文章目录
- 3 Screening
- 3.1 为单个不可分割的项目定价
- 3.1.1 对 θ \theta θ的假设
- 3.1.2 问题描述
- 3.1.3 特性
- 3.2 为无限可分的项目定价
- 3.2.1 对 θ \theta θ的假设
- 3.2.3 特性
- 3.2.4 收益最大化
- 3.2.5 最优解决方案
3 Screening
Screening theory：机制设计理论可以被看作是其多智能体的拓展。
概率论：是初始分析，广泛用于促进理论分析。
3.1 为单个不可分割的项目定价
模型
卖方寻求出售一件不可分割的物品。
卖方的目标是使预期收入最大化。
为什么收入最大化此福利最大化更复杂？
卖方被假设为风险中立。
风险中立，风险规避，风险追求？（举例）。
只有一个买家对该物品的价值为
θ
\theta
θ。
u
=
{
θ
−
t
,
买方购买这个物品支付
t
0
,
否则
u = \begin{cases} \theta - t, & 买方购买这个物品支付t \\ 0, & 否则 \end{cases}
u={θ−t,0,买方购买这个物品支付t否则
θ
\theta
θ对买方来说是私有的并且取决于买方的类型。
3.1.1 对 θ \theta θ的假设
θ \theta θ代表的是买方对物品的估价，卖方虽然不能直接获得，但是可以从以往的数据中找到大多数人对这个物品的购买价格(不包括非理性个体)。
- 假设卖方对 θ \theta θ的可能值有一个概率分布。
- 这种分布可以用CDF F和PDF f描述。
- F在一个区间 [ θ ‾ , θ ‾ ] [\underline{\theta}, \overline{\theta}] [θ,θ]内，其中 0 < θ ‾ < θ ‾ 0<\underline{\theta}<\overline{\theta} 0<θ<θ；并且$f(\theta)>0，\forall \theta \in [\underline{\theta}， \overline{\theta}] $
- 在卖方看来， θ \theta θ是一个具有CDF F的随机变量（但实际上它只由买方观察）
3.1.2 问题描述
卖方：找到一个出售物品的程序，使其预期收入最大化(即设计一个博弈和策略，又称机制的规则)。
买方：遵循设计好的机制，在知道 θ \theta θ值的情况下，选择自己的策略，使其预期效用最大化。
第一种猜测：卖方应该选择一种博弈，根据这种博弈，买方只有一种选择，即买方没有得到物品，但必须支付t，其中t可以是一些任意大的数字。(为什么要排除这种机制？)答案是个人理性！
第二种猜测：卖方应该使用"讨价还价"、“抽签”…（复杂）我们能否将注意力限制在一小部分机制上
定义
一个"直接机制"由函数q和t组成，其中
q
:
[
θ
‾
,
θ
‾
]
⟶
[
0
,
1
]
(
可能性
)
t
:
[
θ
‾
,
θ
‾
]
⟶
R
(
真实值
)
q:[\underline{\theta}, \overline{\theta}] \longrightarrow [0,1](可能性) \\ t:[\underline{\theta}, \overline{\theta}] \longrightarrow \mathbb{R}(真实值)
q:[θ,θ]⟶[0,1](可能性)t:[θ,θ]⟶R(真实值)
对直接机制的解释：
- 买方被要求报告 θ \theta θ（实话实说）。
- 买方以 q ( θ ) q(\theta) q(θ)的概率赢得该物品。
- 买方必须向卖方支付 t ( θ ) t(\theta) t(θ)
问题：我们总能找到一个直接的机制吗？
启示原则
命题（启示录原则）
给定一个具有相应平衡/解决方案的机制，存在一个直接机制，其中
- 买方如实报告其价值是一种均衡/解决方案。
- 结果与给定机制产生的结果相同。
很明显，这使我们能够大大简化我们的分析，因为它表明，在不丧失一般性的情况下，我们可以把寻找最优机制的工作限制在直接机制上。
确定 q ( θ ) q(\theta) q(θ)和 t ( θ ) t(\theta) t(θ)，其中如实报告 θ \theta θ对买方是最优的。
考虑到直接机制，买方的预期效用变为
u
(
θ
)
=
θ
q
(
θ
)
−
t
(
θ
)
u(\theta) = \theta q(\theta) - t(\theta)
u(θ)=θq(θ)−t(θ)
3.1.3 特性
定义（激励相容性，IC）
如果对每一个买方类型来说，如实告知都是最优策略，也就是说这个直接机制具备激励相容性：
u
(
θ
)
=
θ
q
(
θ
)
−
t
(
θ
)
≥
θ
q
(
θ
′
)
−
t
(
θ
′
)
,
∀
θ
,
θ
′
∈
[
θ
‾
,
θ
‾
]
u(\theta) = \theta q(\theta)-t(\theta) \ge \theta q(\theta^{'})-t(\theta^{'}), \forall \theta, \theta^{'} \in [\underline{\theta}, \overline{\theta}]
u(θ)=θq(θ)−t(θ)≥θq(θ′)−t(θ′),∀θ,θ′∈[θ,θ]
定义（个人理性，IR）
如果买方以真实的类型自愿参与拍卖，即这个直接机制满足个人理性：
u
(
θ
)
≥
0
,
∀
θ
∈
[
θ
‾
,
θ
‾
]
u(\theta) \ge 0, \forall \theta \in [\underline{\theta}, \overline{\theta}]
u(θ)≥0,∀θ∈[θ,θ]
满足IC的条件
引理
如果一个直接机制是激励相容的，那么分配概率q随着θ的增加而增加。
引理
如果一个直接机制是激励相容的，那么买方的效用函数u是递增和凸的，并且满足：
u
′
(
θ
)
=
∂
u
(
θ
)
∂
θ
=
q
(
θ
)
u^{'}(\theta) = \frac{\partial u (\theta)}{\partial \theta} = q(\theta)
u′(θ)=∂θ∂u(θ)=q(θ)
引理
如果一个直接机制是激励相容的，那么对于所有
θ
∈
[
θ
‾
，
θ
‾
]
\theta \in [\underline{\theta}，\overline{\theta}]
θ∈[θ，θ]有：
u
(
θ
)
=
u
(
θ
‾
)
+
∫
θ
‾
θ
q
(
x
)
d
x
,
t
(
θ
)
=
t
(
θ
‾
)
+
(
θ
q
(
θ
)
−
θ
‾
q
(
θ
‾
)
)
−
∫
θ
‾
θ
q
(
x
)
d
x
.
\begin{array}{l} u(\theta)=u(\underline{\theta})+\int_{\underline{\theta}}^{\theta} q(x) d x, \\ t(\theta)=t(\underline{\theta})+(\theta q(\theta)-\underline{\theta} q(\underline{\theta}))-\int_{\underline{\theta}}^{\theta} q(x) d x . \end{array}
u(θ)=u(θ)+∫θθq(x)dx,t(θ)=t(θ)+(θq(θ)−θq(θ))−∫θθq(x)dx.
命题
一个直接机制(q，t)是激励相容的当且仅当下列条件
- q是 θ \theta θ的增函数。
- 对于任意 θ ∈ [ θ ‾ , θ ‾ ] \theta \in [\underline{\theta}, \overline{\theta}] θ∈[θ,θ]，有
t ( θ ) = t ( θ ‾ ) + ( θ q ( θ ) − θ ‾ q ( θ ‾ ) ) − ∫ θ ‾ θ q ( x ) d x . t(\theta)=t(\underline{\theta})+(\theta q(\theta)-\underline{\theta} q(\underline{\theta}))-\int_{\underline{\theta}}^{\theta} q(x) d x . t(θ)=t(θ)+(θq(θ)−θq(θ))−∫θθq(x)dx.
IR的条件与影响
命题
当且仅当 u ( θ ) ≥ 0 u(\theta) \ge 0 u(θ)≥0时，一个激励兼容的机制是个人理性的。
引理
有了IC和IR，为了使卖家的收入最大化，我们应该设定
t
(
θ
‾
)
=
θ
‾
q
(
θ
‾
)
and
t
(
θ
)
=
θ
q
(
θ
)
−
∫
θ
‾
θ
q
(
x
)
d
x
t(\underline{\theta})=\underline{\theta} q(\underline{\theta}) \quad \text { and } \quad t(\theta)=\theta q(\theta)-\int_{\underline{\theta}}^{\theta} q(x) d x
t(θ)=θq(θ) and t(θ)=θq(θ)−∫θθq(x)dx
3.2 为无限可分的项目定价
模型
卖方试图将一个可无限分割的物品，如糖，卖给一个买方。
卖方的目标是使预期收入最大化（风险中立）。
卖方有一个线性生产成本，即生产数量q的物品的成本为cq，其中c>0是一个常数。
买方购买数量q≥0的物品，支付t的效用为：
u
=
θ
v
(
q
)
−
t
u=\theta v(q)-t
u=θv(q)−t
这里，假设
v
(
0
)
=
0
,
v
′
(
q
)
>
0
,
v
′
′
(
q
)
<
0
,
∀
q
≥
0
v(0)=0, v^{'}(q)>0, v^{''}(q)<0, \forall q \ge 0
v(0)=0,v′(q)>0,v′′(q)<0,∀q≥0，也就是从0开始，增长的速度越来越缓慢，类似于边际效应。
θ v ( q ) \theta v(q) θv(q)表示买方对数量q的物品的支付意愿。
3.2.1 对 θ \theta θ的假设
参数 θ \theta θ反映了买方对该物品的重视程度。
- 假设卖方对 θ \theta θ的可能值有一个概率分布。
- 这种分布可以用CDF F和PDF f描述。
- F在一个区间 [ θ ‾ , θ ‾ ] [\underline{\theta}, \overline{\theta}] [θ,θ]内，其中 0 < θ ‾ < θ ‾ 0<\underline{\theta}<\overline{\theta} 0<θ<θ；并且$f(\theta)>0，\forall \theta \in [\underline{\theta}， \overline{\theta}] $
- 在卖方看来， θ \theta θ是一个具有CDF F的随机变量（但实际上它只由买方观察）
定义
一个"直接机制"由函数q和t组成，其中
q
:
[
θ
‾
,
θ
‾
]
⟶
[
0
,
1
]
(
可能性
)
t
:
[
θ
‾
,
θ
‾
]
⟶
R
(
真实值
)
q:[\underline{\theta}, \overline{\theta}] \longrightarrow [0,1](可能性) \\ t:[\underline{\theta}, \overline{\theta}] \longrightarrow \mathbb{R}(真实值)
q:[θ,θ]⟶[0,1](可能性)t:[θ,θ]⟶R(真实值)
对直接机制的解释：
- 买方被要求报告 θ \theta θ（实话实说）。
- 买方以 q ( θ ) q(\theta) q(θ)的概率赢得该物品。
- 买方必须向卖方支付 t ( θ ) t(\theta) t(θ)
与单一不可分物品的不同是
买方的效用函数现在是 u ( θ ) = θ v ( q ( θ ) ) − t ( θ ) u(\theta)=\theta v(q(\theta))-t(\theta) u(θ)=θv(q(θ))−t(θ)而不是 θ q ( θ ) − t ( θ ) \theta q(\theta)-t(\theta) θq(θ)−t(θ)
3.2.3 特性
一个直接机制(q，t)是激励相容的当且仅当下列条件
- q是 θ \theta θ的增函数。
- 对于任意 θ ∈ [ θ ‾ , θ ‾ ] \theta \in [\underline{\theta}, \overline{\theta}] θ∈[θ,θ]，有
t ( θ ) = t ( θ ‾ ) + ( θ v ( q ( θ ) ) − θ ‾ v ( q ( θ ‾ ) ) ) − ∫ θ ‾ θ v ( q ( x ) ) d x . t(\theta)=t(\underline{\theta})+(\theta v(q(\theta))-\underline{\theta} v(q(\underline{\theta})))-\int_{\underline{\theta}}^{\theta} v(q(x)) d x . t(θ)=t(θ)+(θv(q(θ))−θv(q(θ)))−∫θθv(q(x))dx.
一个激励兼容的机制是个人理性的当且仅当：
u
(
θ
‾
)
=
t
(
θ
‾
)
−
θ
‾
v
(
q
(
θ
‾
)
)
≥
0
u(\underline{\theta}) = t(\underline{\theta})-\underline{\theta} v(q(\underline{\theta})) \ge 0
u(θ)=t(θ)−θv(q(θ))≥0
3.2.4 收益最大化
引理
有了IC和IR，为了使卖家的收入最大化，我们应该设定
t
(
θ
‾
)
=
θ
‾
v
(
q
(
θ
‾
)
)
and
t
(
θ
)
=
θ
v
(
q
(
θ
)
)
−
∫
θ
‾
θ
v
(
q
(
x
)
)
d
x
t(\underline{\theta})=\underline{\theta} v(q(\underline{\theta})) \quad \text { and } \quad t(\theta)=\theta v(q(\theta))-\int_{\underline{\theta}}^{\theta} v(q(x)) d x
t(θ)=θv(q(θ)) and t(θ)=θv(q(θ))−∫θθv(q(x))dx
剩余的问题:如何确定函数q（即资源分配）？
回顾一下，卖方的收入等于从买方收取的价格和其生产成本之间的差额。
取期望值并代入的表达式，我们有
对括号中的表达式进行导数，我们有
v
′
(
q
(
θ
)
)
(
θ
−
1
−
F
(
θ
)
f
(
θ
)
)
−
c
=
0
v^{\prime}(q(\theta))\left(\theta-\frac{1-F(\theta)}{f(\theta)}\right)-c=0
v′(q(θ))(θ−f(θ)1−F(θ))−c=0
即
v
′
(
q
(
θ
)
)
(
θ
−
1
−
F
(
θ
)
f
(
θ
)
)
=
c
v^{\prime}(q(\theta))\left(\theta-\frac{1-F(\theta)}{f(\theta)}\right)=c
v′(q(θ))(θ−f(θ)1−F(θ))=c
如果
θ
−
1
−
F
(
θ
)
f
(
θ
)
≤
0
\theta-\frac{1-F(\theta)}{f(\theta)} \le 0
θ−f(θ)1−F(θ)≤0，那么最优选择是
q
(
θ
)
=
0
q(\theta)=0
q(θ)=0,为什么？
如果 θ − 1 − F ( θ ) f ( θ ) > 0 \theta-\frac{1-F(\theta)}{f(\theta)} \gt 0 θ−f(θ)1−F(θ)>0，但 v ′ ( 0 ) ( θ − 1 − F ( θ ) f ( θ ) ) ≤ c v^{\prime}(0)\left(\theta-\frac{1-F(\theta)}{f(\theta)}\right) \le c v′(0)(θ−f(θ)1−F(θ))≤c，那么最优解 q ( θ ) = 0 q(\theta)=0 q(θ)=0。为什么？
如果 θ − 1 − F ( θ ) f ( θ ) > 0 \theta-\frac{1-F(\theta)}{f(\theta)} \gt 0 θ−f(θ)1−F(θ)>0，但 v ′ ( 0 ) ( θ − 1 − F ( θ ) f ( θ ) ) > c v^{\prime}(0)\left(\theta-\frac{1-F(\theta)}{f(\theta)}\right) \gt c v′(0)(θ−f(θ)1−F(θ))>c，那么最优解 q ( θ ) q(\theta) q(θ)可以通过求解上述方程得到。
剩余的问题: q是否是 θ \theta θ的增函数？
给定以下假设，q一定是 θ \theta θ的增函数
假设
θ − 1 − F ( θ ) f ( θ ) \theta-\frac{1-F(\theta)}{f(\theta)} θ−f(θ)1−F(θ)是 θ \theta θ的增函数
注意
这就是所谓的 increasing hazard rate 条件。
如果一个分布F满足这样的条件，那么它就被称为 regular 的。
3.2.5 最优解决方案
命题
假设F是 regular 的。那么，一个预期利润最大化的q的选择是由以下公式给出
- 如果 v ′ ( 0 ) ( θ − 1 − F ( θ ) f ( θ ) ) ≤ c v^{\prime}(0)\left(\theta-\frac{1-F(\theta)}{f(\theta)}\right) \le c v′(0)(θ−f(θ)1−F(θ))≤c，我们有 q ( θ ) = 0 q(\theta)=0 q(θ)=0；
- 否则，通过求解 v ′ ( q ( θ ) ) ( θ − 1 − F ( θ ) f ( θ ) ) = c v^{\prime}(q(\theta))\left(\theta-\frac{1-F(\theta)}{f(\theta)}\right)=c v′(q(θ))(θ−f(θ)1−F(θ))=c得到最优的 q ( θ ) q(\theta) q(θ)。
利润最大化的t由以下公式给出
t
(
θ
)
=
θ
v
(
q
(
θ
)
)
−
∫
θ
‾
θ
v
(
q
(
x
)
)
d
x
t(\theta)=\theta v(q(\theta))-\int_{\underline{\theta}}^{\theta} v(q(x)) d x
t(θ)=θv(q(θ))−∫θθv(q(x))dx
