62. 不同路径

题意

• 一道数学题，排列组合/小学奥赛题。
• 动态规划不是一般来解决最值问题的吗，这道题为什么会想到dp？

解法1 排列组合

从左上角到右下角，一共要走m+n-2步，其中向右n-1步，向下m-1步，因此路径的总数，相当于从m+n-2中选择m-1个向下的步数，即排列组合。

• 但是，需要注意的是，题目只保证最后结果在int型范围内，而实际上如果按下面的代码运行，即便中间运算已经用long long存储，还是会溢出，所以需要一边乘一边除（即便是一边乘一边除，中间过程也必须用long long，否则中间计算会超出int型可表示范围）。

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        long long ans=1;
        for(int i=n;i<=m+n-2;i++)
            ans=ans*i; 	//会溢出
        for(int i=1;i<m;i++)
            ans/=i;
        return ans;
    }
};

// ac代码
class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        long long ans=1;
        for(int i=n,j=1;i<=m+n-2;i++,j++)
            ans=ans*i/j;
        return ans;
    }
};

解法2 动态规划

• dp[i][j]表示走到 (i,j) 这个位置有几种走法。
• dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]。
• 注意dp[0][0]和边界情况（i-1和j-1）处理（也可以将dp[0,:]和dp[:,0]全置1）。

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int> > dp(m,vector<int>(n,0));
        dp[0][0]=1;
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            for(int j=0;j<n;j++)
            {
                if(dp[i][j]==0) 	//为了维护dp[0][0]
                {
                    int left=j==0?0:dp[i][j-1];
                    int top=i==0?0:dp[i-1][j];
                    dp[i][j]=left+top;
                }
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
};

Attention

• 二维数组的定义

vector<vector<int>> asd1(row, vector<int>(column, 0)); //初始化row*column二维动态数组，初始化值为0

• 动态规划解法中，其实只需要保存dp[i-1][j]和dp[i][j-1]两个数，还有空间优化的余地。
• 排列组合基础
  
  

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