1. 简介
堆可以看做是一种特殊的完全二叉树，它满足任意节点的值都大于或小于其子节点的值。
2. 功能
- 插入元素：插入新元素时，先将元素放至数组末尾，然后通过上浮算法自底向上调整，使堆保持性质。
- 删除堆顶元素：删除堆顶元素后，将最后一个元素移至堆顶，然后通过下沉算法自顶向下调整，重新满足堆的性质。
- 建堆过程：从倒数第一个非叶子节点开始，对每个子树进行向下调整，直至整棵树满足堆的性质。
3. 图解
堆结构：
插入元素：
删除堆顶元素：
4. 实现
在Java中，堆通常通过数组实现，利用数组的索引来表示节点之间的关系。
具体实现方式如下：
- 定义一个数组来存储堆的元素。
- 使用数组下标表示节点的位置，例如根节点的下标为0，左子节点的下标为2 * i + 1，右子节点的下标为2 * i + 2。
- 在插入元素时，将新元素插入到数组末尾，然后通过上浮操作将其移动到正确的位置。
- 在删除元素时，将最后一个元素替换到堆顶，然后通过下沉操作将其移动到正确的位置。
- 在堆排序时，将堆顶元素与最后一个元素交换，然后将堆的大小减一，再通过下沉操作将新的堆顶元素移动到正确的位置。
小根堆代码实现：
public class MinHeap {
private int[] data; // 存储堆元素的数组
private int size; // 堆的大小
public MinHeap(int capacity) {
data = new int[capacity];
size = 0;
}
// 返回堆的大小
public int getSize() {
return size;
}
// 返回堆是否为空
public boolean isEmpty() {
return size == 0;
}
// 返回父节点的索引
private int parent(int index) {
return (index - 1) / 2;
}
// 返回左子节点的索引
private int leftChild(int index) {
return 2 * index + 1;
}
// 返回右子节点的索引
private int rightChild(int index) {
return 2 * index + 2;
}
// 上浮操作
private void siftUp(int index) {
while (index > 0
&& data[parent(index)] > data[index]) {
swap(parent(index), index);
index = parent(index);
}
}
// 下沉操作
private void siftDown(int index) {
while (leftChild(index) < size) {
int minIndex = leftChild(index);
if (rightChild(index) < size
&& data[rightChild(index)] < data[minIndex]) {
minIndex = rightChild(index);
}
if (data[index] <= data[minIndex]) {
break;
}
swap(index, minIndex);
index = minIndex;
}
}
// 交换两个元素的位置
private void swap(int i, int j) {
int temp = data[i];
data[i] = data[j];
data[j] = temp;
}
// 向堆中插入元素
public void insert(int value) {
if (size == data.length) {
throw new IllegalStateException("Heap is full");
}
data[size] = value;
siftUp(size);
size++;
}
// 从堆中删除最小元素（即堆顶元素）
public int extractMin() {
if (isEmpty()) {
throw new IllegalStateException("Heap is empty");
}
int minValue = data[0];
data[0] = data[size - 1];
size--;
siftDown(0);
return minValue;
}
}
也有一个偷懒的办法，我们可以通过 Java 内置的 PriorityQueue 类来实现最小堆。通过调用add() 方法可以向堆中插入元素，而通过调用 poll() 方法可以从堆中删除最小元素（即堆顶元素）。
需要注意的是，PriorityQueue 默认实现的是最小堆，如果需要实现最大堆，可以通过传递自定义比较器来实现。例如，使用 PriorityQueue<Integer>(Conleections.reverseOrder()) 来创建一个最大堆。
public class HeapTest {
public static void main(String[] args) {
// 创建一个最小堆
PriorityQueue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();
// 向堆中插入元素
minHeap.add(5);
minHeap.add(2);
minHeap.add(8);
minHeap.add(1);
minHeap.add(3);
System.out.println("最小堆的元素： " + minHeap); // 输出： [1, 2, 8, 5, 3]
// 从堆中删除最小元素（堆顶元素）
int minElement = minHeap.poll();
System.out.println("被删除的最小元素： " + minElement); // 输出： 1
System.out.println("删除最小元素后的最小堆： " + minHeap); // 输出： [2, 3, 8, 5]
}
}7. 应用场景
- 堆排序：利用最大堆或最小堆的性质，可以进行高效的排序操作。堆排序是一种时间复杂度为O(n log n)的排序算法，它通过建堆和反复删除堆顶元素进行排序。
- 中位数查询：使用最大堆和最小堆可以在O(log n)的时间内查询一组数据的中位数，这对于实时数据分析等领域非常重要。
- Top K问题：对于一个数据流，需要在其中找到前K大或前K小的元素，可以使用堆来实现。维护一个大小为K的堆，遍历数组，从数组中取出数据与堆顶元素比较，如果比堆顶元素大，则将堆顶元素删除，并将这个元素插入到堆中；如果比堆顶元素小，则不做处理，继续遍历数组。这样等数组中的数据都遍历完之后，堆中的数据就是前K大数据了。
6. 总结
综上所述，堆是Java中一种非常重要的基础数据结构，它提供了高效的数据插入和删除操作，广泛应用于堆排序、top k问题等场景。理解堆的基本操作和应用，对于开发者来说非常有益，有助于更好地利用这一数据结构来解决实际问题。
