介绍

几个世纪以来，对数被用来简化计算。在电子计算器广泛普及之前，计算尺、基于对数的机械计算器是工程师职业的标志。

对数函数连同指数函数（指数函数是对数函数的倒数）允许将乘法转换为加法，更重要的是，可以将求幂转换为乘法。由于以下两个规则，这是可能的：

在对这些方程的左右部分取幂后，我们有：

请注意，这些公式适用于除那个以外的任意正基b，因此我们可以选择便于实现的基。

在本文中，我们将展示如何在 Solidity 中有效地实现以 2 为底的对数和指数函数，如何将这些以 2 为底的函数转换为相应的自然（以e为底）函数，以及这些函数在 DeFi 应用程序中的实际用例是什么.

所以本文的重点是指数和对数。

对数

让我们从二进制（以 2 为底）对数开始。x的二进制对数是满足以下条件的值y：

显然，x的值必须为正才能使y存在。

请注意，如果

然后

所以n是x的二进制对数的整数部分。因此，我们的第一个问题是：

Solidity中如何计算二进制对数的整数部分？

剧透：向右移动并计数。

这是适用于正整数x的简单方法：

for (n = 0; x > 1; x >>= 1) n += 1;

虽然清晰简单，但这种方法非常昂贵，因为它的气体消耗为 O(n)。这是适用于 256 位正整数x的改进版本：

if (x >= 2**128) { x >>= 128; n += 128; }
if (x >= 2**64) { x >>= 64; n += 64; }
if (x >= 2**32) { x >>= 32; n += 32; }
if (x >= 2**16) { x >>= 16; n += 16; }
if (x >= 2**8) { x >>= 8; n += 8; }
if (x >= 2**4) { x >>= 4; n += 4; }
if (x >= 2**2) { x >>= 2; n += 2; }
if (x >= 2**1) { /* x >>= 1; */ n += 1; }

这种改进的实现在最坏的情况下消耗了大约 600 gas：比原始的、未优化的少 25 倍。

到目前为止还不错，但是

如果 X 是小数怎么办？

剧透：只需添加指数。

Solidity 语言的核心中没有小数，但是有几种方法可以模拟这些数字。让我们考虑其中两种方式：二进制定点和二进制浮点。两种方式都表示小数x，如下所示：

其中m和e是整数。值m称为尾数，e称为指数。二进制定点数和浮点数的区别在于，对于定点数，指数是预定义的常量，通常为负数，因此只需要存储尾数；而对于浮点数，指数是可变的，因此必须与尾数一起存储。

现在让我们注意，

因此，二进制定点数或浮点数的二进制对数可以计算为尾数加上指数的二进制对数。只要指数是整数，同样的公式也适用于对数的整数部分。

现在，当我们知道如何为整数部分提供资金时，

二进制对数的小数部分呢？

扰流板：正方形和一半。

设n是x的二进制对数的整数部分，那么对数的小数部分可以这样计算：

注意，只要

然后

因此，计算二进制对数的小数部分可以推导为计算 1（含）和 2（不含）之间数字的二进制对数。为了进行此计算，我们将使用以下两个规则：

这是编写的代码，好像 Solidity 本身就支持小数：

for (delta = 1; delta >= precision; delta /= 2) {
  if (x >= 2) { result += delta; x /= 2; }
  x *= x;
}

在每次迭代中，我们应用以前的规则：将的值平方并将的值x减半delta。如果在某个时刻的值x变得大于或等于 2，那么我们将应用后一个规则：将的值加起来delta并result减半x。我们重复循环直到delta下降到期望值以下precision，因为继续计算不会对result.

不幸的是，Solidity 本身不支持分数，所以真正的代码看起来像这样：

for (delta = ONE;
     gte (delta, precision);
     delta = div (delta, TWO)) {
  if (gte (x, TWO)) {
    result = add (resukt, delta);
    x = div (x, TWO);
  }
  x = mul (x, x);
}

其中ONE, TWO, add, mul, div, 和gte是常数和函数，模拟某种小数和对它们的算术以实现 Solidity。

幸运的是，ABDK 库已准备好对 64.64 位二进制定点四精度二进制浮点数使用二进制对数实现。

现在，当我们知道如何计算二进制对数时，