树状数组代码模板

普通数组：求前缀和： $O(n)$，修改：$O(1)$

前缀和数组：求前缀和：$O(1)$，修改：$O(n)$

鱼和熊掌不可兼得，当我们同时需要对一个数组求前缀和和修改时，这两种数组的时间复杂度都比较高。

而树状数组是一个折中的方案，它运用二进制优化，求前缀和和修改操作的时间复杂度都是 $O(\log n)$

下面是代码模板：

• tr 树状数组，下标从 1 开始
• add 在下标为 x 的位置加 c
• sum 求下标 $[1,x]$ 的元素的和

const int N = 100010;

int n;
int tr[N];

int lowbit(int x) {
    return x & -x;
}

void add(int x, int c) {
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += c;
}

int sum(int x) {
    int res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}

因为代码比较简短，所以你可以直接把它背下来，使用的时候 tr 数组就当成普通的数组看待，但是只能通过 add 和 sum 函数对它进行操作

原理

lowbit 函数

lowbit 函数用来求一个数的二进制表示的最低一位 $1$ 所表示的数。如 $lowbit(6)=2$，$6$ 的二进制为 $110$，最低一位 $1$ 就是 $10$ 即为 $2$。

技巧是
$$\mathrm{x}\&-\mathrm{x}$$
负数在计算机中存储的是补码，补码就是一个数的二进制按位取反然后加 $1$，$-x$ 在计算机中的存储就是将 $x$ 取反再加 $1$

因此获取 $x$ 最低一位 $1$ 的原理如下：

• 假设 $x$ 的二进制表示为 $(a10\cdots 0{)}_2$，其中 $a$ 表示若干个高位，$1$ 表示最低位的那个 $1$，$0\cdots 0$ 表示后面的若干个 $0$，那么 $-x$ 的二进制表示为

• $$(\overline{a}01\cdots 1{)}_2+(1{)}_2=(\overline{a}10\cdots 0{)}_2$$

  其中 $\overline{a}$ 表示高位的 $a$ 按位取反。

• 最后 $(\overline{a}10\cdots 0{)}_2\&(a10\cdots 0{)}_2=(10\cdots 0{)}_2$，即求出了最低一位 $1$

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树状数组则是这样一种思路：

如果我们要求前 $(11010{)}_2$ 项的和，可以先求前 $(10000{)}_2$ 项的和，再求接下来 $(1000{)}_2$ 项的和，最后求接下来 $(10{)}_2$ 项的和，然后把这三个和相加，就是我们要求的答案了。因为只要枚举每一位 $1$，所以时间复杂度为 $O(\log n)$

根据这个思路，我们给出两个定义：

• 设原数组为 $\mathrm{a}[]$

• $\mathrm{tr}[\mathrm{i}]$ 即为原数组中，以下标 $i$ 结尾的长度为 $\mathrm{lowbit}(\mathrm{i})$ 的后缀子数组的和，即下标 $[i-\mathrm{lowbit}(i)+1,i]$ 的范围。

这样 $\mathrm{tr}[(11010{)}_2]$ 就是原数组中以下标 $(11010{)}_2$ 为结尾的 $(10{)}_2$ 个后缀元素的和，接下来让 $(11010{)}_2-(10{)}_2=(11000{)}_2$，$\mathrm{tr}[(11000{)}_2]$ 就是以下标 $(11000{)}_2$ 为结尾的 $(1000{)}_2$ 个后缀元素的和，以此类推，$(11000{)}_2-(1000{)}_2=(10000{)}_2$，$\mathrm{tr}[(10000{)}_2]$ 就是以下标 $(10000{)}_2$ 为结尾的 $(10000{)}_2$ 个后缀元素的和。显然这三个和是不重不漏的，相加即为前 $(11010{)}_2$ 项和。

如图：

可以看到其实是一个树状结构，箭头表示一种包含关系

查询前缀和的方法上面已经讲过了，下面我们思考如何进行修改。

要修改原数组 $\mathrm{a}$ 中某个元素的值，比如修改 $\mathrm{a}[6]$ ，从图中来看，显然它会影响到 $\mathrm{tr}[6]、\mathrm{tr}[8]、\mathrm{tr}[16]$ 。也就是要更新从叶子结点 6 到根结点的这条路径。

那么，如何从子结点找父结点？

假设父结点 $p=(a10\cdots 0{)}_2$，那么其子节点为了保证包含于它，也就是，大小比 $p$ 小，子数组的长度也比 $p$ 短，则子结点 $i$ 一定是$(a01\cdots 10\cdots 0{)}_2$ 的形式，所以我们只要对子节点 $i$ 加上一个 $\mathrm{lowbit}(\mathrm{i})$ 就可以得到父结点。

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最后我们提一下树状数组的建树方式：

给定我们一个数组，让我们对其进行建树。

一、

最直接也最常用方式就是使用 add 函数

for (int i = 1; i <= n; ++i) add(i, a[i]);

时间复杂度为 $O(n\log n)$

二、

算每条边

如 $\mathrm{tr}[12]=\mathrm{tr}[10]+\mathrm{tr}[11]+\mathrm{a}[12]$

for (int x = 1; x <= n; ++x) {
    for (int i = x - 1; i >= x - lowbit(x) + 1; i -= lowbit(i)) {
         tr[x] += tr[i];
    }
}

时间复杂度为 $O(n)$

三、

直接对原数组求前缀和，然后根据 $\mathrm{tr}$ 数组的定义进行建树

for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    a[i] += a[i - 1];
    tr[i] = a[i] - a[i - lowbit(i)];
}

时间复杂度为 $O(n)$