自动控制：自治系统与非自治系统的稳定性分析

在自动控制领域，理解自治系统和非自治系统的区别对于分析系统稳定性至关重要。自治系统的运动方程只与系统的状态有关，而非自治系统的运动方程则与系统的状态和时间都有关系。本文将探讨非自治系统的稳定性及其李雅普诺夫分析方法。

非自治系统的稳定性

非自治系统的稳定性分析相对复杂，因为它不仅取决于系统的当前状态，还直接受到时间的影响。非自治系统的运动方程可以表示为：

$$\dot{x}(t)=f(x(t),t)$$

其中，$x(t)$是系统的状态向量，$f(x(t),t)$是描述系统动态的函数。

稳定性的基本概念

对于一个非自治系统，稳定性的定义如下：

• 平衡点：如果存在一个点$x^{\ast }$使得$f(x^{\ast },t)=0$，则$x^{\ast }$是系统的平衡点。
• 李雅普诺夫稳定：如果对于任何初始状态$x(0)$在某个足够小的邻域内，系统的状态$x(t)$始终保持在平衡点$x^{\ast }$的某个邻域内，则系统在$x^{\ast }$是李雅普诺夫稳定的。
• 渐近稳定：在满足李雅普诺夫稳定的前提下，如果对于任何初始状态$x(0)$在某个足够小的邻域内，系统的状态$x(t)$随着时间趋向平衡点$x^{\ast }$，则系统在$x^{\ast }$是渐近稳定的。
• 全局渐近稳定：如果对于任意的初始状态$x(0)$，系统的状态$x(t)$随着时间趋向平衡点$x^{\ast }$，则系统在$x^{\ast }$是全局渐近稳定的。
• 指数稳定：称平衡点在是指数稳定的，如果存在两个正数 $\alpha$ 和 $\beta$，使得对于足够小的 $\Vert x(0)-x^{\ast }\Vert$，有 $\Vert x(t)-x^{\ast }\Vert \le \alpha \Vert x(0)-x^{\ast }\Vert e^{-\beta t}$。
• 一致稳定：如果对于任意的 $ϵ>0$，存在 $\delta >0$（与初始时刻无关），使得当 $\Vert x(0)-x^{\ast }\Vert <\delta$ 时， $\Vert x(t)-x^{\ast }\Vert <ϵ$ 对于所有 $t\ge 0$ 都成立。
• 一致渐近稳定：在满足李雅普诺夫稳定的前提下，存在一个半径与无关的吸引球，使得初始状态在内的轨线关于一致收敛于0。

非自治系统的李雅普诺夫分析

李雅普诺夫分析是一种常用的稳定性分析方法，通过构造一个李雅普诺夫函数来研究系统的稳定性。李雅普诺夫函数是一个正定函数，用于描述系统状态偏离平衡点的程度。对于非自治系统，李雅普诺夫分析的步骤如下：

步骤1：选择李雅普诺夫函数

选择一个适当的李雅普诺夫函数$V(x,t)$，该函数需要满足以下条件：

1. $V(x,t)$在平衡点$x^{\ast }$处为零，即$V(x^{\ast },t)=0$。
2. $V(x,t)$在$x^{\ast }$的某个邻域内为正定函数，即$V(x,t)>0$，当$x\ne x^{\ast }$时。

步骤2：计算李雅普诺夫函数的导数

计算李雅普诺夫函数$V(x,t)$关于时间$t$的导数$\dot{V}(x,t)$：

$$\dot{V}(x,t)=\frac{\partial V}{\partial x}\dot{x}+\frac{\partial V}{\partial t}$$

其中，$\dot{x}=f(x,t)$是系统的运动方程。

步骤3：分析李雅普诺夫函数的导数

通过分析$\dot{V}(x,t)$的符号来确定系统的稳定性：

• 如果$\dot{V}(x,t)<0$，则系统在$x^{\ast }$渐近稳定。
• 如果$\dot{V}(x,t)\le 0$，则系统在$x^{\ast }$李雅普诺夫稳定。
• 如果$\dot{V}(x,t)>0$，则系统在$x^{\ast }$不稳定。

例子分析

考虑一个简单的非自治系统，其运动方程为：

$$\dot{x}(t)=-x(t)+\sin (t)$$

选择李雅普诺夫函数$V(x,t)=\frac{1}{2}{x}^2$。

计算李雅普诺夫函数的导数：

$$\dot{V}(x,t)=\frac{\partial V}{\partial x}\dot{x}=x(-x+\sin (t))=-x^2+x\sin (t)$$

由于$x\sin (t)$的最大值为$|x|$，我们可以得出：

$$\dot{V}(x,t)=-x^2+x\sin (t)\le -x^2+|x|=-x^2+|x|=-(x^2-|x|)$$

因此，当$|x|$足够小时，$\dot{V}(x,t)<0$，系统在$x=0$渐近稳定。

Python代码示例

下面是一个简单的Python代码示例，用于仿真上述非自治系统的稳定性分析。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import solve_ivp

# 定义非自治系统的运动方程
def non_autonomous_system(t, x):
    return -x + np.sin(t)

# 定义李雅普诺夫函数
def lyapunov_function(x):
    return 0.5 * x**2

# 定义李雅普诺夫函数的导数
def lyapunov_derivative(t, x):
    return -x**2 + x * np.sin(t)

# 时间范围
t_span = (0, 10)
t_eval = np.linspace(t_span[0], t_span[1], 1000)

# 初始条件
x0 = 1.0

# 仿真系统
sol = solve_ivp(non_autonomous_system, t_span, [x0], t_eval=t_eval)

# 计算李雅普诺夫函数值
V = lyapunov_function(sol.y[0])
V_dot = lyapunov_derivative(sol.t, sol.y[0])

# 绘制系统状态和李雅普诺夫函数
plt.figure(figsize=(14, 6))

plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(sol.t, sol.y[0], label='State $x(t)$')
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('State $x(t)$')
plt.title('State $x(t)$ vs Time')
plt.legend()
plt.grid(True)

plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(sol.t, V, label='$V(x)$')
plt.plot(sol.t, V_dot, label='$\dot{V}(x, t)$')
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Lyapunov Function')
plt.title('Lyapunov Function and its Derivative')
plt.legend()
plt.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()

代码说明

1. 定义非自治系统的运动方程：非自治系统的动态方程定义为$\dot{x}(t)=-x(t)+\sin (t)$。
2. 定义李雅普诺夫函数：选择$V(x,t)=\frac{1}{2}{x}^2$作为李雅普诺夫函数。
3. 定义李雅普诺夫函数的导数：计算李雅普诺夫函数的导数$\dot{V}(x,t)=-x^2+x\sin (t)$。
4. 仿真系统：使用solve_ivp函数仿真系统的状态。
5. 绘制系统状态和李雅普诺夫函数：使用Matplotlib绘制系统的状态$x(t)$、李雅普诺夫函数$V(x)$及其导数$\dot{V}(x,t)$。

结论

通过李雅普诺夫分析方法，可以有效地分析非自治系统的稳定性。本文介绍了非自治系统的基本概念及其稳定性分析方法，并通过Python代码示例展示了如何仿真和验证系统的稳定性。在实际应用中，李雅普诺夫分析方法可以帮助工程师设计稳定性良好的控制系统，提高系统的鲁棒性和可靠性。