算法：前缀和题目练习

题目一：一维前缀和[模版]

题目二：二维前缀和[模版]

题目三：寻找数组的中心下标

题目四：除自身以外数组的乘积

题目五：和为K的子数组

题目六：和可被K整除的子数组

题目七：连续数组

题目八：矩阵区域和

题目一：一维前缀和[模版]

示例1

输入：

输出：

3
6

题目要求是：给一个数组，需要注意的是：下标是从1开始

查询时给下标l和r，返回下标从l到下标为r的元素的和

也就是：如果数组arr是[2, 4, 6]，那么查询时如果是：1 2，那就返回6(2+4)，如果是2 3，就返回10(4+6)，如果是1 3，就返回12(2+4+6)

解法一：暴力解法

暴力解法很简单，即就是题目需要求哪段区间的和，那我就从这个区间的开始一直加到这个区间的结尾即可

时间复杂度：O(N*q)

假设每次询问的查询范围都是从头找到尾，所以是O(N)的，而q次询问，所以是O(q)，嵌套起来就是O(N*q)

而这道题N和q的范围都是从1到10^5的，最差的情况，时间复杂度是10^10，是绝对会超时的

解法二：前缀和

前缀和：快速求出数组中某一个连续区间的和

这里的快速指查找时间复杂度为O(1)，但是预处理一个前缀和数组的时间复杂度为O(N)，所以使用前缀和后，时间复杂度变为O(N) + O(q)了，之所以不是相乘是因为这两个过程并没有嵌套在一起进行

要想使用前缀和，分为下面两步：

①预处理出来一个前缀和数组

数组有几个元素，前缀和数组dp就有几个元素

dp[i]就表示[1, i]区间内所有元素的和

也就是如果数组arr是[1, 2, 3]，那么dp数组就是[1, 3, 6]

这里可以优化的一点是：每次算前i个数的和，不需要从1开始加，从i-1开始加即可，因为i-1位置的元素就表示前i-1个元素的和

所以dp[i]的公式是：dp[i] = dp[i+1] + arr[i]

②使用前缀和数组

使用前缀和数组也很简单：

即如果查找的是3~5区间的和，那么只需要使用dp[5] - dp[2]，即就是下标为1~5的和，减去1~2的和，算出来就是3~5的和了

即就是查找[l, r]区间的和，则dp[r] - dp[l - 1]即可

下面讲个细节问题，为什么下标要从1开始计数

如果计算的是计算的是前两个元素的和，公式就变为了：dp[2] - dp[-1]，这就会导致越界访问了，所以这种情况还需要处理边界情况，麻烦一些

而如果下标是从1开始的，那么如果计算的是前两个元素的和就是：dp[2] - dp[0]，我们只需将dp数组中dp[0]的值置为0就能完美解决这个问题

代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    int n = 0,q = 0;
    cin >> n >> q;//读入数据
    vector<int> arr(n+1);
    vector<long long> dp(n+1);//防止溢出
    //预处理出来一个前缀和数组
    for(int i = 1; i < arr.size(); i++)
    {
        cin >> arr[i];
        dp[i] = dp[i-1] + arr[i];
    }
    //使用前缀和数组
    int l = 0, r = 0;
    while(q--)
    {
        cin >> l >> r;
        cout << dp[r] - dp[l-1] << endl;
    }
    return 0;
}

题目二：二维前缀和[模版]

示例1

输入：

输出：

8
25
32

上述题目一是一维的前缀和，题目二是二维的前缀和

就以示例一来说明题意：

第一行的 3 4 3，表示有一个3行4列的矩阵，查询次数是3次

3行4列的矩阵为接下来输入的3行数据，即：

最后三行就表示所查询的三次内容，前两个数字表示一个坐标，后两个数字表示一个坐标

即1 1 2 2就表示(1,1)到(2,2)的这个矩形范围所有值的和，即下图红色区域：

解法一：暴力解法

每次询问时，都给出整个区间所有元素的和，因为是m行n列q此询问，所以时间复杂度是O(m*n*q)，因为每次询问最差情况都要遍历数组一遍，是O(m*q)，而询问q次，是嵌套关系，所以是O(m*n*q)

当然了，在看到这个时间复杂度后，我们就很容易可以判断出来，这个时间肯定超时了，所以接下来看解法二

解法二：前缀和

同样是分为两步

①预处理出前缀和矩阵

同样重新创建一个和原始矩阵相同规模的矩阵，不同的是新矩阵dp，每一个位置dp[i, j]表示的含义是：从[1, 1]到[i, j]这个位置所有元素的和

例如下图，如果想求这个矩阵中所有元素的和，那么可以分为下面四部分：

我们加入想求[1, 1]到[i, j]位置所有元素的和，只需要求A + B + C + D即可，也就是将ABCD这四个区域的元素之和相加，但是A好求，B、C不太好求，所以可以退而求其次，求A + B和A + C的值，此时多加了一遍A，只需最后减去即可，所以：

dp[i,j] = (A + B) + (A + C) + D - A = dp[i][j-1] + dp[i-1][j] + arr[i,j] - dp[i-1][j-1]

此时求dp[i,j]的时间复杂度就是O(1)的

②使用前缀和矩阵

所以按照上面的思想，如果想要求[x1, y1] ~ [x2, y2]的区域的元素和，也就是下面的D区域：

此时求D区域，就可以整体的A+B+C+D，再减去A+B+C，但是单独的B和C不好算，所以依旧使用A+B和B+C来计算，因为多减了一次A，所以最后再加上多减的那个A即可，公式即为：

dp[x2, y2] - dp[x1-1, y2] - dp[x2, y1-1] + dp[x1-1, y1-1]

根据上图可以轻松写出

由于需要先构建m行n列前缀和数组dp，所以时间复杂度是O(m*n)，又因为每次查询只需要套一个公式，所以时间复杂度为O(1)，需要查询q次，所以前缀和的时间复杂度为：O(m*n) + O(q)

上述第一个公式用于预处理出前缀和矩阵，第二个公式用于使用前缀和矩阵

代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() 
{
    //输入数据
    int n = 0,m = 0,q = 0;
    cin >> n >> m >> q;
    vector<vector<int>> arr(n+1,vector<int>(m+1));
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            cin >> arr[i][j];
    //预处理前缀和矩阵
    vector<vector<long long>> dp(n+1,vector<long long>(m+1));//long long防止溢出
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] + arr[i][j] - dp[i-1][j-1];
    //使用前缀和矩阵dp
    int x1 = 0, y1 = 0, x2 = 0, y2 = 0;
    while(q--)
    {
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        cout << (dp[x2][y2]-dp[x1-1][y2]-dp[x2][y1-1]+dp[x1-1][y1-1]) << endl;
    }
    return 0;
}

题目三：寻找数组的中心下标

给你一个整数数组 nums ，请计算数组的 中心下标 。

数组 中心下标 是数组的一个下标，其左侧所有元素相加的和等于右侧所有元素相加的和。

如果中心下标位于数组最左端，那么左侧数之和视为 0 ，因为在下标的左侧不存在元素。这一点对于中心下标位于数组最右端同样适用。

如果数组有多个中心下标，应该返回 最靠近左边 的那一个。如果数组不存在中心下标，返回 -1 。

示例 1：

输入：nums = [1, 7, 3, 6, 5, 6]
输出：3
解释：
中心下标是 3 。
左侧数之和 sum = nums[0] + nums[1] + nums[2] = 1 + 7 + 3 = 11 ，
右侧数之和 sum = nums[4] + nums[5] = 5 + 6 = 11 ，二者相等。

示例 2：

输入：nums = [1, 2, 3]
输出：-1
解释：
数组中不存在满足此条件的中心下标。

示例 3：

输入：nums = [2, 1, -1]
输出：0
解释：
中心下标是 0 。
左侧数之和 sum = 0 ，（下标 0 左侧不存在元素），
右侧数之和 sum = nums[1] + nums[2] = 1 + -1 = 0 。

解法一：暴力解法

每次枚举一个位置，都去将这个位置的左边和右边的元素都累加，去比较总和是否相同，这里的暴力解法的时间复杂度是O(N^2)的

因为枚举下标是O(N)，求和也是O(N)，所以是时间复杂度是O(N^2)

解法二：前缀和

此题使用的依旧是前缀和的思路，与前面不同的是，此题要求中心下标的左边元素和右边元素相加的和是相同的，所以这里可以引出前缀和数组 f 和后缀和数组 g

这里的前缀和数组的定义与前面的前缀和数组的定义是不同的，并不包含当前位置的值，所以也就进一步的说明，前缀和数组只是一个思想，并不是一个固定的格式

f[i] 表示从0加到i-1位置的元素和，g[i] 表示从i+1加到n-1位置的元素和

同样是分为下面的两步：

①预处理出前缀和、后缀和数组

首先我们明白，在此题中，f[i]表示 0 ~ i - 1 位置的元素的和，所以f[i-1]就是0~i-2位置的元素的和，还差一个nums[i-1]，再加上即可，g[i]同理可得：
f[i] = f[i-1] + nums[i-1]
g[i] = g[i+1] + nums[i+1]

②使用前缀和、后缀和数组

在上面预处理出前缀和与后缀和数组后，只需枚举每个下标时，判断f[i]与g[i]是否相等即可，如果相等就表示该下标是数组的中心下标

下面是此题需要注意的两个细节问题：

第一、f[0]与g[n-1]都需要提前处理，因为如果不处理，f[0]的公式会出现f[-1]，g[n-1]的公式会出现g[n]，这两种情况都是导致越界访问

第二、预处理前缀和数组需要从左向右处理，而预处理后缀和数组则需要从后向前处理，因为前缀和数组计算时，每一个位置都需要前一个位置的值，而后缀和数组每一个位置都需要后一个位置的值

代码如下：

class Solution {
public:
    int pivotIndex(vector<int>& nums) 
    {
        int n = nums.size();
        vector<int> f(n);
        vector<int> g(n);
        //预处理前缀和数组f，从下标1开始，下标0默认值是0
        for(int i = 1; i < n; i++)
            f[i] = f[i-1] + nums[i-1];
        //预处理后缀和数组g，从下标n-2开始，下标n-1默认值是0
        for(int i = n - 2; i >= 0; i--)
            g[i] = g[i+1] + nums[i+1];
        //使用数组
        for(int i = 0; i < n; i++)
            if(f[i] == g[i]) return i;
        return -1;
    }
};

题目四：除自身以外数组的乘积

给你一个整数数组 nums，返回 数组 answer ，其中 answer[i] 等于 nums 中除 nums[i] 之外其余各元素的乘积 。

题目数据保证数组 nums之中任意元素的全部前缀元素和后缀的乘积都在 32 位 整数范围内。

请 不要使用除法，且在 O(n) 时间复杂度内完成此题。

示例 1:

输入: nums = [1,2,3,4]
输出: [24,12,8,6]

示例 2:

输入: nums = [-1,1,0,-3,3]
输出: [0,0,9,0,0]

此题题意是比较好理解的，例如示例一，数组nums元素是1、2、3、4，返回一个数组answer，在数组answer中，每一个元素的值都是nums中除了该位置的数外，其余所有元素的乘积，如下所示：

nums元素是[1, 2, 3, 4]，所以answer数组中的第一个元素值为：2*3*4=24，第二个元素值为1*3*4=12，第三个元素值为：1*2*4=8，第四个元素的值为：1*2*3=6

所以answer数组的元素就为：[24, 12, 8, 6]

解法一：暴力解法

暴力解法也很简单，依次枚举每个位置，然后再求除了该位置外的所有元素的乘积，时间复杂度是O(N^2)的

因为枚举每个位置的时间复杂度是O(N)，而其中还需要嵌套一个循环，是遍历其余元素，求其余元素的乘积，时间复杂度也是O(N)，所以总的时间复杂度是O(N^2)

解法二：前缀积 + 后缀积

此题同样是需要使用前缀和的思想，但是每道题的前缀和处理思路都是根据实际情况来定的，此题中需要求一个answer数组，使得该数组的每一个元素的值都是nums数组中其余元素的乘积

所以如果要求i位置的值，就需要知道 0 ~ i-1 位置的元素的乘积，以及 i+1 ~ n-1 位置的元素的乘积，所以此题实际的解法可以称之为前缀积

根据上述的描述，我们可以知道，想要得到所需的answer数组，需要 i 下标之前的前缀积和 i 下标之后的后缀积

同样是分为下面的两步：

①预处理出前缀积、后缀积数组

前缀积数组用 f 表示，后缀积数组用 g 表示

f[i] 表示[0, i-1]区间内所有元素的积，

f[i] = f[i-1] * nums[i-1]

g[i] 表示[i+1, n-1]区间内所有元素的积，

g[i] = g[i+1] * nums[i+1]

②使用前缀积、后缀积数组

由于此题所要求的是得出一个answer数组，所以只需创建出一个大小与nums相同的数组，数组中每个元素都使用 f[i] * g[i]来得出最后的值

同样这里也有需要注意的细节问题

与上一题一样，f[0] 和 g[n-1] 都有可能出现越界访问的问题

因为 f[1] = f[0] * nums[0]，而f[1]本身就应该等于 nums[0]，1乘任意一个数还等于这个数，所以这里初始化 f[0] 为1，g[n-1]同理可得，也初始化为1

代码如下：

class Solution {
public:
    vector<int> productExceptSelf(vector<int>& nums) 
    {
        int n = nums.size();
        vector<int> answer(n);
        //预处理前缀积数组 f 和后缀积数组 g
        vector<int> f(n), g(n);
        f[0] = g[n-1] = 1; // 处理细节问题
        for(int i = 1; i < n; i++)
            f[i] = f[i-1] * nums[i-1];
        for(int i = n - 2; i >= 0; i--)
            g[i] = g[i+1] * nums[i+1];
        //使用前缀积和后缀积数组
        for(int i = 0; i < n; i++)
            answer[i] = f[i] * g[i];
        return answer;
    }
};

题目五：和为K的子数组

给你一个整数数组 nums 和一个整数 k ，请你统计并返回 该数组中和为 k 的子数组的个数 。

子数组是数组中元素的连续非空序列。

示例 1：

输入：nums = [1,1,1], k = 2
输出：2

示例 2：

输入：nums = [1,2,3], k = 3
输出：2

解法一：暴力解法

此题看题意，很容易想出暴力解法，即从第一个位置开始，依次向后枚举，一直累加，因为可能存在负数，所以每次都需要加到最后一个元素，第一个位置累加完毕，就从第二个位置加，加到最后一个元素位置，直到最后一个元素

暴力枚举可以将数组中可能存在的子数组枚举一遍，每次判断子数组的元素和是否等于k，从而解答此题

暴力枚举的时间复杂度是O(N^2)

根据上述所说，可能存在负数的情况，所以这里的数组是不具备单调性的，所以也就不能使用双指针(滑动窗口)优化

解法二：前缀和 + 哈希表

想要使用前缀和的思想，我们可以将子数组转变为以 i 位置为结尾的子数组，暴力解法是以 i 位置为开头的所有子数组，这两种遍历方式没有区别，一个是从前向后遍历，一个是从后向前遍历的

之所以使用以 i 结尾，是因为这样可以更好的使用前缀和的思想，因为此时可以预处理出前缀和数组sum，sum[i]就表示 i 之前的所有元素的和
因为需要找元素之和为k的子数组，而如果我们以i为结尾，从i开始遍历向前找和为k的子数组，那和暴力解法没区别，所以此时可以转换思路：

寻找和为k的子数组，当枚举到 i 位置后，我们可以根据sum[i]知道以 i 位置为结尾的数组前缀和是多少，那么想找到一个子数组的元素和为k，可以转换为：
当我们枚举到以 i 位置为结尾时，想找一个子数组，它的前缀和为sum[i] - k即可，如果能够找到一个子数组的前缀和为sum[i] - k，那么就变相的说明i之前的数组中，存在和为k的子数组，相当于将i结尾的数组分为了两部分，一部分是和为k的子数组，一部分是和为sum[i] - k的子数组
也就是说，我们想找和为k的A数组，转化思路后变为找到和为sum[i]-k的B数组，也就相当于找到了和为k的A数组

即需要找到在[0, i-1]这个区间中，有多少个前缀和为 sum[i] - k的子数组

那么在了解这个思想后，我们难道是直接创建一个前缀和数组，再找i位置之前有多少个子数组的和等于sum[i] - k吗，那么此时这个算法的时间复杂度也是O(N^2)，依旧是遍历数组的思路
因为遍历i位置是O(N)，再寻找和为sum[i] - k也是O(N)，所以时间复杂度也是O(N^2)，那么如何巧妙地解决这个问题呢，这里就需要用到哈希表这个思想了：

哈希表就是用于快速查找某个数的，所以我们可以将前缀和插入到哈希表里，统计前缀和出现的次数，所以哈希表存的就是int, int类型的，第一个int存的是前缀和，第二个int存的是前缀和出现的次数，此时就无需遍历数组寻找和为sum[i] - k的数组，只需要找哈希表中sum[i] - k所对应的数字即可

下面是细节问题：

①前缀和何时放入哈希表中？
是创建出前缀和数组，一股脑全放进去吗？是不能一开始就全放进哈希表中的，因为我们所计算的是 i 位置之前有多少个前缀和等于sum[i] - k，如果全放进入，是可能会统计到 i 位置之后的某些位置的前缀和数组也可能等于sum[i] - k
因此在计算 i 位置之前，哈希表中只保存 0~i-1 位置的前缀和

②不用真的创建出来一个前缀和数组

因为每次dp[i] = dp[i-1] + nums[i-1]，每次只需要知道前一个位置的前缀和即可，所以此题中，只需使用一个变量sum标记之前的元素前缀和dp[i-1]是多少，计算完dp[i]后，把sum更新为dp[i]即可，所以在计算下一个dp[i]的时候，这个sum依旧是计算前的前缀和的值

③整个前缀和等于k的情况

也就是 0~i 这段区域的区间等于k，此时如果出现这种情况，我们按照上面的描述，就会在[0, -1]的区间内寻找，但是这个区间并不存在，而我们此时是存在这个等于k的情况的，所以需要特殊处理这种情况，因为整个数组的和为k，我们想找的sum[i] - k就变为0了，所以此时需要先设置hash[0] = 1，先在哈希表中存入这种情况

代码如下：

class Solution {
public:
    int subarraySum(vector<int>& nums, int k) {
        unordered_map<int, int> hash;//统计前缀和出现的次数
        hash[0] = 1; //处理整个数组之和是k的情况
        int sum = 0, ret = 0;
        for(auto& it : nums)
        {
            sum += it;//计算当前位置的前缀和
            if(hash.count(sum - k)) ret += hash[sum - k];//统计个数
            hash[sum]++;//将当前位置的前缀和放入哈希表中
        }
        return ret; 
    }
};

题目六：和可被K整除的子数组

给定一个整数数组 nums 和一个整数 k ，返回其中元素之和可被 k 整除的（连续、非空） 子数组 的数目。

子数组 是数组的连续部分。

示例 1：

输入：nums = [4,5,0,-2,-3,1], k = 5
输出：7
解释：
有 7 个子数组满足其元素之和可被 k = 5 整除：
[4, 5, 0, -2, -3, 1], [5], [5, 0], [5, 0, -2, -3], [0], [0, -2, -3], [-2, -3]

示例 2:

输入: nums = [5], k = 9
输出: 0

首先这道题在做之前，先解释两个数学知识：

①同余定理

同余定理指的是，如果 (a - b) / p = k .... 0，也就是说 (a - b) 能够整除 k，那就存在a%p == b%p

证明很简单，(a - b) = k*p -> a = b + k*p -> a % p = b % p

因为k*p % p = 0，所以得出上式

②负数除以整数的情况

举个例子： -4 % 3 == -1，但是在数学上，余数只有正的，所以如果想取得正余数，余数无论正负数的通用公式如下：

(a % p + p) % p

因为负数%正数，得出的结果是负数，如果想要正数就需要加上这个正数，又因为可能原本的结果就是正数，此时再%这个正数，如果原本就是正数的话，后面加的这个p就被抵消了

解法一：暴力解法

暴力枚举出所有的子数组，然后把子数组的和加起来，判断是否能被k整除，与上一题一样，此题依旧是不能使用滑动窗口来做优化的，因为可能存在负数，数组不是单调的

解法二：前缀和 + 哈希表

这道题和上一题同样的思想，使用前缀和 + 哈希表完成

同样是求i之前的子数组的元素之和能够整除k，也就是下图所示：

假设在 i 之前的这段绿色区域的元素之和，能够被 k 整除，而前面这段红色区域元素之和是 x

所以得到： (sum - x) % k = 0，根据同余定理，可以得到：sum % k == x % k

所以得到一个结论，如果后面的绿色区域能够被 k 整除，那么前面的这段红色区域，同样能被 k 整除，那么也就是说，在 [0, i-1] 这个区间内，有多少个前缀和的余数是sum % k的，就说明有多少个子数组是满足被 k 整除这个条件的

同样需要处理细节问题，其他和上一题一样，唯一有一个需要注意的是：哈希表同样是<int, int>，但是第一个int不是存的前缀和了，而是存的前缀和的余数

代码如下：

class Solution {
public:
    int subarraysDivByK(vector<int>& nums, int k) {
        unordered_map<int ,int> hash;
        hash[0] = 1; //特殊情况，如果整体的前缀和能被k整除
        int sum = 0, ret = 0;
        for(auto& it : nums)
        {
            sum += it; //sum算出当前位置之前的前缀和
            int ans = (sum % k + k) % k; //求出修正后的余数
            if(hash.count(ans)) ret += hash[ans]; //统计结果
            hash[ans]++;
        }
        return ret;
    }
};

题目七：连续数组

给定一个二进制数组 nums , 找到含有相同数量的 0 和 1 的最长连续子数组，并返回该子数组的长度。

示例 1:

输入: nums = [0,1]
输出: 2
说明: [0, 1] 是具有相同数量 0 和 1 的最长连续子数组。

示例 2:

输入: nums = [0,1,0]
输出: 2
说明: [0, 1] (或 [1, 0]) 是具有相同数量0和1的最长连续子数组。

首先先看这个题目要求，找含有相同数量的0和1的最长连续子数组，我们初始看这个题目要求感觉可能半天想不出来解法，但是如果转换一下思路，将数组中的0全部换为-1，此时就变为了子数组中含有的1和-1的数量相同，那如果1和-1的数量相同，就说明相加为0了，此时就可以和前面的和为k的子数组那道题一样了，这道题就变为了：和为0的最长子数组了

虽然思想是一样的，但是却是有很多细节问题，如下所示：

①哈希表中存什么

哈希表同样是int, int，第一个int存的依然是前缀和，但是这里的第二个int存的是下标，因为需要知道这里的下标，才能算出这里的下标与

②什么时候存入哈希表

和上一题一样，都是在计算 i 位置之前，哈希表中只保存 0~i-1 位置的前缀和

③如果哈希表中出现重复的<sum, i>时，如何存

存的是第一次出现的值，因为如下图所示，绿色是符合要求的区域，而越早出现的符合要求的点越靠左，越靠左绿色的范围就越大，即子数组的长度越长

因为此时符合要求的子数组相加为0，所以左边的红色区域的和也就是sum，因此符合的点越靠左，绿色区域越大，即符合要求的子数组长度越长

④默认的整体的数组前缀和为0，如何存

因为如果在i位置之前有一个子数组满足条件，那么是在0~i-1的区域找满足条件的子数组，而此时整个数组都满足题意了，那么在前面就没有位置找了，所以就变成了在[0, -1]的区间找

当数组整体前缀和为0时，我们就需要在-1的位置寻找一个前缀和，因为存的是下标，所以存的是-1，所以此时计算长度时就能够满足这种特殊情况了

⑤最长子数组的长度怎么算

如上图所示，绿色区域是所求的子数组长度，所以长度计算就为：i - j

代码如下：

class Solution {
public:
    int findMaxLength(vector<int>& nums) {
        unordered_map<int, int> hash;
        hash[0] = -1; //处理特殊情况
        int sum = 0, ret = 0;
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++)
        {
            sum += nums[i] == 0 ? -1 : 1;//计算当前位置的前缀和，并把0全替换为-1
            if(hash.count(sum)) ret = max(i - hash[sum], ret);
            //这里需要加else，为了保证出现重复的sum，只保留第一次的，确保子数组长度最长
            else hash[sum] = i;
        }
        return ret;
    }
};

题目八：矩阵区域和

给你一个 m x n 的矩阵 mat 和一个整数 k ，请你返回一个矩阵 answer ，其中每个 answer[i][j] 是所有满足下述条件的元素 mat[r][c] 的和：

i - k <= r <= i + k,
j - k <= c <= j + k 且
(r, c) 在矩阵内。

示例 1：

输入：mat = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]], k = 1
输出：[[12,21,16],[27,45,33],[24,39,28]]

示例 2：

输入：mat = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]], k = 2
输出：[[45,45,45],[45,45,45],[45,45,45]]

这道题的题意其实很简单，就是有一个m × n的矩阵，再给一个整数k，要求每一个位置都向上下左右扩展k个单位(超出的部分不算)，扩展后的区域的元素之和，就是原位置的元素值，以示例一为例：

2号位置就是计算红色区域的元素和，上面虚线就表示超出的范围，忽略
5号位置就是计算蓝色区域的元素和

这道题就很明显是要用到二维前缀和了，需要在这里再次提醒，二维前缀和不需要背模版，只需要画图理解，很快就能自己现推一个公式出来，理解最重要！

对于此题来说，给一个坐标(i, j)，那么这个坐标所对应需要计算的区域就是从(i-k, j-k)到(i+k, j+k)，此时需要考虑是否会超出矩阵的范围，所以做如下处理：

x1 = max(0, i-k)，x2 = min(m-1, i+k)

y1 = max(0, j-k)，y2 = min(n-1, j+k)

上述讲解是用于求answer矩阵的每个位置对应的(x1,y1)和(x2,y2)坐标的，但是有一个细节问题需要注意：

在使用前缀和时，我们为了能够正常使用，数组的下标都是从1开始的，因为从0开始会出现越界访问的问题，而此题的下标是从0开始的，所以需要考虑下标的映射关系

题目中所给的mat矩阵是3×3的，而我们想正常使用前缀和，就得让坐标从1开始，也就是相比于mat矩阵，多加一行多加一列，所以mat和answer就变为下图所示：

由于dp数组多了一行一列，所以就会有下面这种情况：

我们想预处理dp二维数组中的(x, y)位置时，需要再mat中找的是(x-1, y-1)位置
并且形成最终的answer数组的(x, y)位置时，所需要dp数组中的位置又是(x+1, y+1)

此时就有两种处理思路：

第一种思路：在预处理dp数组时，在原始的公式中把每一个x1、x2、y1、y2都+1，这样才能对应到mat二维数组中的元素
但是这样处理比较麻烦，每一个位置都需要改

第二种思路：将刚刚计算的x1、x2、y1、y2是原始mat矩阵的下标，如果想在dp矩阵中找位置，每个后面都+1即可，这样就完成了上述操作，比较简便

x1 = max(0, i-k)+1，x2 = min(m-1, i+k)+1

y1 = max(0, j-k)+1，y2 = min(n-1, j+k)+1

代码如下：

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> matrixBlockSum(vector<vector<int>>& mat, int k) {
        int m = mat.size(), n = mat[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m+1, vector<int>(n+1));
        vector<vector<int>> answer(m, vector<int>(n));
        //预处理前缀和数组dp
        for(int i = 1; i < m+1; i++)
            for(int j = 1; j < n+1; j++)
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] - dp[i-1][j-1] + mat[i-1][j-1];
        //使用前缀和数组
        for(int i = 0; i < m; i++)
        {
            for(int j = 0; j < n; j++)
            {
                int x1 = max(0, i-k) + 1, y1 = max(0, j-k) + 1;
                int x2 = min(m-1, i+k) + 1, y2 = min(n-1, j+k) + 1;
                answer[i][j] = dp[x2][y2] - dp[x2][y1-1] - dp[x1-1][y2] + dp[x1-1][y1-1];
            }
        }
        return answer;
    }
};

前缀和题目到此结束