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牛客热题：不同的路径数目(一)

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不同路径的数目(一)_牛客题霸_牛客网 (nowcoder.com)

方法一：二维dp

思路

① 状态表示：

​ $dp[i][j]$记录到达第$i$行$j$列的方法数

②初始化：

​ 首先第一列和第一行的到达方法均只有一种，因为我们只能从它的上方或者左方到达，因此只有一条路径，所以我们将第一列和第一行均初始化为1

③状态转移：

​ 对于每一个位置(除了第一行第一列)，都有两种到达的方法，从上方和从左方到达。

所以状态转移方程为：$dp[i][j]$ = $dp[i-1][j]+dp[i][j-1]$

④填表顺序：

因为状态转移方程中需要依赖左侧和上方的状态，所以我们的填表顺序是从上到下，从左到右的。

⑤返回答案：

​ 因为我们需要的是从起点到终点的路径方法，所以我们最终返回对应的$dp[m-1][n-1]$就可以了。

代码

int uniquePaths(int m, int n) 
    {
        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
        //初始化 
        dp[0][0] = 1;
        for(int i = 1; i < m || i < n; ++i)
        {
            if(i < m) dp[i][0] = 1;
            if(i < n) dp[0][i] = 1;
        }

        for(int i = 1; i < m; ++i)
            for(int j = 1; j < n; ++j)
            {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }

        return dp[m - 1][n - 1];
    }

复杂度

时间复杂度：遍历二维数组$O(m\ast n)$

空间复杂度：创建了一个二维的dp数组$O(m\ast n)$

方法二：组合数学

思路

由于在矩阵中没有障碍物，从左左上角移动到右下角一共要移动m+n-2次，其中有m-1次向下，n-1次向右，对这两种操作进行组合。因此最后就是求$C\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-1}{n+m-2}\right)$这个组合数

代码

 int uniquePaths(int m, int n) 
    {
        long long ret = 1;
        for(int x = n, y = 1; y < m; ++x, ++y)
        {
            ret = ret * x / y;
        }

        return ret;
    }

复杂度

时间复杂度：O(min(m, n)), 我们计算组合数的时候，只需要一次遍历就可以计算出结果。

空间复杂度：O(1), 没有使用额外的变量。