DS：树与二叉树的相关概念

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一、树的概念及其结构

1.1 树的概念+亲缘关系

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

要点：

1. 有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点。
2. 除根结点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。（每个孩子只能有一个父亲，一个父亲可以有多个孩子）。
3. 因此，树是递归定义的。

任何一棵树都包含了根和N棵子树（N>=0），子树又由新的根和子树组成；N=0时，该树被称为空树。就像递归一样，将大问题逐步拆解成一个个不可再拆解的小问题。（很形象的描述就是，递归其实是套娃🪆）
注意：在树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树结构了!!!（子树之间相交叫做图）

1.2 树的相关名词

树是由根和子树构成的，也可以说是分支节点和叶子节点构成的。我们可以根据树+人类亲缘关系来定义解读树的相关名词。

名词	意义	上图中表示
节点的度	一个节点含有的子树的个数	A节点的度为6
叶节点或终端节点	度为0的节点	B、C、H、I、P、Q、K、L、M、N节点称为叶节点
非终端节点或分支节点	度不为0的节点	A、D、E、F、G、J节点为分支结点
双亲节点或父节点	若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点	A是B的父节点
孩子节点或子节点	一个节点含有的子树的根节点称为该节点的节点	B是A的孩子节点
兄弟节点	具有相同父节点的节点（相当于是亲兄弟）互称为兄弟节点	B、C是兄弟节点
树的度	一棵树中，最大的节点的度称为树的度	因为A节点的度为最大的度，所以树的度为6
节点的层次(Level)	从根开始定义起，根为第1层，根的孩子为第2层，以此类推，就相当于楼层；树中节点的最大层次称为树的深度（Depth）或高度。	上图节点的层次为4（相当于4层楼）
树的高度或深度	树中节点的最大层次，相当于最大楼层数	上图中树的最大高度为4
堂兄弟节点	双亲在同一层的节点互为堂兄弟（相当于不是同一个双亲）	上图H、I互为堂兄弟节点
节点的祖先	从根到该节点所经分支上的所有节点（简而言之，祖先都是一条线上的蚂蚱🦗）	上图中A是所有节点的祖先
子孙	以某结点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙	上图中所有节点都是A的子孙
森林	由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林（森林是一群树）	上图是单独一棵树，不能构成森林

深入讨论：

a. 为什么根节点的层次是从第1层开始定义的，而非第0层？
现有一棵树没有子树，那么如果从1开始定义，那么根节点的高度为0；如果从0开始定义，那么根节点的高度为-1。
b. 那么为什么C语言中的数组下标从0开始呢？
因为数组的下标从0开始，便于计算。数组名是数组首元素的地址。例如arr[i]等价于*(arr+i)。而如果数组的下标从1开始，那么arr[i]代表第i个元素，而*(arr+i)代表第i+1个元素，二者不再等价。

1.3 树的表示方法

树的结构相比较于以往的其他结构就比较复杂了，要存储起来表示就比较有难度，不仅要保存值域，也要保存节点和节点之间的关系。实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。

1.3.1 已知节点的度

如果已知节点的度，那么就可以根据这个度来确定树的结构体中需要孩子指针的数量。

//明确树的高度为N（树的度：一棵树中， 含有的子树个数最大的节点称为树的度）
typedef int DataType;
struct TreeNode
{
    DataType val;
    struct TreeNode* subs[N];//定义了一个指针数组
};

1.3.2 未知节点的度

如果不知道节点的度，那么我们就需要另寻他法来定义树结构。下面就是常用的定义表示法。

（1）双亲表示法

双亲表示法的基本思想：用一维数组来存储树的各个节点（一般按层序存储），数组中的一个元素对应树中的一个节点，包括节点的数据信息以及该节点的双亲在数组中的下标。

//双亲表示法
typedef int DataType;
struct PNode
{
	DataType data;  //数据域
	int parent;		//指针域，双亲在数组中的下标（即用整型来表示父亲节点的位置）
};

树的双亲表示法实质上是一个静态链表。当算法中需要在树结构中频繁地查找某节点的父节点时，使用双亲表示法最合适。当频繁地访问节点的孩子节点时，双亲表示法就很麻烦，采用孩子表示法就很简单。

（2）孩子链表表示法

孩子链表的表示方法：链表中的每个节点包括一个数据域和多个指针域，每个指针域指向该节点的一个孩子节点。

其中data：数据域，存放该节点的数据信息；child1~childn：指针域，指向该节点的孩子。

孩子链表的基本思想：把每个节点的孩子排列起来，看成是一个线性表，且以单链表存储，则n个节点共有n个孩子链表。这n个单链表共有 n个头指针，一起组成一个线性表，为了便于进行查找采用顺序存储。最后，将存放n个头指针的数组和存放n个节点的数组结合起来，构成了孩子链表的表头数组。

使用孩子表示法存储的树结构，正好和双亲表示法相反适用于查找某节点的孩子节点，不适于查找其父节点。可以将两种方法合二为一。（博客园--gonghr）

（3）双亲孩子表示法

（4）左孩子右兄弟表示法

左孩子右兄弟表示法是是我们经常用的一种方法。无论一个父亲节点有多少个孩子，leftChild都指向左边开始的第一个孩子节点。rightBrother指向同一层的兄弟，而且这个兄弟是同样的父母（相当于leftChild是双亲带大的第一个孩子即老大，剩下的孩子老二老三等就有老大带大）。

关系图如下：

//左孩子右兄弟表示法
typedef int DataType;;
struct TreeNode
{
    DataType val;//节点中的数据域
    struct TreeNode* firstChild;//左边孩子指针（第一个孩子节点）
    struct TreeNode* pNextBrother;//右边兄弟指针（指向下一个兄弟节点）
};

既然已经定义好了树的结构，那现在应该如何通过左孩子右兄弟找到所有的孩子节点？示例代码如下：

//通过左孩子右兄弟找到所有的孩子节点：
struct TreeNode* parent;//定义树的结构体指针
struct TreeNode* cur = parent->leftChild;

while (cur)
{
    //……
    cur = cur->rightBrother;
}

1.4 树的相关应用

（1）文件系统中的目录树结构就是经典的树结构。

我们打开磁盘，在底层就是通过磁盘的孩子指针找到第一个孩子，再通过第一个孩子的兄弟指针开始逐个遍历后面的兄弟节点，才能把整个目录给列举出来。

如果我们新建一个文件夹，就是让该文件目录下的兄弟节点指向NULL的文件指向这个新建文件，然后新建文件的兄弟指针指向NULL，当然这个也要看情况，有时候文件排序的方式也是不同的。

（2）Linux树状目录结构

二、二叉树的概念及其结构

在所有的树的相关结构中，二叉树是我们经常用的一种结构。

2.1 二叉树概念

一棵二叉树是节点的一个有限集合，该集合的特点是：1. 要么为空；2. 要么由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树的特点：1. 二叉树的度最大为2（相当于对其进行了计划生育，最多生育2个孩子）；2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2 特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的节点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且节点总数是2k-1 ，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。（简言之，完全二叉树的最后一层不是满的）

2.3 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2(i-1)个结点。

2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 2h-1。

（ps：20层满二叉树，节点数为100W+；30层满二叉树，节点数为10亿+）

3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0，度为2的分支结点个数为n2 ，则有n0 ＝n2 ＋1。

4. 若规定根结点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log2(n+1)。

5. 对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从0开始编号，则对于序号为 i 的结点有：

        a. 若 i >0， i 位置结点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点；

        b. 若2*i+1<n，左孩子序号：28i+1，2*i+1>=n否则无左孩子；

        c. 若2*i+2<n，右孩子序号：2*i+2，2*i+2>=n否则无右孩子。