一、题目

1、原题链接

4729. 解密

2、题目描述

给定一个正整数 k，有 k次询问，每次给定三个正整数 ni,ei,di，求两个正整数 pi,qi，使 $ni=pi\times qi$，$ei\times di=(pi-1)(qi-1)+1$。
输入格式
第一行一个正整数 k，表示有 k次询问。
接下来 k行，第 i 行三个正整数 ni,di,ei。
输出格式
输出 k
行，每行两个正整数 pi,qi
表示答案。
为使输出统一，你应当 保证 pi≤qi。
如果无解，请输出 NO。
数据范围
以下记 m=n−e×d+2。
保证对于 100% 的数据，1≤k≤10⁵，对于任意的 1≤i≤k，1≤ni≤10¹⁸，1≤ei×di≤10¹⁸，1≤m≤10⁹。

输入样例：

10
770 77 5
633 1 211
545 1 499
683 3 227
858 3 257
723 37 13
572 26 11
867 17 17
829 3 263
528 4 109

输出样例：

2 385
NO
NO
NO
11 78
3 241
2 286
NO
NO
6 88

二、解题报告

思路来源：AcWing 4729. 解密（寒假每日一题2023）
y总yyds

1、思路分析

1)通过题目 $ni=pi\times qi$ ，$ei\times di=(pi-1)(qi-1)+1$，两个公式化简可以推出$pi+qi=n-ei\ast di+2$，而题目给出了$m=n-e\times d+2$。所以我们可以有 $m=pi+qi$，通过高亮表示的两式不难联想到韦达定理及其逆定理，我们可以根据上述两式来构造一个一元二次方程，二元方程的解就是对应的pi和qi。
2）模拟上述过程，输出相应结果，即为所求。

2、时间复杂度

时间复杂度为O(n)

3、代码详解

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=100010;
LL n[N],e[N],d[N],p,q;
int main()
{   int k;
    cin>>k;
    for(int i=0;i<k;i++){
    	cin>>n[i]>>e[i]>>d[i];
	}
	for(int i=0;i<k;i++){
		LL m=n[i]-e[i]*d[i]+2;
		LL d=m*m-4*n[i];
		LL gd=sqrt(d); 
		//判别式大于等于0才有解 
		if(d>=0){
		   //判断解是否为整数
		   /*首先，根号△得为整数，其次最终结果得为整数，
		     分子为偶数才能确保最终结果为整数，此处注意
			 运算符的优先级!高于算术运算符。根据两个分
			 子奇偶性相同，也可简化代码*/ 
		   if(gd*gd==d&&!((m-gd)%2)&&!((m+gd)%2))
			 cout<<(m-gd)/2<<" "<<(m+gd)/2<<endl;
		   else{
		   	  cout<<"NO"<<endl; 
		   }
		} 
		else{
			cout<<"NO"<<endl; 
		}
	}
    return 0;
}

三、知识风暴

韦达定理及其逆定理

韦达定理：
针对一个一元二次方程 a²x+bx+c=0，a不为0，且a,b,c均为实数，且存在根，则有 x1+x2=-b/a, x1*x2=c/a。
逆定理：
如果存在 x1+x2=-b/a, x1*x2=c/a，可据此构造一个一元二次方程使得该方程的解为 x1,x2。