数据结构 | 二叉树（基本概念、性质、遍历、C代码实现）

news2024/11/24 7:06:26

1.树的基本概念

树是一种 非线性 的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。
把它叫做树是因 为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点 除根结点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，
其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
因此， 树是递归定义 的。
结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度；
叶结点：度为0的结点称为叶结点；
分支结点：度不为0的结点； 
父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；
子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；
树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度； 
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中结点的最大层次； 

2.二叉树的基本概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:
1. 或者为空
2. 由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
注意：二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

2.1特殊的二叉树

满二叉树

一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。

完全二叉树

特征：前n-1层都是满的，最后一层可以不满，但最后一层从左到右必须是连续的。
ps: 满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

3.二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点.
2. 若规定根结点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有 n0＝n2 ＋1
4. 若规定根结点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log2(n+1)
5. 对于完全二叉树:
双亲序号：(i-1)/2  (i为子节点序号）
左孩子序号：2i+1  （i为双亲结点序号）
右孩子序号：2i+2 （i为双亲结点序号）
练习：一个具有767个结点的完全二叉树，其叶子结点个数为（）
A 383
B 384
C 385
D 386
答案：B
详解：设有度为2节点n2个， 度为1节点n1个，度为0节点n0个,
767=n2+n1+n0
n2=n0-1
由上面两式可得：
767=n1+2n0-1
768=n1+2n0
由于2n0必为偶数，768为偶数，可得：n1为偶数
且完全二叉树中n1只能是1或0
因此n1=0
768=2n0
n0=384

4 .二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。
1. 顺序存储
顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空 间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
2.链式存储
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是
链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所
在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链。本文主要针对二叉链。

5.二叉树的遍历

5.1 前序、中序以及后序遍历

1. 前序遍历——根节点 左子树 右子树
2. 中序遍历——左子树  根节点 右子树
3. 后序遍历——左子树 右子树  根节点

5.2 层序遍历

层序遍历：一层一层地往下遍历

6.二叉树代码实现

思路

前序/中序/后序遍历

递归思想：将当前的大问题拆解成小问题

以前序遍历为例：

当前问题——打印根，打印左子树，打印右子树

子问题——如图

递归返回条件——root==NULL

前序遍历代码

//前序遍历 根节点 左节点 右节点
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root) {
	if (root == NULL) {
		printf("N ");
		return;
	}

	printf("%d ", root->data);
	BinaryTreePrevOrder(root->left);
	BinaryTreePrevOrder(root->right);
}

中序遍历代码

void BinaryTreeInOrder(BTNode* root) {
	if (root == NULL) {
		printf("N ");
		return;
	}
	BinaryTreeInOrder(root->left);
	printf("%d ", root->data);
	BinaryTreeInOrder(root->right);
}

后序遍历代码

void BinaryTreePostOrder(BTNode* root) {
	if (root == NULL) {
		printf("N ");
		return;
	}
	BinaryTreePostOrder(root->left);
	BinaryTreePostOrder(root->right);
	printf("%d ", root->data);
}

节点个数/叶子节点个数/树高/第k层叶子数

1.节点个数

递归思想：

情况1：空，0个

情况2：不为空，左子树+右子树+1

2.叶子节点个数

情况1：空，返回0

情况2：只有一个结点，返回1

情况3：左子树+右子树

3.树的高度

情况1：空，返回0

情况2：左子树和右子树高度中大的值+1

4.第k层叶子数

情况1：空，返回0

情况2：非空，k==1，返回1

情况3：非空,k>1,左子树第k-1层+右子树第k-1层

int BinaryTreeSize(BTNode* root) {
	if (root == NULL) {
		return 0;
	}
	if (root->left == NULL && root->right == NULL) {
		return 1;
	}
	return BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right)+1;

}


int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root) {
	if (root == NULL) {
		return 0;
	}
	if (root->left == NULL && root->right == NULL) {
		return 1;
	}
	return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}


int TreeHeight(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return 0;

	int leftHeight = TreeHeight(root->left);
	int rightHeight = TreeHeight(root->right);

	return leftHeight > rightHeight ?
		leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}

int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k) {
	if (root == NULL) {
		return 0;
	}
	if (k==1) {
		return 1;
	}
	return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}

查找值为x的节点

递归思想

情况1：空，返回NULL

情况2：不为空，根值为x，返回根节点

情况3：不为空，根值不为x，查找左子树，有则返回

             左子树中无，查找右子树，有则返回

             右子树中也无，返回空

BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x) {
	BTNode* ret = NULL;
	if (root == NULL) {
		return NULL;
	}
	if (root->data == x) {
		ret = root;
		return ret;
	}
	if (BinaryTreeFind(root->left, x) != NULL) {
		ret = BinaryTreeFind(root->left, x);
	}
	if (BinaryTreeFind(root->right, x) != NULL) {
		ret = BinaryTreeFind(root->right, x);
	}
}

层序遍历/完全二叉树

层序遍历

1.根进队列

2.节点出队列时，该节点的子节点（非空）进队列

3.当队列为空时，循环结束

完全二叉树

1.进行层序遍历，空也进队列

2.遇到第一个空节点，开始判断，后面全空就是完全二叉树，后面有非空就不是完全二叉树

void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root) {
	if (!root) {
		return;
	}
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	QueuePush(&q, root);
	
	while (QueueSize(&q) > 0) {
		BTNode* head = QueueFront(&q);
		if (head->left) {
			QueuePush(&q, head->left);
		}
		if (head->right) {
			QueuePush(&q, head->right);
		}
		printf("%d", head->data);
		QueuePop(&q);
	}
	QueueDestroy(&q);
}


bool BinaryTreeComplete(BTNode* root) {
	if (!root) {
		return;
	}
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	QueuePush(&q, root);

	while (QueueSize(&q) > 0) {
		BTNode* head = QueueFront(&q);
		if (head == NULL) {
			break;
		}
			QueuePush(&q, head->left);
			QueuePush(&q, head->right);
		QueuePop(&q);
	}
	while(!QueueEmpty(&q)){
		BTNode* head = QueueFront(&q);
		if (head) {
			QueueDestroy(&q);
			return false;
		}
		QueuePop(&q);
	}
	QueueDestroy(&q);
	return true;
}

代码汇总

binarytree.h

#pragma once
#include <stdio.h>
#include <assert.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>
typedef int BTDataType;

typedef struct BinaryTreeNode
{
	BTDataType data;
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;

// 通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate();
// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode* root);
// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root);
// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root);
// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k);
// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x);
// 二叉树前序遍历 
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root);
// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root);
// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root);
// 层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root);
// 判断二叉树是否是完全二叉树
bool BinaryTreeComplete(BTNode* root);

binarytree.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include "binarytree.h"
#include "queue.h"


BTNode* BuyNode(BTDataType x) {
	BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (newnode == NULL) {
		perror("malloc fail!");
	}
	newnode->left = NULL;
	newnode->right = NULL;
	newnode->data = x;
	return newnode;
}

BTNode* BinaryTreeCreate() {
	BTNode* Node1 = BuyNode(1);
	BTNode* Node2 = BuyNode(2);
	BTNode* Node3 = BuyNode(3);
	BTNode* Node4 = BuyNode(4);
	BTNode* Node5 = BuyNode(5);
	BTNode* Node6 = BuyNode(6);
	BTNode* Node7 = BuyNode(7);
	
	Node1->left = Node2;
	Node1->right = Node3;
	Node2->left = Node4;
	Node2->right = Node5;
	Node3->left = Node6;
	//Node6->left = Node7;

	return Node1;//返回根节点
}
//前序遍历 根节点 左节点 右节点
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root) {
	if (root == NULL) {
		printf("N ");
		return;
	}

	printf("%d ", root->data);
	BinaryTreePrevOrder(root->left);
	BinaryTreePrevOrder(root->right);
}

void BinaryTreeInOrder(BTNode* root) {
	if (root == NULL) {
		printf("N ");
		return;
	}
	BinaryTreeInOrder(root->left);
	printf("%d ", root->data);
	BinaryTreeInOrder(root->right);
}

void BinaryTreePostOrder(BTNode* root) {
	if (root == NULL) {
		printf("N ");
		return;
	}
	BinaryTreePostOrder(root->left);
	BinaryTreePostOrder(root->right);
	printf("%d ", root->data);
}





int BinaryTreeSize(BTNode* root) {
	if (root == NULL) {
		return 0;
	}
	if (root->left == NULL && root->right == NULL) {
		return 1;
	}
	return BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right)+1;

}


int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root) {
	if (root == NULL) {
		return 0;
	}
	if (root->left == NULL && root->right == NULL) {
		return 1;
	}
	return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}


int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k) {
	if (root == NULL) {
		return 0;
	}
	if (k==1) {
		return 1;
	}
	return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}

int TreeHeight(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return 0;

	int leftHeight = TreeHeight(root->left);
	int rightHeight = TreeHeight(root->right);

	return leftHeight > rightHeight ?
		leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}

BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x) {
	BTNode* ret = NULL;
	if (root == NULL) {
		return NULL;
	}
	if (root->data == x) {
		ret = root;
		return ret;
	}
	if (BinaryTreeFind(root->left, x) != NULL) {
		ret = BinaryTreeFind(root->left, x);
	}
	if (BinaryTreeFind(root->right, x) != NULL) {
		ret = BinaryTreeFind(root->right, x);
	}
}


void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root) {
	if (!root) {
		return;
	}
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	QueuePush(&q, root);
	
	while (QueueSize(&q) > 0) {
		BTNode* head = QueueFront(&q);
		if (head->left) {
			QueuePush(&q, head->left);
		}
		if (head->right) {
			QueuePush(&q, head->right);
		}
		printf("%d", head->data);
		QueuePop(&q);
	}
	QueueDestroy(&q);
}


bool BinaryTreeComplete(BTNode* root) {
	if (!root) {
		return;
	}
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	QueuePush(&q, root);

	while (QueueSize(&q) > 0) {
		BTNode* head = QueueFront(&q);
		if (head == NULL) {
			break;
		}
			QueuePush(&q, head->left);
			QueuePush(&q, head->right);
		QueuePop(&q);
	}
	while(!QueueEmpty(&q)){
		BTNode* head = QueueFront(&q);
		if (head) {
			QueueDestroy(&q);
			return false;
		}
		QueuePop(&q);
	}
	QueueDestroy(&q);
	return true;
}

void BinaryTreeDestory(BTNode* root) {
	if (root==NULL) {
		return;
	}

	BinaryTreeDestory(root->left);
	BinaryTreeDestory(root->right);
	free(root);
}

在实现层序遍历时，会使用到队列。但由于C语言中没有现成的数据结构队列可以直接使用，需要自己实现。

queue.h

#pragma once
#include <stdio.h>
#include <assert.h>
#include <stdlib.h>
typedef struct BinaryTreeNode* QDataType;

typedef struct QListNode{
	struct QListNode* next;
	QDataType data;
}QNode;

// 队列的结构 
typedef struct Queue
{
	QNode* phead;
	QNode* ptail;
	int size;
}Queue;

// 初始化队列 
void QueueInit(Queue* q);
// 队尾入队列 
void QueuePush(Queue* q, QDataType data);
// 队头出队列 
void QueuePop(Queue* q);
// 获取队列头部元素 
QDataType QueueFront(Queue* q);
// 获取队列队尾元素 
QDataType QueueBack(Queue* q);
// 获取队列中有效元素个数 
int QueueSize(Queue* q);
// 检测队列是否为空，如果为空返回非零结果，如果非空返回0 
int QueueEmpty(Queue* q);
// 销毁队列 
void QueueDestroy(Queue* q);

queue.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include "queue.h"
// 初始化队列 
void QueueInit(Queue* q) {
	assert(q);
	q->phead = q->ptail = NULL;
	q->size = 0;
}
// 队尾入队列 
void QueuePush(Queue* q, QDataType data) {
	assert(q);
	QNode* newnode = (QNode*)malloc(sizeof(QNode));
	if (newnode == NULL) {
		perror("malloc fail!");
		exit(1);
	}
	else {
		newnode->data = data;
		newnode->next = NULL;
		if (q->ptail == NULL) {
			q->phead = q->ptail = newnode;
			q->size++;
		}
		else {
			q->ptail->next =newnode;
			q->ptail = newnode;
			q->size++;
		}
	}
}
// 队头出队列 
void QueuePop(Queue* q) {
	assert(q);
	assert(q->size != 0);
	if (q->phead->next == NULL) {
		free(q->ptail);
		q->ptail = q->phead = NULL;
		q->size--;
	}
	else {
		QNode* next = q->phead->next;
		free(q->phead);
		q->phead = next;
		q->size--;
	}
}
// 获取队列头部元素 
QDataType QueueFront(Queue* q) {
	assert(q);
	assert(q->size > 0);
	return q->phead->data;
}
// 获取队列队尾元素 
QDataType QueueBack(Queue* q) {
	assert(q);
	assert(q->size > 0);
	return q->ptail->data;
}
// 获取队列中有效元素个数 
int QueueSize(Queue* q) {
	assert(q);
	return q->size;
}
// 检测队列是否为空，如果为空返回非零结果，如果非空返回0 
int QueueEmpty(Queue* q) {
	assert(q);
	return !QueueSize(q);
}
// 销毁队列 
void QueueDestroy(Queue* q) {
	assert(q);
	while (q->size) {
		QueuePop(q);
	}
	q->phead = NULL;
	q->ptail = NULL;
}

7.堆及堆排序及TopK问题

详见我的另一篇文章~（TopK问题待更）

数据结构 | 详解二叉树——堆与堆排序

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在线医生咨询受到很多人的关注&#xff0c;互联网医疗行业的未来发展空间巨大&#xff0c;但随着医院信息化建设高速发展 医院积累了大量的患者基本信息、化验结果、电子处方、生产数据和运营信息等数据 这些数据涉及公民隐私、医院运作和发展等多因素&#xff0c;医疗行业办…
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客户关系管理系统

客户关系管理系统

CRM系统是协调企业与顾客间在销售、营销和服务关系&#xff0c;提升企业管理水平&#xff0c;向客户提供创新、个性化服务的过程。 最终目标是吸引新客户、保留老客户以及将已有客户转为忠实客户&#xff0c;增加市场份额。 CRM系统开发团队应该深谙“客户关系”的内涵&#xf…
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17-java网络编程

17-java网络编程

目录 第17章 网络编程 17.1 软件结构 17.2 网络通信三要素 17.2.1 IP地址和域名 1、IP地址 2、域名 17.2.2 端口号 17.2.3 网络通信协议 17.3 TCP与UDP协议 17.3.1 UDP协议 17.3.2 TCP协议 1、三次握手 2、四次挥手 17.4 网络编程API 17.4.1 InetAddress类 17.4…
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dubbo复习：（19）dubbo 和spring整合（老古董）

dubbo复习：（19）dubbo 和spring整合（老古董）

一、服务端依赖 <?xml version"1.0" encoding"UTF-8"?> <project xmlns"http://maven.apache.org/POM/4.0.0"xmlns:xsi"http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance"xsi:schemaLocation"http://maven.apache.org/POM…
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