本文涉及知识点
动态规划汇总
组合数学汇总
【组合数学 隔板法 容斥原理】放球问题
本题同解
【动态规划】【前缀和】【分组】2338. 统计理想数组的数目
LeetCode2338. 统计理想数组的数目
给你两个整数 n 和 maxValue ，用于描述一个 理想数组 。
对于下标从 0 开始、长度为 n 的整数数组 arr ，如果满足以下条件，则认为该数组是一个 理想数组 ：
每个 arr[i] 都是从 1 到 maxValue 范围内的一个值，其中 0 <= i < n 。
每个 arr[i] 都可以被 arr[i - 1] 整除，其中 0 < i < n 。
返回长度为 n 的 不同 理想数组的数目。由于答案可能很大，返回对 109 + 7 取余的结果。
示例 1：
输入：n = 2, maxValue = 5
输出：10
解释：存在以下理想数组：
- 以 1 开头的数组（5 个）：[1,1]、[1,2]、[1,3]、[1,4]、[1,5]
- 以 2 开头的数组（2 个）：[2,2]、[2,4]
- 以 3 开头的数组（1 个）：[3,3]
- 以 4 开头的数组（1 个）：[4,4]
- 以 5 开头的数组（1 个）：[5,5]
共计 5 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10 个不同理想数组。
示例 2：
输入：n = 5, maxValue = 3
输出：11
解释：存在以下理想数组：
- 以 1 开头的数组（9 个）：
- 不含其他不同值（1 个）：[1,1,1,1,1]
- 含一个不同值 2（4 个）：[1,1,1,1,2], [1,1,1,2,2], [1,1,2,2,2], [1,2,2,2,2]
- 含一个不同值 3（4 个）：[1,1,1,1,3], [1,1,1,3,3], [1,1,3,3,3], [1,3,3,3,3]
- 以 2 开头的数组（1 个）：[2,2,2,2,2]
- 以 3 开头的数组（1 个）：[3,3,3,3,3]
共计 9 + 1 + 1 = 11 个不同理想数组。
提示：
2 <= n <= 104
1 <= maxValue <= 104
动态规划+放球问题
分两步：
一，利用动态规划计算理想数组忽略重复元素（令此数组为arr）的的数目。比如：[1,1,2]和[1,2,2]相同。
二，第一步的方案对应多少种理想数组。如：[1,2] 对应[1,1,2]和[1,2,2]。显然n和非重复元素的数量确定时，对应的方案数是确定的。就是放球问题：球同，盒子不同，不能为空。
动态规划的状态表示
dp[len][max] 长度为len，最后的值为max的不重复数组arr数量。
动态规划的转移方程
通过前置条件更新后置条件。
next 是iMax的倍数，且大于iMax。
枚举已知条件，iMax len
dp[len+1][next] += dp[len][iMax]
动态规划的初始值
全部为1。
动态规划的填表顺序
iMax（1：maxLen)和len(2:14) arr[i+1] > arr[i] 且是倍数关系。至少是2倍。极端情况是:[1,2,4$\cdots$213] 共14个元素。
代码
核心代码
template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:
C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
{
}
C1097Int operator+(const C1097Int& o)const
{
return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
}
C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
{
m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
C1097Int operator-(const C1097Int& o)
{
return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
}
C1097Int operator*(const C1097Int& o)const
{
return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
}
C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
C1097Int operator/(const C1097Int& o)const
{
return *this * o.PowNegative1();
}
C1097Int& operator/=(const C1097Int& o)
{
*this /= o.PowNegative1();
return *this;
}
bool operator==(const C1097Int& o)const
{
return m_iData == o.m_iData;
}
bool operator<(const C1097Int& o)const
{
return m_iData < o.m_iData;
}
C1097Int pow(long long n)const
{
C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
while (n)
{
if (n & 1)
{
iRet *= iCur;
}
iCur *= iCur;
n >>= 1;
}
return iRet;
}
C1097Int PowNegative1()const
{
return pow(MOD - 2);
}
int ToInt()const
{
return m_iData;
}
private:
int m_iData = 0;;
};
template<int MOD = 1000000007>
C1097Int<MOD> Pow(const C1097Int<MOD>& bi1, long long ii2) {
return bi1.pow(ii2);
}
template<class T >
class CFactorial
{
public:
CFactorial(int n):m_res(n+1){
m_res[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
m_res[i] = m_res[i - 1] * i;
}
}
T Com(int iSel, int iCanSel)const {
return m_res[iCanSel] / m_res[iSel]/ m_res[iCanSel - iSel];
}
T Com(const vector<int>& cnt)const {
T biRet = 1;
int iCanSel = std::accumulate(cnt.begin(), cnt.end(), 0);
for (int j = 0; j < cnt.size(); j++) {
biRet *= Com(cnt[j], iCanSel);
iCanSel -= cnt[j];
}
return biRet;
}
vector<T> m_res;
};
template<class T>
class CBallBox
{
public:
CBallBox(CFactorial<T>& fac,int n,int m):m_fac(fac),m_iN(n),m_iM(m){
}
T NotNotNot() {//球不同盒子不同不能为空
return g(m_iM);
}
T NotIsNot() {//球不同盒子同不能为空
return NotNotNot()/ m_fac.m_res[m_iM];
}
T IsNotIs() {//球同盒子不同能为空
return m_fac.Com(m_iM - 1, m_iN + m_iM - 1);
}
T IsNotNot(){//球同盒子不同不能为空
if (m_iN < m_iM) { return 0; }
return m_fac.Com(m_iM - 1, m_iN - 1);
}
const int m_iM, m_iN;
protected:
T g(int m)const {
T biRet;
for (int i = 0; i <= m; i++) {
auto cur = m_fac.Com(i, m) * Pow(T(m - i), m_iN);
if (1 & i) {
biRet -= cur;
}
else {
biRet += cur;
}
}
return biRet;
}
CFactorial<T>& m_fac;
};
class Solution {
public:
int idealArrays(int n, int maxValue) {
static auto vCnt = Init();
C1097Int<> biRet = 0;
static CFactorial<C1097Int<>> fac(10'000 + 20);
for (int len = 1; len <= 14; len++) {
CBallBox<C1097Int<>> ballBox(fac,n,len);
auto cur = ballBox.IsNotNot()*vCnt[len][maxValue];
biRet += cur;
}
return biRet.ToInt();
}
vector < vector<C1097Int<>>> Init()
{
const int iMaxMax = 10'000;
vector < vector<C1097Int<>>> dp(14+1, vector < C1097Int<>>(iMaxMax + 1));
for (int iMax = 1; iMax <= iMaxMax; iMax++) {
dp[1][iMax] = 1;
}
for (int len = 1; len < 14; len++) {
for (int iMax = 1; iMax <= iMaxMax; iMax++) {
for (auto next = iMax * 2; next <= iMaxMax; next += iMax) {
dp[len + 1][next] += dp[len][iMax];
}
}
}
vector < vector<C1097Int<>>> dp2 = dp;
for (int iMax = 2; iMax <= iMaxMax; iMax++) {
for (int len = 1; len <= 14; len++) {
dp2[len][iMax] += dp2[len][iMax - 1];
}
}
return dp2;
}
};
测试用例
template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
assert(t1 == t2);
}
template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
if (v1.size() != v2.size())
{
assert(false);
return;
}
for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
{
Assert(v1[i], v2[i]);
}
}
int main()
{
int n, maxValue;
{
Solution sln;
n = 2, maxValue = 5;
auto res = sln.idealArrays(n, maxValue);
Assert(res, 10);
}
{
Solution sln;
n = 5, maxValue = 3;
auto res = sln.idealArrays(n, maxValue);
Assert(res, 11);
}
{
Solution sln;
n = 1000, maxValue = 1000;
auto res = sln.idealArrays(n, maxValue);
Assert(res, 91997497);
}
{
Solution sln;
n = 10000, maxValue = 10000;
auto res = sln.idealArrays(n, maxValue);
Assert(res, 22940607);
}
}
扩展阅读
视频课程
有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771
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相关下载
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| 如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛 |
测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。
