始化

1.4、遍历顺序

1.5、解题代码

二、不同的子序列 ——>删除元素

2.1、dp定义

2.2、递推公式

2.3、初始化

2.4、遍历顺序

2.5、解题代码

三、两个字符串的删除操作 ——>删除元素

3.1、dp定义

3.2、递推公式

3.3、初始化

3.4、遍历顺序

3.5、解题代码

四、编辑距离 ——>删除、增加、替换元素

4.1、dp定义

4.2、递推公式

4.3、初始化

4.4、遍历顺序

4.5、解题方程

小结

一、判断子序列 ——>删除元素

题目描述：

题目来源：392. 判断子序列

1.1、dp定义

 分析：

        判断s是否为t的子序列，实际上就是在求s和t的最长公共子序列的长度是否和s的长度相等，这个问题也是“编辑距离”中的一个入门级别的题目。

如果对最长公共子序列不太理解的，可以看看这篇：

http://t.csdn.cn/DAaaK

dp定义：

dp[i][j]表示字符串s以i - 1为结尾，字符串t以j - 1为结尾的最长公共子序列的长度。

建议：对于两个字符串要比较相同字符的情况，都最好定义成以i - 1，j - 1结尾~

1.2、递推公式

分析：

dp[i][j]就表示最长公共子序列的长度，我们该怎么推出他呢？

1.当s[i] - 1 == t[i - 1]时， 说明当前这对字符相等，如下：

那么dp[i][j]就等于s和t相同的这个字符前面这一段最长公共子序列 + 1得到，+1就表示s和t的当前对比的字符相等，所以在原来的基础上dp[i - 1][j - 1]进行+1操作，如下：

2.当s[i] != t[i]时，说明当前这对字符不相等，那么就不进行+1操作，那么当前状态dp[i][j]就可以由dp[i][j - 1]来进行表示，相当于删除了t的一个字符，让s的第i - 1和t的第j - 2个元素比较，而dp[i][j - 1]这个状态，我们在上一次的递推已经的出来了，所以可以直接拿来用；

递推公式：

if(s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) { 

        dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

} else {

        dp[i][j] = dp[i][j - 1];

}

1.3、初始化

分析：

之前我们将dp数组定义成i - 1和j - 1，为什么不是i,j呢？原因就在初始化这里！

        若定义成i,j，假设我们定义成以i为结尾，初始化的时候nums[i][0]和nums[0][j]该怎么初始化？dp[i][0]就是“nums1以nums1[i]为结尾，nums2以nums2[0]为结尾的最长子数组”，那么我们就需要揪住nums2[0]这个元素去遍历nums1这个数组，去统计相同的元素，同理，nums[0][j]也是如此！

        但如果我们定义成i - 1, j - 1，nums[i][0]这里的0 - 1就是-1，相当于空串，空串的最长公共子序列自然是0，所以直接初始化成0即可；dp数组中其他元素初始化成什么都可以，因为在递推的过程中都会被覆盖。

1.4、遍历顺序

        由递推公式可以知道，推出dp[i][j]都是需要前一个元素，所以只需要从上到下，从左往右遍历即可~

1.5、解题代码

class Solution {
    public boolean isSubsequence(String s, String t) {
        int len1 = s.length();
        int len2 = t.length();
        int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];
        for(int i = 1; i <= len1; i++) {
            for(int j = 1; j <= len2; j++) {
                if(s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i][j - 1];
                }
            }
        }
        return dp[len1][len2] == s.length();
    }
}

二、不同的子序列 ——>删除元素

题目描述：

题目来源：115. 不同的子序列

2.1、dp定义

分析：

按照之前的套路， 对于两个字符串要比较相同字符的情况，定义成以i - 1，j - 1结尾即可。

定义：

dp[i][j]表示以字符串s的第i - 1个字符为结尾，以字符串t的第j - 1个字符为结尾，s的子序列中t的个数。

2.2、递推公式

分析：

1.当s[i - 1] == t[j - 1]时，就不用考虑当前i-1,j-1为结尾表示的字符了，也就是考虑i-2,j-2为结尾的个数dp[i - 1][j - 1]，因为这个状态之前已经推出，直接拿来用即可，如下：

dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]就完了吗？实际上我们这里写的s[i - 1]表示是否要考虑这个元素，以上是考虑这个元素，那么不考虑又是怎么回事呢？如下：

为什么不考虑dp[i][j - 1]呢？因为本题求的是从s的子序列中有多少个t！

 2.当s[i - 1] != t[j - 1]时，就删掉s一个元素，考虑s的以s[i - 2]为结尾的序列即可。

递推公式：

if(s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) {

        dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];

} else {

        dp[i][j] = dp[i - 1][j];

}

2.3、初始化

分析：

从递推公式中可以看出，一直往前递推，找到根源就是需要知道dp[i][0]和dp[0][j]。

dp[i][0]表示s以i - 1为结尾，t以0 - 1为结尾，s的子序列中t的个数。

那么t就相当于是空串，s的子序列中有几个空串呢？当把s中所有的字符都删除掉，就是一个空串了，因此dp[i][0] = 1；

dp[0][j]表示s以0 - 1为结尾，t以j - 1为结尾，s的子序列中t的个数。

这里无论s本身就是一个空串了，就更别谈子序列了，也就是说s无论怎么删，t都不可能等于s，除非t也是空串，因此dp[j][0] = 0，dp[0][0] = 1;

初始化：

 dp[i][0] = 1；

dp[j][0] = 0；

dp[0][0] = 1；

2.4、遍历顺序

由递推公式可以知道，只有从以下几个方面可以得到dp[i][j]：

因此遍历顺序因该是从上往下，从左往右。

2.5、解题代码

class Solution {
    public int numDistinct(String s, String t) {
        int len1 = s.length();
        int len2 = t.length();
        int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];
        //初始化
        for(int i = 0; i <= len1; i++) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        //递推
        for(int i = 1; i <= len1; i++) {
            for(int j = 1; j <= len2; j++) {
                if(s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
            }
        }
        return dp[len1][len2];
    }
}

三、两个字符串的删除操作 ——>删除元素

题目描述：

题目来源：583. 两个字符串的删除操作 

3.1、dp定义

分析：

        对于两个字符串要比较相同字符的情况，都最好定义成以i - 1，j - 1结尾（如果不明白，建议看看上面几道题的讲解，已经说的很清楚了），dp[i][j]就定义成最终问题的解即可。

dp定义：

dp[i][j]：字符串word1以i - 1为结尾，字符串word2以j - 1为结尾的，使两字符串相同的最小步数。

3.2、递推公式

分析：

1.当w1[i - 1] == w2[j - 1]时，也就是当前对比的两个字符相等时，说明不需要进行删除操作，就可以先忽略这对字符，用这一对字符前面的字符串（dp[i - 1][j - 1]）表示使字符串相同的最小步数即可。

2.当w1[i - 1] != w2[j - 1]时，也就是当前对比的两个字符不相等时，说明需要进行删除操作，这时候就需要考虑到底是删w1[i - 1]合适（删除后，比较之前进行删除操作的步骤更少）还是删w2[j - 1]合适，那么这时候就需要看dp[i - 1][j]和dp[i][j - 1]谁更小，比较删除当前字符后，对比之前进行删除操作的步骤谁更少，最后再+1，表示删除当前字符这个步骤。

递推公式：

if(word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {

        dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];

} else {

        dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;

}

3.3、初始化

分析：

        从递推公式中可以看出，要初始化 dp[i - 1][j - 1]、dp[i - 1][j]、dp[i][j - 1] 一直往前递推，找到根源就是需要知道dp[i][0]和dp[0][j]。

1.dp[i][0]表示w1以i - 1为结尾，w2以0 - 1为结尾，使w1和w2相同的最小步数。

也就是说w2是一个空串，通过删除w1的字符，使两个字符串相等，具体的，如下图：

2.dp[0][j]同理。

初始化：

for(int i = 0; i <= len1; i++) {

        dp[i][0] = i;

}

for(int j = 0; j <= len2; j++) {

        dp[0][j] = j;

}

3.4、遍历顺序

 由递推公式可以知道，只有从以下几个方面可以得到dp[i][j]：

因此遍历顺序因该是从上往下，从左往右。

3.5、解题代码

class Solution {
    public int minDistance(String word1, String word2) {
        int len1 = word1.length();
        int len2 = word2.length();
        int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];
        for(int i = 0; i <= len1; i++) {
            dp[i][0] = i;
        }
        for(int j = 0; j <= len2; j++) {
            dp[0][j] = j;
        }
        for(int i = 1; i <= len1; i++) {
            for(int j = 1; j <= len2; j++) {
                if(word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                } else {
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;
                }
            }
        }
        return dp[len1][len2];
    }
}

四、编辑距离 ——>删除、增加、替换元素

Ps：建议理解了上面讲解的三道题，再来看这道题，就不难掌握了~

题目描述：

题目来源：72. 编辑距离

4.1、dp定义

分析：

        对于两个字符串要比较相同字符的情况，都最好定义成以i - 1，j - 1结尾（如果不明白，建议看看上面几道题的讲解，已经说的很清楚了），dp[i][j]就定义成最终问题的解即可。

dp定义：

dp[i][j]：字符串w1以i - 1为结尾，字符串w1以j - 1为结尾，w1转化成w2的最少操作次数。

4.2、递推公式

分析：

1.当前对比的这对字符相同时，就不用进行任何的编辑操作（增加、删除、替换），也就是说可以忽略这对字符，直接用这对 字符 前面的 字符串的状态（dp[i - 1][j - 1]）来表示当前状态dp[i][j]；

2.当前对比的这对字符不相同时，想要让w1转化成w2，可以对字符进行增加、删除、替换的操作，最后从这些操作中选出一个操作次数最少的来表示dp[i][j]，具体的：

1) 增加、删除元素

        先来谈谈删除元素，当前这对字符不相同，我们因该考虑的是删除w1[i]还是w2[j]这个字符合适，怎么才算合适？就要看忽略（这里的忽略就是删除操作）了w1[i]（忽略后的状态为dp[i - 1][j]，w1以i - 2为结尾，w2以j - 1为结尾的最小编辑距离）或w2[j]（忽略后的状态为dp[i][j - 1]）以后，谁的编辑距离要更小！最后再+1，这个+1就表示删除元素这一步的操作，最后就得到了dp[i][j]这个状态。

        那么增加元素呢？实际上，增加和删除元素的转移方程是一样的，因为站在w1的角度来删除自身的元素，站在w2的角度看就是在增加自己的元素，如下图：

2)替换元素

        替换元素就是在dp[i -1][j - 1]这个状态的基础上，通过替换，使下一对字符相等的一个操作！也就是说，替换就是为了当前这对元素相等，在dp[i - 1][j - 1]这个状态上通过一个+1（+1就是替换）的操作，使下一对字符变成相等。

状态转移方程：

if(word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {
    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
} else {
    //增加删除
    int addDel = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;
    //替换
    int replace = dp[i - 1][j - 1] + 1;
    dp[i][j] = Math.min(addDel, replace);
}

4.3、初始化

分析：

        从递推公式中可以看出，要初始化 dp[i - 1][j - 1]、dp[i - 1][j]、dp[i][j - 1] 一直往前递推，找到根源就是需要知道dp[i][0]和dp[0][j]。

1.dp[i][0]表示w1以i - 1为结尾，w2以0 - 1为结尾，使w1和w2相同的最小编辑距离

也就是说w2是一个空串，通过删除w1的字符或增加w2的字符，使两个字符串相等，具体的，如下图：

 

2.dp[0][j]同理。

初始化：

for(int i = 0; i <= len1; i++) {

        dp[i][0] = i;

}

for(int j = 0; j <= len2; j++) {

        dp[0][j] = j;

}

4.4、遍历顺序

由递推公式可以知道，只有从以下几个方面可以得到dp[i][j]：

因此遍历顺序因该是从上往下，从左往右。

4.5、解题方程

class Solution {
    public int minDistance(String word1, String word2) {
        int len1 = word1.length();
        int len2 = word2.length();
        int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];
        //初始化
        for(int i = 0; i <= len1; i++) {
            dp[i][0] = i;
        }
        for(int j = 0; j <= len2; j++) {
            dp[0][j] = j;
        }
        //递推
        for(int i = 1; i <= len1; i++) {
            for(int j = 1; j <= len2; j++) {
                if(word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                } else {
                    //增加删除
                    int addDel = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;
                    //替换
                    int replace = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                    dp[i][j] = Math.min(addDel, replace);
                }
            }
        }
        return dp[len1][len2];
    }
}

小结

面试遇到，还不得装一装（doge）

 

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在定义类的过程中&#xff0c;无论是显式创建类的构造方法&#xff0c;还是向类中添加实例方法&#xff0c;都要求将 self 参数作为方法的第一个参数。例如&#xff0c;定义一个 Person 类&#xff1a;class Person: def__init__(self): print("正在执行构造方法") #…
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大数据项目---电商数仓（三）

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