本文参考书籍：电力经济与电力市场，甘德强，杨莉，冯冬涵 著 link

\hspace{1.6em} 文章的结构如下：围绕电力传输系统中短线路的等值等效模型，从节点注入功率的角度和线路功率的角度分析电网中的潮流，并介绍将模型简化后的直流潮流方程的推导，并给出方程使用的例题
\hspace{1.6em} 潮流方程需要进行简化的原因：未经简化的潮流方程在求解最优潮流问题时常常不能保证求解能够收敛，因此工程实践中只考虑直流潮流方程作为现实物理模型的一个近似方程

直流潮流方程的简要推导

\hspace{1.6em} 常见的短线路等效模型的图示如下

\hspace{1.6em} 为了更清晰的用物理方程描述上述电路，我们先考虑简单的双机系统潮流计算，即只有两个节点的情况，先用状态变量法先描述节点 $i$ 注入电流(或称线路电流) ${\dot{I}}_{ij}$ 与节点电压的关系，再分别列写有功功率方程和无功功率方程

双机系统电力线路等效模型分析

\hspace{1.6em} 考虑一个简单的双机系统，包含节点 $i$ 和节点 $j$，两节点之间通过线路相连，线路阻抗为 $Z_{ij}=R_{ij}+\text{j}{X}_{ij}$，节点 $i$ 有对地支路阻抗 $Z_{i0}=R_{i0}+\text{j}{X}_{i0}$，节点 $j$ 有对地支路阻抗 $Z_{j0}=R_{j0}+\text{j}{X}_{j0}$。节点 $i$ 的注入功率为 $S_i=P_i+\text{j}{Q}_i$，节点 (j) 的注入功率为 $S_j=P_j+\text{j}{Q}_j$，线路电流为 ${\dot{I}}_{ij}$。

状态变量的选取

\hspace{1.6em} 选取节点 $i$ 和节点 $j$ 的电压相量 ${\dot{U}}_i=U_i\angle {\theta }_i$ 和 ${\dot{U}}_j=U_j\angle {\theta }_j$ 的幅值 $U_i、U_j$ 和相角 ${\theta }_i、{\theta }_j$ 作为状态变量。在潮流计算中，通常将某一节点的相角作为参考相角，不妨设 ${\theta }_i$ 为参考相角，即 ${\theta }_i=0$，那么状态变量可以简化为 $U_i$、$U_j$ 和 ${\theta }_j$。

方程列写

线路电流方程

\hspace{1.6em} 根据欧姆定律，线路电流 ${\dot{I}}_{ij}$ 为：
$$\begin{array}{r}{\dot{I}}_{ij}=\frac{{\dot{U}}_i-{\dot{U}}_j}{Z_{ij}}=\frac{U_i-U_j(\cos {\theta }_j+\text{j}\sin {\theta }_j)}{R_{ij}+\text{j}{X}_{ij}}\end{array}$$

节点注入电流方程

\hspace{1.6em} 节点 $i$ 的注入电流 ${\dot{I}}_i$ 可以分为两部分：通过线路流向节点 $j$ 的电流 ${\dot{I}}_{ij}$ 和通过对地支路的电流 ${\dot{I}}_{i0}$。
$$\begin{array}{r}{\dot{I}}_{i0}=\frac{{\dot{U}}_i}{Z_{i0}}=\frac{U_i}{R_{i0}+\text{j}{X}_{i0}}\\ \\ {\dot{I}}_i={\dot{I}}_{ij}+{\dot{I}}_{i0}\end{array}$$
节点 $j$ 的注入电流 ${\dot{I}}_j$ 为：
$$\begin{array}{r}{\dot{I}}_j=-{\dot{I}}_{ij}+{\dot{I}}_{j0}\\ 其中{\dot{I}}_{j0}=\frac{{\dot{U}}_j}{Z_{j0}}=\frac{U_j(\cos {\theta }_j+\text{j}\sin {\theta }_j)}{R_{j0}+\text{j}{X}_{j0}}\end{array}$$

节点注入功率方程

节点 $i$ 的注入功率 $S_i=P_i+j{Q}_i={\dot{U}}_i{\dot{I}}_i^{\ast }$，将 ${\dot{I}}_i$ 代入可得：
$$\begin{array}{r}{P}_i+\text{j}{Q}_i=U_i{\left(\frac{U_i-U_j(\cos {\theta }_j-\text{j}\sin {\theta }_j)}{R_{ij}-\text{j}{X}_{ij}}+\frac{U_i}{R_{i0}-\text{j}{X}_{i0}}\right)}^{\ast }\end{array}$$
节点 $j$ 的注入功率 $S_j=P_j+\text{j}{Q}_j={\dot{U}}_j{\dot{I}}_j^{\ast }$，将 ${\dot{I}}_j$ 代入可得：
$$\begin{array}{r}{P}_j+\text{j}{Q}_j=U_j{\left(-\frac{U_i-U_j(\cos {\theta }_j-\text{j}\sin {\theta }_j)}{R_{ij}-\text{j}{X}_{ij}}+\frac{U_j(\cos {\theta }_j-\text{j}\sin {\theta }_j)}{R_{j0}-\text{j}{X}_{j0}}\right)}^{\ast }\end{array}$$

状态方程形式

\hspace{1.6em} 将上述功率方程展开并整理，利用状态变量法可以得到关于状态变量 $U_i$、$U_j$ 和 ${\theta }_j$ 的非线性方程组。其中 $U_i$, $U_j$ 分别表示节点 $i$ 和节点 $j$ 的电压幅值，${\theta }_j$ 表示节点 $j$ 相对于节点 $i$ 的电压相角。

• 有功功率方程
  $$\begin{array}{rl}{P}_i& =U_i^2{G}_{i0}+U_i{U}_j(G_{ij}\cos {\theta }_j+B_{ij}\sin {\theta }_j)\\ P_j& =U_j^2{G}_{j0}+U_i{U}_j(G_{ij}\cos {\theta }_j-B_{ij}\sin {\theta }_j)\end{array}$$
  其中
  $$\begin{array}{rl}& G_{ij}=\frac{R_{ij}}{R_{ij}^2+X_{ij}^2}，B_{ij}=\frac{X_{ij}}{R_{ij}^2+X_{ij}^2}，\\ & G_{i0}=\frac{R_{i0}}{R_{i0}^2+X_{i0}^2}，G_{j0}=\frac{R_{j0}}{R_{j0}^2+X_{j0}^2}\end{array}$$
• 无功功率方程
  $$\begin{array}{rl}{Q}_i& =-U_i^2{B}_{i0}+U_i{U}_j(G_{ij}\sin {\theta }_j-B_{ij}\cos {\theta }_j)\\ Q_j& =-U_j^2{B}_{j0}-U_i{U}_j(G_{ij}\sin {\theta }_j+B_{ij}\cos {\theta }_j)\end{array}$$

参数说明

\hspace{1.6em} $R_{ij}$、$X_{ij}$ 是线路的电阻和电抗，$R_{i0}$、$X_{i0}$ 和 $R_{j0}$、$X_{j0}$ 分别是节点 $i$ 和节点 $j$ 的对地支路电阻和电抗。$G_{ij}$、$B_{ij}$、$G_{i0}$、$G_{j0}$ 是相应的电导和电纳。

\hspace{1.6em} 在实际的潮流计算中，已知节点注入功率 $P_i$、$Q_i$、$P_j$、$Q_j$ 以及线路和对地支路的参数，通过迭代求解上述状态方程，就可以得到节点电压的幅值和相角。

多节点系统电力节点注入功率直流潮流方程

\hspace{1.6em} 将上面的方程进行推广到多个节点的情形，用矩阵形式来描述，则可列写为如下形式

节点注入电流方程

$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}{\dot{I}}_1\\ {\dot{I}}_2\\ ...\\ {\dot{I}}_N\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{Y}_{11}& Y_{12}& ...& Y_{1N}\\ Y_{21}& Y_{22}& ...& Y_{2N}\\ ...& ...& & ...\\ Y_{N1}& Y_{N2}& ...& Y_{NN}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{V}}_1\\ {\dot{V}}_2\\ ...\\ {\dot{V}}_N\end{array}\right]\end{array}$$
\hspace{1.6em} 当 $i\ne j$ 时，$Y_{ij}=-1\ast (G_{ij}+\text{j}{B}_{ij})$；当 $i=j$ 时， Y i j = ∑ j ∈ {   1 , . . . , N   } ∩ {   j ≠ i   } ( G i j + j B i j ) Y_{ij} = \sum_{j \in \set{1,...,N} \cap \set{j \neq i}}(G_{ij}+\textbf jB_{ij}) Yij​=∑j∈{1,...,N}∩{j=i}​(Gij​+jBij​)

有功功率和无功功率方程组

{ P i − U i ∑ j = 1 N ( G i j U j cos ⁡ θ i j + B i j U j sin ⁡ θ i j ) = 0 Q i − U i ∑ j = 1 N ( G i j U j cos ⁡ θ i j − B i j U j sin ⁡ θ i j ) = 0 ∀ i ∈ {   1 , . . . , N   } \begin{cases} P_i -U_i\sum_{j = 1}^{N} (G_{ij}U_{j}\cos\theta_{ij}+ B_{ij}U_{j}\sin\theta_{ij})=0\\\\ Q_i -U_i\sum_{j = 1}^{N} (G_{ij}U_{j}\cos\theta_{ij}- B_{ij}U_{j}\sin\theta_{ij})=0 &&&\forall i \in \set{1, ...,N} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​Pi​−Ui​∑j=1N​(Gij​Uj​cosθij​+Bij​Uj​sinθij​)=0Qi​−Ui​∑j=1N​(Gij​Uj​cosθij​−Bij​Uj​sinθij​)=0​​​∀i∈{1,...,N}​
其中 $P_i$ 是节点 $i$ 的有功注入功率，$Q_i$ 是节点 $i$ 的无功注入功率，

直流潮流方程

\hspace{1.6em} 不考虑无功部分的方程，假设电压幅值固定，且设定为1，短线路的两端对地电压的相角差趋近于0，即$\sin {\theta }_{ij}\approx {\theta }_{ij}$，$\cos \theta \approx 1$，同时$G_{ij}\approx 0$，由于线路中电阻远远小于电抗，即电导远远大于电纳，所以再忽略一下对地支路电纳，即认为${\sum }_{j=1}^N{B}_{ij}=0$
则简化为以下方程：
P i = ∑ j = 1 N ( − B i j ) θ j ∀ i ∈ {   1 , . . . , N   } \begin{aligned} P_i =\sum_{j = 1}^{N} (- B_{ij})\theta_{j}&&&& \forall i \in \set{1, ...,N} \end{aligned} Pi​=j=1∑N​(−Bij​)θj​​​​​∀i∈{1,...,N}​

直流潮流方程的矩阵形式

$$\begin{array}{r}\text{P}=\text{B}\mathbf{\theta }\end{array}$$

线路潮流方程的简要推导

\hspace{1.6em} 上面的分析中已经说明了 $i$ 节点的注入功率和 节点电压幅值和相角以及线路上的阻抗参数之间的关系。除此之外，我们也非常关心导线上的功率和电压以及线路上的阻抗之间的关系，同样地，我们还是从双机系统电力线路等效模型，我们触发，先推导 节点 $i$ 到节点 $j$ 这两个节点连接线路上的潮流表达式。

线路 $i$ 到 $j$ 的线路潮流方程

\hspace{1.6em} 已知线路电流 ${\dot{I}}_{ij}=\frac{{\dot{U}}_i-{\dot{U}}_j}{Z_{ij}}=\frac{U_i-U_j(\cos {\theta }_j+\text{j}\sin {\theta }_j)}{R_{ij}+\text{j}{X}_{ij}}$，将其分母有理化：
$$\begin{array}{rl}{\dot{I}}_{ij}& =\frac{(U_i-U_j(\cos {\theta }_j+\text{j}\sin {\theta }_j))(R_{ij}-\text{j}{X}_{ij})}{(R_{ij}+\text{j}{X}_{ij})(R_{ij}-\text{j}{X}_{ij})}\\ & \\ & =\frac{U_i{R}_{ij}-j{U}_i{X}_{ij}-U_j{R}_{ij}\cos {\theta }_j-\text{j}{U}_j{R}_{ij}\sin {\theta }_j+\text{j}{U}_j{X}_{ij}\cos {\theta }_j-U_j{X}_{ij}\sin {\theta }_j}{R_{ij}^2+X_{ij}^2}\\ & \\ & =\frac{(U_i{R}_{ij}-U_j{R}_{ij}\cos {\theta }_j-U_j{X}_{ij}\sin {\theta }_j)+\text{j}(-U_i{X}_{ij}-U_j{R}_{ij}\sin {\theta }_j+U_j{X}_{ij}\cos {\theta }_j)}{R_{ij}^2+X_{ij}^2}\end{array}$$

\hspace{1.6em} 线路 $i$ 到 $j$ 的功率 $S_{ij}=P_{ij}+\text{j}{Q}_{ij}={\dot{U}}_i{\dot{I}}_{ij}^{\ast }$，因为 ${\dot{U}}_i=U_i$ $({\theta }_i=0)$，${\dot{I}}_{ij}^{\ast }$为 ${\dot{I}}_{ij}$ 的共轭复数：
$$\begin{array}{rl}{\dot{I}}_{ij}^{\ast }& =\frac{(U_i{R}_{ij}-U_j{R}_{ij}\cos {\theta }_j-U_j{X}_{ij}\sin {\theta }_j)-\text{j}(-U_i{X}_{ij}-U_j{R}_{ij}\sin {\theta }_j+U_j{X}_{ij}\cos {\theta }_j)}{R_{ij}^2+X_{ij}^2}\end{array}$$

\hspace{1.6em} 则 $S_{ij}=U_i{\dot{I}}_{ij}^{\ast }$：

$$\begin{array}{rl}{S}_{ij}& =\frac{U_i(U_i{R}_{ij}-U_j{R}_{ij}\cos {\theta }_j-U_j{X}_{ij}\sin {\theta }_j)-\text{j}{U}_i(-U_i{X}_{ij}-U_j{R}_{ij}\sin {\theta }_j+U_j{X}_{ij}\cos {\theta }_j)}{R_{ij}^2+X_{ij}^2}\end{array}$$

\hspace{1.6em} 所以，线路 $i$ 到 $j$ 的有功功率 $P_{ij}$ 和无功功率 $Q_{ij}$ 分别为：
$$\begin{array}{rl}{P}_{ij}& =\frac{U_i^2{R}_{ij}-U_i{U}_j{R}_{ij}\cos {\theta }_j-U_i{U}_j{X}_{ij}\sin {\theta }_j}{R_{ij}^2+X_{ij}^2}\\ Q_{ij}& =\frac{U_i^2{X}_{ij}+U_i{U}_j{R}_{ij}\sin {\theta }_j-U_i{U}_j{X}_{ij}\cos {\theta }_j}{R_{ij}^2+X_{ij}^2}\end{array}$$
\hspace{1.6em} 其中 $R_{ij}$ 和 $X_{ij}$ 分别为线路 $i$ 到 $j$ 的电阻和电抗，这些参数决定了线路上的功率传输特性。

多节点系统电力线路功率直流潮流方程

\hspace{1.6em} 限于篇幅，本文直接列出线路功率直流方程，并给出矩阵形式

线路功率直流方程

\hspace{1.6em} 同样为了简化分析，不考虑无功部分的方程，假设电压幅值固定，且设定为1，短线路的两端对地电压的相角差趋近于0，即 $\sin {\theta }_{ij}\approx {\theta }_{ij}$，$\cos \theta \approx 1$，同时 $G_{ij}\approx 0$，由于线路中电阻远远小于电抗，所以再忽略一下支路电阻，即认为 $R_{ij}=0$
$$\begin{array}{rlrlrl}{P}_{ij}& =\frac{-X_{ij}{\theta }_j}{X_{ij}^2}=\frac{-{\theta }_j}{X_{ij}}& & & & \forall (i,j)\in E\end{array}$$
\hspace{1.6em} 其中 $E$ 是电力网络中那些直接相连的线路之间的边的集合

稀疏矩阵矩阵形式

\hspace{1.6em} 描述一个电力网络中所有线路上的潮流，设线路潮流向量 $\mathbf{F}=[P_{12},P_{13},\cdots ,P_{mn}{]}^T$（表示各条线路的有功功率），线路潮流方程可以写成如下形式:
$$\begin{array}{r}\text{F}=\text{X}{\mathbf{\theta }}^{\prime }\end{array}$$
其中 $\text{X}$ 为：
$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccc}\frac{s_{11}}{X_{11}}& \frac{s_{12}}{X_{12}}& ...& \frac{s_{1N}}{X_{1N}}\\ & & & \\ \frac{s_{21}}{X_{21}}& \frac{s_{22}}{X_{22}}& ...& \frac{s_{2N}}{X_{2N}}\\ ...& ...& & ...\\ \frac{s_{l1}}{X_{l1}}& \frac{s_{l2}}{X_{l2}}& ...& \frac{s_{lN}}{X_{lN}}\end{array}\right]\end{array}$$
说明
\hspace{1.6em} 对于电路网络中存在的线路 $l$ 来说，如果这条线路的两端分别对应 节点 $i$ 和节点 $j$，那么除了$s_{li}$ 和 $s_{lj}$ 以外，其他分子上的取值均为0，如果假定潮流从节点 $i$ 流向节点 $j$，那么 $s_{li}=1$，且 $s_{lj}=-1$
\hspace{1.6em} 只要电路网络中节点个数超过22个，$\text{X}$ 就是一个稀疏矩阵

线路潮流方程的稠密矩阵形式

\hspace{1.6em} 事实上结合上述两种方法，能够得出另一个更常见的线路潮流方程的形式

稠密矩阵矩阵形式

\hspace{1.6em} 所谓的稠密矩阵的形式，也就是通过节点注入功率直流潮流方程和线路功率直流潮流方程 （稀疏形式） 这两者之间的关系推导得出的，那么这两者之间有什么关系呢？不难发现，$\text{P}=\text{B}\mathbf{\theta }$ 和 $\text{F}=\text{X}{\mathbf{\theta }}^{\prime }$ 之间都和电压相角有关，只不过这两者在定义上有所区别，$\mathbf{\theta }$ 是节点电压向量，而 ${\mathbf{\theta }}^{\prime }$ 是线路电压向量。但是如果令电网中的某一个节点作为参考节点，即使得这个节点的电压相角为0，就可以同时影响这两个方程，从而建立起联系，下面的推导就是基于这一点得到的

带稠密矩阵矩阵的线路功率直流潮流方程的简要推导

\hspace{1.6em} 考虑线路 $k$，其两端节点为 $i$ 和 $j$，将电网中所有节点的电压幅值 $U$ 假定为相同，且设定为1，线路上的有功功率 $P_{ij}$ 为：
$$\begin{array}{r}{P}_{ij}=\frac{1}{X_{ij}}({\theta }_i-{\theta }_j)\end{array}$$
\hspace{1.6em} 现在假定节点节点 $N$ 为参考节点，那么保留原来系统中电压相角的相对关系和差值，是否选取参考节点对于两个节点之间的相角差并没有产生任何影响，那么对于 $\text{F}=\text{X}{\mathbf{\theta }}^{\prime }$ 这个方程也不会产生任何影响，而 $\text{P}=\text{B}\mathbf{\theta }$ 将变换成 $\text{P}=\text{B}{\mathbf{\theta }}^{\prime }$
则功率方程 $\text{P}=\text{B}{\mathbf{\theta }}^{\prime }$ 可写为：
$$\left[\begin{array}{c}{P}_N\\ {\mathbf{P}}_R\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{B}}_{RR}& {\mathbf{B}}_{NR}^T\\ {\mathbf{B}}_{NR}& B_{NN}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\theta }_R\\ 0\end{array}\right]$$
即：
$$\{\begin{array}{l}{P}_N={\mathbf{B}}_{NR}^T{\theta }_R\\ {\mathbf{P}}_R={\mathbf{B}}_{RR}{\theta }_R\end{array}$$
\hspace{1.6em} 由 ${\mathbf{P}}_R={\mathbf{B}}_{RR}{\theta }_R$ 可得：${\theta }_R={\mathbf{B}}_{RR}^{-1}{\mathbf{P}}_R$
\hspace{1.6em} 其中 ${\mathbf{B}}_{RR}$ 是 $(n-1)\times (n-1)$ 的子矩阵，对应非参考节点之间的电纳关系；${\mathbf{B}}_{NR}$ 是 $(n-1)\times 1$ 的向量；${\theta }_R$ 是 $(n-1)\times 1$ 的非参考节点相角向量，那么只需要将 ${\theta }^{\prime }={\left[\begin{array}{cc}{\theta }_R,& 0\end{array}\right]}^T$ 带入到 $\text{F}=\text{X}{\mathbf{\theta }}^{\prime }$ 这个方程中，就能够得到 带稠密矩阵矩阵的线路功率直流潮流方程，如下式：
$$\mathbf{F}=\text{X}{\mathbf{\theta }}^{\prime }=\text{X}\left[\begin{array}{c}{\theta }_R\\ 0\end{array}\right]=\text{X}\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{B}}_{RR}^{-1}& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\text{P}=\text{T}\text{P}$$
\hspace{1.6em} 其中 $\text{T}$ 即为功率传输分配系数。$\text{T}$ 是一个稠密矩阵，这个方程给出了