一、最小二乘法原理
假设目前我们有一些数据，x是输入，y是与之对应的输出。现在想利用这些已有的数据，从中发现出规律，来预测没有出现过的输入会产生什么样的输出。
假设系统为单输入单输出系统，我们想在这个系统里找到数据背后的规律。规律需要通过模型来进行表征。为了表征规律可以使用不同的手段，不同的手段所建立的模型各有差异，有的模型精确度高但是使用麻烦，有的模型精确度欠缺但是使用简便。下面要介绍典型的建模方法——最小二乘法。
这里说的建模是指建立数学模型，即通过数学表达式来表征规律。通常最容易想到的表达式就是一次函数，二次函数了。
设模型： ,通过数据集
（i可以是很多数）来确定k,b
确定k,b只需要两对数据就够了，两点确定一条直线，数据多了会过拟合的。我们采集了很多数据，下面考虑如何将多采集的数据利用起来。
下面有两种思路：
方法一：更换模型，将一次换成高次，如：
方法二：仍用原模型，尽可能让各点靠近直线，或者说找到一组k和b使直线周围分布尽可能多的点。
对于方法一，将一次换成二次，三次还可以接受，但是当数据很多时用该方法计算量太大了，不可取。
最小二乘法采用的就是方法二的思想，目标是让各点靠近直线。下面接着思考用什么评价指标来进行衡量。
下面引出了“误差平方和”的概念。为了完成上面的目标，先想到所有点到直线的距离求和，但是若使用点到直线距离公式会出现根号，计算会比较麻烦，所以对各点距离取平方再求和，这样计算量就小很多了。
L称为目标函数，即上面所提到的最小平方和。通过求导就能求出它的极小值。
推导过程就省略了，下面直接给出结论：
假设有五个样本，要拟合的函数为:
则各参数含义为：
二、MATLAB代码实现
function main()
% 主程序
[X, y] = generate_data(100);
degree = 3;
X_poly = polynomial_features(X, degree);
X_new = linspace(0, 2, 100)';
X_new_poly = polynomial_features(X_new, degree);
theta_best = least_squares_fit(X_poly, y);
disp('Theta values:');
disp(theta_best');
y_predict = predict(X_new_poly, theta_best);
plot_data_and_predictions(X, y, X_new, y_predict);
end
function [X, y] = generate_data(num_points)
% 生成示例数据
rng(0); % 设置随机数生成器的种子
X = 2 * rand(num_points, 1);
y = 4 + 3 * X + randn(num_points, 1);
end
function X_poly = polynomial_features(X, degree)
% 为给定的X生成多项式特征
X_poly = [ones(size(X, 1), 1)]; % 添加偏置项（常数项）
for d = 2:degree+1
X_poly = [X_poly, X.^d]; % 添加多项式项
end
end
function theta_best = least_squares_fit(X_poly, y)
% 使用最小二乘法拟合模型
theta_best = X_poly' * X_poly \ X_poly' * y;
end
function y_predict = predict(X_poly, theta)
% 使用拟合的模型进行预测
y_predict = X_poly * theta;
end
function plot_data_and_predictions(X, y, X_new, y_predict)
% 可视化数据和预测结果
figure;
plot(X_new, y_predict, 'r-', 'DisplayName', 'Prediction');
hold on;
plot(X, y, 'b.', 'DisplayName', 'Data');
hold off;
xlabel('X');
ylabel('y');
title('Polynomial Regression Fit');
legend('show');
end
三、python代码实现
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def generate_data(num_points=100):
"""
生成示例数据
"""
np.random.seed(0)
X = 2 * np.random.rand(num_points, 1)
y = 4 + 3 * X + np.random.randn(num_points, 1)
return X, y
def polynomial_features(X, degree):
"""
为给定的X生成多项式特征
"""
# 在多项式特征中添加偏置项（常数项）
X_poly = np.c_[np.ones((X.shape[0], 1))]
# range的范围是1-degree,不包括degree+1
for d in range(1, degree + 1):
# np.c_ 是 NumPy 中用于按列合并数组的对象
X_poly = np.c_[X_poly, X ** d]
return X_poly
def least_squares_fit(X_poly, y):
"""
使用最小二乘法拟合模型
"""
# 使用公式求theta
theta_best = np.linalg.inv(X_poly.T.dot(X_poly)).dot(X_poly.T).dot(y)
return theta_best
def predict(X_poly, theta):
"""
使用拟合的模型进行预测
"""
return X_poly.dot(theta)
def plot_data_and_predictions(X, y, X_new, y_predict):
"""
可视化数据和预测结果
"""
plt.plot(X_new, y_predict, "r-", label="Prediction")
plt.plot(X, y, "b.", label="Data")
plt.xlabel("X")
plt.ylabel("y")
plt.title("Polynomial Regression Fit")
plt.legend()
plt.show()
# 主程序
if __name__ == "__main__":
# 生成数据
X, y = generate_data()
# 设置多项式的次数
degree = 3
# 为训练数据和新数据生成多项式特征
X_poly = polynomial_features(X, degree)
X_new = np.linspace(0, 2, 100).reshape(100, 1)
X_new_poly = polynomial_features(X_new, degree)
# 使用最小二乘法拟合模型
theta_best = least_squares_fit(X_poly, y)
# 打印计算出的theta值，按顺序显示常数项、一次项、二次项...系数
print("Theta values:", theta_best.flatten())
# 进行预测
y_predict = predict(X_new_poly, theta_best)
# 可视化结果
plot_data_and_predictions(X, y, X_new, y_predict)
