一起自学SLAM算法：7.3 估计理论

news2024/11/16 6:03:57

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不管是用贝叶斯网络还是因子图，一旦SLAM问题用概率图模型得到表示后，接下来就是利用可观测量（ $u_{k}$ 和 $z_{k}$ ）推理不可观测量（ $m_{i}$ 和 $x_{k}$ ），也就是说SLAM问题的求解过程是一个状态估计。在讲解7.4和7.5节具体状态估计方法之前，大家需要先对估计理论[3] p110~138有所了解。

7.3.1 估计量的性质

所谓估计，就是研究某问题时感兴趣的参数 $\theta$ 不能够通过精确测量得知，只能通过一组观测样本值 $Z=\left \{ z_{1},z_{2},...,z_{k} \right \}$ 猜测参数 $\theta$ 的可能取值 $\hat{\theta }$ ，猜测出来的这个 $\hat{\theta }$ 就是估计量。估计量 $\hat{\theta }$ 有时候比较直观，比如研究问题是室内温度，感兴趣的参数 $\theta$ 就是室温，通过温度计可以在室内得到一组测量样本值 $Z=\left \{ z_{1},z_{2},...,z_{k} \right \}$ ，对样本值求平均这样最简单的处理可以得到估计温度 $\hat{\theta }$ 。而有些估计量 $\hat{\theta }$ 就不太直观，比如研究问题是机械零件的精密度，感兴趣的参数 $\theta$ 就是机械零件误差分布，误差分布需要根据经验设定为某个分布函数 $f$ ， $\theta$ 是分布函数 $f$ 的特征量，而观测样本值 $Z=\left \{ z_{1},z_{2},...,z_{k} \right \}$ 是分布函数 $f$ 上的样本点，也就是说观测样本值 $Z=\left \{ z_{1},z_{2},...,z_{k} \right \}$ 需要通过 $f$ 与待估计参数 $\theta$ 建立联系；再比如研究问题是曲线拟合，感兴趣的参数 $\theta$ 是曲线方程 $f$ 的各个系数，还有很多例子就不一一列举了。

那么估计既然是一种猜测行为，可以毫无根据的瞎猜，也可以依据严密的逻辑策略进行科学的猜测。这就涉及到如何评价估计量的好坏程度，借助估计量的性质可以对估计好坏程度进行评价。估计量的性质主要是一致性和偏差性，下面进一步讨论。

1.一致性

由于估计结果依靠观测样本，当样本数量少的时候可能对真实情况描述不够充分，随样本数量逐渐增多，估计量 $\hat{\theta }$ 应该收敛到参数 $\theta$ 的实际取值，也就是说估计值应该与实际值保持一致。一致性可以用式（7-51）和式（7-52）表述，第一种是弱一致收敛，当观测值规模k趋于无穷大时， $\hat{\theta }$ 依概率收敛于 $\theta$ ；第二种是强一致收敛，当观测值规模k趋于无穷大时， $\hat{\theta }$ 严格收敛于 $\theta$ 。这两种一致性的直观表达，如图7-1所示。一致性必须保证，不然估计没有意义。

2. 偏差性

实际情况，观测到的样本数量不可能无穷多，因此一致性只是理论上需要满足的条件。在样本数量有限时，讨论估计值与实际值之间的偏差将更有意义，也就是偏差性。可以用估计量的k阶矩来描述，k阶矩在数学中的定义分为k阶原点矩和k阶中心矩，分别如式（7-53）和式（7-54）所示。

一阶原点矩 $E[\hat{\theta }]$ 就是期望，二阶中心矩 $E[(\hat{\theta}-E[\hat{\theta}])^{2}]$ 就是方差，二阶以上的高阶矩过于复杂一般不讨论。如果估计量 $\hat{\theta }$ 的期望等于参数 $\theta$ 的实际取值，称为无偏估计。无偏估计只是保证估计量在期望上是正确的，估计量本身还是有不确定性，方差描述了估计量的不确定性，方差越小估计不确定性越小，这就是最小方差估计。显然这里最小是一个模糊的概念，在数学上需要给出严谨的设定，这就是克拉美罗下界（CRLB）[3] p125，由于超出了本书的讨论范围，就不展开了。

7.3.2 估计量的构建

经过上面对估计量性质的讨论，好的估计量应该是最小方差无偏估计（Minimum Variance Unbiased Estimation，MVUE），然而这会非常困难，因此需要寻找近似方法，下面就介绍工程中常用的一些估计量构建方法。

1.最大似然估计