卡尔曼滤波(Kalman Filtering)详细解读

news2024/11/23 0:59:17

🧑‍🎓 个人主页:《爱蹦跶的大A阿》

🔥当前正在更新专栏:《VUE》 、《JavaScript保姆级教程》、《krpano》、《krpano中文文档》

​ 

✨ 前言

卡尔曼滤波(Kalman Filtering)是一种用于估计动态系统状态的递推算法,被广泛应用于控制系统、信号处理、经济学、导航和机器人学等领域。它是由瑞典数学家鲁道夫·卡尔曼(Rudolf E. Kalman)于1960年提出的,因其在多种应用中的卓越表现,被誉为20世纪最重要的发明之一。本文将从卡尔曼滤波的基本原理、数学推导、应用实例以及代码实现等方面进行详细解读,帮助读者深入理解这一强大的工具。

✨ 正文

卡尔曼滤波(Kalman Filtering)是一种用于估计动态系统状态的递推算法,被广泛应用于控制系统、信号处理、经济学、导航和机器人学等领域。它是由瑞典数学家鲁道夫·卡尔曼(Rudolf E. Kalman)于1960年提出的,因其在多种应用中的卓越表现,被誉为20世纪最重要的发明之一。本文将从卡尔曼滤波的基本原理、数学推导、应用实例以及代码实现等方面进行详细解读,帮助读者深入理解这一强大的工具。

一、卡尔曼滤波的基本原理

卡尔曼滤波是一种线性二次估计器,旨在通过对一系列带有噪声的观测数据进行处理,估计出系统的真实状态。其核心思想是基于贝叶斯理论,通过递归估计来不断更新系统的状态和协方差矩阵,从而获得最优估计。

1.1 系统模型

卡尔曼滤波假设系统可以用线性状态空间模型表示,即:

其中:

  • xkx_{k}xk​ 是时刻 kkk 的状态向量;
  • Ak−1A_{k-1}Ak−1​ 是状态转移矩阵;
  • Bk−1B_{k-1}Bk−1​ 是控制输入矩阵;
  • uk−1u_{k-1}uk−1​ 是控制向量;
  • wk−1w_{k-1}wk−1​ 是过程噪声,假设为零均值高斯噪声,协方差为 Qk−1Q_{k-1}Qk−1​;
  • zkz_{k}zk​ 是时刻 kkk 的观测向量;
  • HkH_{k}Hk​ 是观测矩阵;
  • vkv_{k}vk​ 是观测噪声,假设为零均值高斯噪声,协方差为 RkR_{k}Rk​。

1.2 卡尔曼滤波的两大步骤

卡尔曼滤波主要分为预测(Predict)和更新(Update)两个步骤:

  1. 预测步骤: 在时刻 k−1k-1k−1 已知状态估计 x^k−1∣k−1\hat{x}_{k-1|k-1}x^k−1∣k−1​ 和协方差矩阵 Pk−1∣k−1P_{k-1|k-1}Pk−1∣k−1​ 的情况下,预测时刻 kkk 的状态和协方差矩阵:

  2. 更新步骤: 在得到时刻 kkk 的观测值 zkz_{k}zk​ 后,更新状态估计和协方差矩阵:

二、卡尔曼滤波的数学推导

为了更深入理解卡尔曼滤波,我们需要从概率的角度推导其更新公式。

2.1 预测步骤推导

预测步骤基于系统的状态转移模型,计算在没有观测信息时对下一个时刻状态的估计。

根据系统状态方程:

2.2 更新步骤推导

更新步骤结合观测信息,利用贝叶斯定理修正预测结果。

观测方程为:

 

三、卡尔曼滤波的应用实例

为了更好地理解卡尔曼滤波的应用,我们将介绍两个经典的实例:位置跟踪和金融数据预测。

3.1 位置跟踪

在位置跟踪应用中,卡尔曼滤波可以用来估计物体的当前位置和速度。

假设物体的运动模型为:

 

3.2 金融数据预测

在金融数据预测中,卡尔曼滤波可以用来估计和预测股票价格。

假设股票价格的变动遵循随机游走模型:

使用卡尔曼滤波可以递推估计当前的股票价格,并根据历史数据进行预测。

四、卡尔曼滤波的代码实现

下面我们将展示卡尔曼滤波的Python实现,以位置跟踪为例。

import numpy as np

class KalmanFilter:
    def __init__(self, A, B, H, Q, R, P, x0):
        self.A = A  # 状态转移矩阵
        self.B = B  # 控制输入矩阵
        self.H = H  # 观测矩阵
        self.Q = Q  # 过程噪声协方差矩阵
        self.R = R  # 观测噪声协方差矩阵
        self.P = P  # 估计误差协方差矩阵
        self.x = x0 # 初始状态估计

    def predict(self, u):
        # 状态预测
        self.x = np.dot(self.A, self.x) + np.dot(self.B, u)
        # 误差协方差预测
        self.P = np.dot(np.dot(self.A, self.P), self.A.T) + self.Q

    def update(self, z):
        # 卡尔曼增益
        S = np.dot(np.dot(self.H, self.P), self.H.T) + self.R
        K = np.dot(np.dot(self.P, self.H.T), np.linalg.inv(S))
        # 更新状态估计
        self.x = self.x + np.dot(K, (z - np.dot(self.H, self.x)))
        # 更新误差协方差
        I = np.eye(self.P.shape[0])
        self.P = np.dot(np.dot(I - np.dot(K, self.H), self.P), 
                        (I - np.dot(K, self.H)).T) + np.dot(np.dot(K, self.R), K.T)

# 示例参数设置
dt = 1.0  # 时间间隔
A = np.array([[1, dt], [0, 1]])  # 状态转移矩阵
B = np.array([[0.5*dt**2], [dt]])  # 控制输入矩阵
H = np.array([[1, 0]])  # 观测矩阵
Q = np.array([[0.1, 0], [0, 0.1]])  # 过程噪声协方差
R = np.array([[1]])  # 观测噪声协方差
P = np.eye(2)  # 初始误差协方差
x0 = np.array([0, 1])  # 初始状态

kf = KalmanFilter(A, B, H, Q, R, P, x0)

# 模拟控制输入和观测
u = np.array([0])  # 假设没有控制输入
measurements = [np.array([1]), np.array([2]), np.array([3])]  # 观测数据

for z in measurements:
    kf.predict(u)  # 预测步骤
    kf.update(z)   # 更新步骤
    print(f"状态估计: {kf.x}")

 

五、卡尔曼滤波的扩展

        卡尔曼滤波虽然强大,但也有局限性。例如,它假设系统是线性且噪声服从高斯分布。对于非线性系统,可以使用扩展卡尔曼滤波(EKF)或无迹卡尔曼滤波(UKF)。这些滤波器在处理非线性问题时表现更优。

5.1 扩展卡尔曼滤波

        扩展卡尔曼滤波通过对非线性系统进行线性化处理,适用于处理小非线性的系统。其主要步骤如下:

  1. 预测步骤: 使用非线性状态转移方程进行状态预测:

  2. 更新步骤: 使用非线性观测方程进行状态更新:

5.2 无迹卡尔曼滤波

        无迹卡尔曼滤波采用无迹变换来处理非线性系统,其不需要对系统进行线性化,适用于强非线性系统。

无迹卡尔曼滤波的主要步骤包括:

  1. 生成一组无迹采样点;
  2. 通过非线性函数传播这些采样点;
  3. 根据传播后的采样点计算状态估计和协方差矩阵。

无迹卡尔曼滤波的具体实现较为复杂,这里不做详细展开。

 

✨ 结语

        卡尔曼滤波是一种强大的估计工具,广泛应用于各个领域。通过递推估计和贝叶斯理论,卡尔曼滤波能够在有噪声的观测数据中有效地估计系统的真实状态。虽然它有一定的局限性,但扩展卡尔曼滤波和无迹卡尔曼滤波等变种进一步扩展了其应用范围。通过实际应用和代码实现,可以更好地理解卡尔曼滤波的工作原理和效果。

希望本文能够帮助读者深入理解卡尔曼滤波,并在实际工作中灵活应用这一工具。

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.coloradmin.cn/o/1794456.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈,一经查实,立即删除!

相关文章

天润酸奶爆改饭盒?为什么听劝营销“硬控”消费者如此有效

不知道大家会不会经常逛超市?有没有发现酸奶货架上有一道异于其它品牌的包装,它就是新疆天润酸奶,酷似饭盒的外包装对于当代倡导实用主义的年轻人来讲,这一发现无疑是直接“创进心巴”,不少网友表示它直接解决了带饭人…

新零售智能售卖教学实训沙盘内容介绍

新零售智能售卖教学实训沙盘是服务数据分析的教学工具。通过该沙盘,能够让学生了解数据分析在新零售行业智能售卖业务场景的应用流程。使用新零售智能售卖教学实训沙盘进行教学,一方面能够让老师的教学内容更加贴近实际应用,将教学场景具象化…

音视频开发13 FFmpeg 音频 相关格式分析 -- AAC ADTS格式分析

这一节,我们学习常用的音频的格式 AAC,重点是掌握 AAC的传输格式 ADTS 头部的信息,目的是 : 当音频数据有问题的时候,如果是AAC的编码,在分析 头部信息的时候能够根据头部信息 判断问题是否出现在 头部。 A…

搜狗输入法的软键盘怎么关闭

我的搜狗输入法软件盘和typora中ctrlshiftk冲突了,关闭软键盘

doris FE 在Windows环境下编译调试开发环境

前言: doris fe 在win下调试运行,和正常java项目有一些差异,主要是有与be(c)通信代码的生成 在win环境下不能直接生成,因此需要现在linux下生成之后,再拷贝到本地来,然后进行编译&a…

锻炼 精读笔记 01

元数据 [!abstract] 锻炼 书名: 锻炼作者: 丹尼尔利伯曼简介: 我们是为休息而生,还是为跑而生? 跑步会毁了你的膝盖吗? 哪种运动项目蕞适合我? 懒惰是不正常的行为吗? 每晚都需要睡够 8 个小时…

机器学习是什么?它又如何在网络安全中使用?

介绍 本文概述了基础机器学习概念,并解释了机器学习在网络安全行业中日益增长的应用,以及主要优势、主要用例、常见误解和 CrowdStrike 的机器学习方法。 什么是机器学习? 机器学习 (ML) 是人工智能 (AI…

RockPI 4A单板Linux 4.4内核下的RK3399 GPIO功能解析

RockPI 4A单板Linux 4.4内核下的RK3399 GPIO功能解析 摘要:本文将基于RockPI 4A单板,介绍Linux 4.4内核下RK3399 GPIO(通用输入输出)功能的使用方法。通过详细的代码解析和示例,帮助读者理解如何在Linux内核中使用GPI…

MySQL条件查询

018条件查询之或者or or表示或者,还有另一种写法:|| 案例:找出工作岗位是MANAGER和SALESMAN的员工姓名、工作岗位 注意字符串一定要带单引号 select ename, job from emp where jobmanager or jobsalesman;任务:查询20和30部门的…

信息系统项目管理师0145:敏捷与适应方法(9项目范围管理—9.2项目范围管理过程—9.2.3敏捷与适应方法)

点击查看专栏目录 文章目录 9.2.3 敏捷与适应方法9.2.3 敏捷与适应方法 对于需求不断变化、风险大或不确定性高的项目,在项目开始时通常无法明确项目的范围,而需要在项目期间逐渐明确。敏捷或适应型方法特意在项目早期缩短定义和协商范围的时间,为后续细化范围、明确范围争取…

海思Hi3519DV500方案1200万无人机吊舱套板

海思Hi3519DV500方案1200万无人机吊舱套板 Hi3519DV500 是一颗面向行业市场推出的超高清智能网络摄像头SoC。该芯片最高 支持四路sensor 输入,支持最高4K30fps 的ISP 图像处理能力,支持2F WDR、 多级降噪、六轴防抖、全景拼接、多光谱融合等多种传统图像…

一种用于异质结高电子迁移率晶体管(HEMTs)的紧凑型漏电流模型,其中包括双子带的二维电子气(2DEG)密度解

来源:A compact drain current model for heterostructure HEMTs including 2DEG density solution with two subbands(Solid-State Electronics 16年) 摘要 本文提出了一种针对异质结高电子迁移率晶体管(HEMTs)的二维电子气(2DEG)电荷密度…

数组array 和 array的区别

问题 对于数组 array和&array有什么区别呢? 先说答案 array: 指向数组第一个数地址的指针 &array: 指向整个数组地址的指针 所以直接打印的话, 地址是一样的. 但是如果1的话, 那么array是增加sizeof(int)大小, &array是增加sizeof(int) * array.size() 测试 #i…

[AVL数四种旋转详细图解]

文章目录 一.右单旋二. 左单旋三. 右左双旋四. 左右双旋 一.右单旋 新节点插入较高左子树的左侧—左左:右单旋 由于在较高左子树的左侧插入一个节点后,左边插入导致30的平衡因子更新为-1,而60平衡因子更新为-2,此时不平衡&…

Elastic Search 8.14:更快且更具成本效益的向量搜索,使用 retrievers 和重新排序提升相关性,RAG 和开发工具

作者:来自 Elastic Yaru Lin, Ranjana Devaji 我们致力于突破搜索开发的界限,并专注于为搜索构建者提供强大的工具。通过我们的最新更新,Elastic 对于处理以向量表示的大量数据的客户来说变得更加强大。这些增强功能保证了更快的速度、降低的…

【精选案例】Sellfy | 电子商务平台怎么利用客户裂变系统实现用户增长?

Sellfy是一种基于云的电子商务解决方案,特别为数字内容创作者所设计。 一、主要目标用户: Sellfy主要针对的是包括作家、插画家、设计师、音乐家和电影制作人在内的数字内容创作者,他们可以在Sellfy上在线销售自己的产品。 二、平台特点&a…

KIBANA的安装教程(超详细)

前言 Kibana 是一个开源的基于浏览器的可视化工具,主要用于分析和展示存储在 Elasticsearch 索引中的数据。它允许用户通过各种图表、地图和其他可视化形式来探索和理解大量数据。Kibana 与 Elasticsearch 和 Logstash 紧密集成,共同构成了所谓的 ELK 堆…

全面守护你的健康ZL-0891A小动物多参数监护仪

简单介绍: 12.1英寸彩色TFT显示,分辨率800X600,采用数字血氧DSP算法,低灌注,小动物多参数监护仪具有优良的抗运动性能;动物用血压算法,支持测量各种动物类型,特有的中英文语音报警;支持USB数据导出,可以在…

为什么越来越多的人做期货?

期,指的的是规定的时间,货,很简单,就是货物商品的意思。期货就很容易理解了,就是在规定的时间交割商品。在实际的操作中,大部分的人并不想去交割商品,只是想买卖合约,赚取中间的差价…

常见的激活函数(sigmoid、tanh、ReLU、Leaky ReLU、P-ReLU、R-ReLU、ELU、Swish、Mish、Maxout、softmax)

文章目录 前言求导四则运算法则基本初等函数的导数sigmoid函数sigmoid函数适用场景sigmoid函数图像sigmoid函数的导数公式sigmoid函数的导数图像sigmoid函数的缺点解决办法 tanh函数tanh函数公式推导过程tanh函数图像tanh函数的导数公式tanh函数的导数图像 t a n h ( x ) 1 2…