学习目标：

了解动态规划

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学习内容：

 1. LeetCode509. 斐波那契数https://leetcode.cn/problems/fibonacci-number/

 2. LeetCode70. 爬楼梯https://leetcode.cn/problems/climbing-stairs/

 3. LeetCode746. 使用最小花费爬楼梯https://leetcode.cn/problems/min-cost-climbing-stairs/

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学习产出：

能够独立解决上面三道入门级动态规划题

1. LeetCode509. 斐波那契数

1.动态规划
class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        //边界情况
        if(n<0){
            return -1;
        }
        if(n==0){
            return 0;
        }

        //dp[i]=F(i)
        vector<int>dp(n+1);//0~n，n+1个数

        //转移方程：F(n)=F(n-1)+F(n-2)
        //所以先初始化F(1),F(0)
        dp[0]=0;
        dp[1]=1;

        //完善动态规划表
        for(int i=2;i<=n;i++){
            dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
};
2.动态规划
完善动态规划表的时候发现，只需要前两个数即可，所以我们只需要三个变量即可。
空间复杂度从O(n)->O(1)
class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if(n<0){
            return -1;
        }

        int a=0;//F(0)
        int b=1;//F(1)
        int c=a+b;//F(2)
        while(n--){
            c=a+b;
            a=b;
            b=c;
        }
        //在while循环中，相当于a/b/c都往后移了n个数
        //所以最终a：F(n)，b：F(n+1)，c：F(n+2)
        return a;
    }
};
可能很多人不理解为什么返回a而不是c，其实只要代入一个案例进去算就明白了

2. LeetCode70. 爬楼梯

1.动态规划表：
class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        //边界情况
        if(n<1){
            return 0;
        }
        if(n==1){
            return 1;
        }
        
        //dp[i]：到达i阶楼梯的方法数
        vector<int>dp(n+1);//有dp[n]
        dp[1]=1;
        dp[2]=2;
        //完善动态规划表
        for(int i=3;i<=n;i++){
            dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
};
2.动态规划：我们仍只需维护三个变量即可
class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        //边界情况
        if(n<1){
            return 0;
        }
        if(n==1){
            return 1;
        }
        //注意要用long，不然c可能会溢出
        long a=1;//F(1)
        long b=2;//F(2)
        long c=a+b;//F(3)
        n-=1;//a往后(n-1)个数才是F(n)，所以n变成n-1
        while(n--){
            c=a+b;
            a=b;
            b=c;
        }
        return a;
    }
};

3. LeetCode746. 使用最小花费爬楼梯

1.动态规划表
class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
        int n=cost.size();
        //dp[i]：爬'到'第i阶楼梯所需最低费用
        vector<int>dp(n+1);

        //初始化dp，可以从下标为0或1的台阶开始爬楼梯
        dp[0]=0;//从下标为0开始
        dp[1]=0;//从下标为1开始
        
        //完善dp
        for(int i=2;i<=n;i++){
            dp[i]=min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]);
        }
        return dp[n];
    }
};
2.动态规划：只需维护三个变量
class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
        int a=0;
        int b=0;
        int c=0;
        for(int i=2;i<=cost.size();i++){
            //a是台阶更低的所需费用，所以和cost[i-2]搭配
            c=min(a+cost[i-2],b+cost[i-1]);
            a=b;
            b=c;
        }
        //i向后移n-2位，c初始为F(2)，结束循环后刚好是F(n)
        return c;
    }
};