拉盖尔多项式简介

拉盖尔多项式是拉盖尔方程的标准解，但其更著名的应用是薛定谔方程在解氢原子的时候，其径向函数最后要乘上一个$L_{n-l-1}^{2l+1}(\frac{2r}{n{a}_{\mu }})$，此即拉盖尔多项式，其中$n,l$什么的是量子数。

Numpy中提供了拉盖尔多项式的类Laguerre，其构造函数为

Laguerre(coef, domain=None, window=None, symbol='x')

其中coef为多项式的系数，例如$4+3x+2x^2+x^3$可写为

from numpy.polynomial import laguerre
L3 = laguerre.Laguerre(coef=[4,3,2,1])
print(L3)
# 4.0 + 3.0 L_1(x) + 2.0 L_2(x) + 1.0 L_3(x)

domian为$x$的定义域，window为定义域的放缩因子；symbol为多项式的自变量符号，默认为x。

微分与积分

Laguerre支持简单的符号计算，比如可通过deriv(n)求多项式的n阶导数；通过integ(n)可求n阶积分。

>>> L3.deriv(1)    # 系数变为 -6,-3,-1
Laguerre([-6., -3., -1.], domain=[0., 1.], window=[0., 1.])
>>> L3.deriv(3)    # 3阶导数，系数变为为-1
Laguerre([-1.], domain=[0., 1.], window=[0., 1.])
>>> L3.integ(2)    # 2阶积分，系数变为4, -5, 0, 0, 0, 1
Laguerre([ 4., -5.,  0.,  0.,  0.,  1.], domain=[0., 1.], window=[0., 1.])

求根和反演

roots可用于求根，而fromroot可根据根来生成多项式

>>> rs = L3.roots()
>>> print(rs)
[1.51738708 4.31158313 9.17102979]
>>> pNew = L3.fromroots(rs)
>>> print(pNew)
-24.00000000000003 - 18.00000000000001 L_1(x) -
11.999999999999998 L_2(x) - 6.0 L_3(x)

可见，对于拉盖尔多项式而言，求根和反演并不完全互为逆过程。

采样和拟合

通过linspace可以在定义域范围内对多项式进行采样，

import matplotlib.pyplot as plt
xs, ys = L3.linspace()
plt.plot(xs, ys)
plt.show()

效果为

linspace有一个参数n，表示在定义域范围内等间隔生成n组$x,y$，默认为100。

Laguerre类中最强大的函数非fit，其功能是基于最小二乘法的拉盖尔多项式拟合，构造函数为

Polynomial.fit(x, y, deg, domain=None, rcond=None, full=False, w=None, window=None, symbol='x')

其中domain, window, symbol不必赘述，其中x,y为待拟合多项式；deg为多项式的阶数。rcond表示截止误差。full为False时，只返回拟合系数，否则还返回拟合的标准差等。

>>> L3.fit(xs, ys, 3)
Laguerre([4., 3., 2., 1.], domain=[0., 1.], window=[0., 1.])
>>> p3.fit(xs, ys, 4)
Laguerre([ 4.00000000e+00,  3.00000000e+00,  2.00000000e+00,  1.00000000e+00,
       -4.19501684e-12], domain=[0., 1.], window=[0., 1.])