一、问题

二、思路

这道题其实很容易看出是一个二维费用背包的变形，如果我们将氧气看作体积，将氮气看作价值的话，这道题就变成了从$i$个物品里面选，体积至少为$m$，价值至少为$n$的条件下，所携带的物品的最小重量。

因此，这道题唯一的变化就在于将原来二维费用背包问题中的至多变成了至少。对于至多两个字，我们是让体积大于等于0，价值大于等于0，但是至少的话，我们则需要将大于等于改成小于等于。

那么我们的状态就可以表示为：$f[i][j][k]$在前i个气缸里面选，氧气总量至少为j，氮气总量至少为k时，所携带的气缸的最小重量。

如果改成小于等于的话，我们的dp数组的下标就会变成负数，这时就会造成数组越界的问题。

那么接下来我们需要考虑一下下标为负数的时候如何处理？

首先对于这道题而言，只要我们选择的所有气缸中氧气和氮气的总和超过了我们的需求就行，至于超过多少我们并不关系，因此，对于超过的部分我们都可以消去认为是0。比如f[i][-1][2]，此时这个-1代表我们选择的气缸中的氧气总量已经满足了要求，并且多余了1个单位的氧气含量，至于多了多少并不重要，因为不管多多少都是符合条件的，因此我们只需要将 f[i][-1][2]写成f[i][0][2]，此时这个状态的含义可以理解为，在前i个物品里选，氧气已经满足条件，氮气还差2个单位时，所携带的气缸的最小重量。所以，当出现负数的时候，我们只需要将负数的下标变成0，再比较。

由于我们求的是最小值，所以我们不能初始化为0，因为0很小，导致其会影响答案，所以我们需要初始化为一个很大的值，但是有一个特殊的状态，$f[0][0][0]$代表从0个气缸里选，氧气需求为0，氮气需求为0的时候，所携带的气缸的最小重量，很明显是0，所以这个状态初始化为0。

三、代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;
int n,m,k;
int o2[N],n2[N],w[N];
int f[N][30][80];
int main()
{
    cin>>m>>n>>k;
    for(int i=1;i<=k;i++)scanf("%d%d%d",o2+i,n2+i,w+i);
    memset(f,0x3f,sizeof f);
    f[0][0][0]=0;
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            for(int p=0;p<=n;p++)
            {
                f[i][j][p]=f[i-1][j][p];
                int m1=min(j,o2[i]),m2=min(p,n2[i]);
                f[i][j][p]=min(f[i-1][j-m1][p-m2]+w[i],f[i][j][p]);
            }
        }
    }
    cout<<f[k][m][n]<<endl;
    return 0;
}