计算机图形学入门03：基本变换

变换(Transformation)可分为模型(Model)变换和视图(Viewing)变换。在3D虚拟场景中相机的移动和旋转，角色人物动画都需要变换，用来描述物体运动。将三维世界投影变换到2D屏幕上成像出来，也需要变换。

1.二维变换

1.1缩放变换

如上图所示，把一个图形缩小为原来的0.5倍，那么就需要x坐标变为0.5倍，y坐标也变为0.5倍，这样的变换叫做缩放(Scale)变换。可以用以下表达式表示：

可以用矩阵的形式表示如下：

上面的矩阵表达式针对x轴和y轴进行相同比例的缩放，实际中两个方向上的缩放可能不相同，把矩阵表达式修改如下：

Sx表示在X轴方向上缩放的倍数，Sy表示在Y轴方向上缩放的倍数。

1.2反射变换

反射(Reflection)变换也可称为镜像变换，如下图所示：

如上图需要将物体以y轴进行镜像，那么可以用以下表达式表达：

用矩阵形式的表达如下：

当然还有其他方向的反射矩阵。

1.3切变变换

如上图这个变换好像是拽着图形的右上角沿着x轴向右拉了一段距离，称为切变(Shear)变换。

提示：

1.y=0时，水平位移为0

2.y=1时，水平位移为a（当y=0.5时，水平位移是0.5a，即y*a）

3.垂直位移总是0

通过以上三个提示的规律可得出任何x轴上的位移为a*y，表示移动距离等于原本x位置加上a*y，即x’=x+a*y，而y轴的值始终不变，即y’=y。用矩阵表达为如下：

1.4旋转变换

说旋转(Rotation)，默认指的是绕原点(0,0)逆时针旋转，下图是物体绕原点逆时针旋转θ角的示意图：

以上变换同样可以写成矩阵的形式：

推导如下

1.首先确认要达到的目标位置(x’，y’),假设原点(x,y)。

2.用矩阵形式表示：

如此需要求得a，b，c，d四个未知数。

3.所有旋转的点都要符合最终公式，包括特殊点。先找出特殊点A(1,0)，将A点旋转 $\theta$ 度，通过三角定律可得A的坐标变成( $\sin \theta$ ， $\cos \theta$ )，假设当前就是以A点为原始点，进行了 $\theta$ 度的旋转。那么带入后矩阵表示： $\begin{bmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & b\\ c& d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}$ 。通过矩阵相乘可得：cos $\theta$ =a*1+b*0，sin $\theta$ =c*1+d*0，所以a=cos $\theta$ ，c=sin $\theta$ 。

4.同理使用B(0,1)这个特殊点旋转 $\theta$ 度，求得b=-sin $\theta$ ，d=cos $\theta$ 。

1.5线性变换

前面提到的变换都可以使用以下表达式表示：

用矩阵都可以如下表示：

继而表示为：输出坐标 = 变换矩阵 × 输入坐标的形式：

满足以上条件的变换称为线性(Linear)变换。

1.6仿射变换

如上图所示，沿x轴平移tx，沿y轴平移ty，这样是一个平移变换。可以用以下表达式表示：

你会发现，它无法用前面熟悉的线性变换矩阵的形式表示，也就是说平移变换是非线性变换。只能用以下矩阵形式表示，上面把这种变换称为非线性变换，其实它有专门的名字叫仿射(Affine)变换。

为了方便统一，不希望平移变换是一个特例，那么是否有一个统一的方式来表示所有的变换？通过不断探索，引入了齐次坐标(Homogeneous coordinates)。

1.7齐次坐标

我们可以在现在二维上，再增加一个维度，变成三维，在坐标系上添加第三个坐标(W坐标)，如果在卡尔坐标系上有点(x,y)，当转换为齐次坐标后这个点变为(wx,wy,w)。反过来同样适用，如果在其次坐标系中有一个点(x,y,w)，转换到笛卡尔坐标系下，这个点应该表示为(x/w,y/w)。如此，对于任何一个点和任意一个向量，我们都可以表示如下：

注意：这里为什么点是加1，而向量是加0呢？因为向量是个方向，平移后还是原来的向量，具有平移不变性质。如果有一个向量(x,y,0)，同样经过上图矩阵这么一个变换，得到的结果仍然希望是(x,y,0)，添加0是为了保护向量在平移变换过程中不发生变化。

将点(x,y)表示成(x,y,1)，平移变换可写成如下矩阵形式：

所以像如下这种仿射变换表达式：

通过引入齐次坐标后，可以使用线性变换的形式表达(根据上图所示，表示先线性变换再平移变换的)。

所以就有了统一所有变换的表达式。可以发现最后变换矩阵最后一行都是0,0,1。

1.8二维主要变换总结

引入了齐次坐标后，二维变换表达式分别变成了如下：

缩放矩阵

旋转矩阵

上述旋转矩阵是绕原点逆时针旋转的变换矩阵，当需要得到顺时针旋转的变换矩阵时，可以通过逆变换(后面内容)得到，即

通过上面两个矩阵对比发现，在旋转矩阵里面，旋转矩阵的逆就是旋转矩阵的转置。利用这个性质，求旋转的逆，也就是求反方向旋转相同角度的时候，只要写出正向旋转矩阵，把矩阵转置过来就可以了。

如果一个矩阵的转置等于这个矩阵的逆，我们称这个矩阵是正交矩阵。

平移矩阵

注意：一般二维变换下，除了平移矩阵，都用2*2的矩阵表示。

1.9逆变换

一个物体做一个变换，变换完以后要恢复到原来的位置，变换回原来的位置的过程称为逆(Inverse)变换，逆变换在数学上的实现是乘以变换矩阵的逆矩阵。

1.10组合变换

组合(Composite)变换就是对一个物体进行多个变换。如下图所示，左边图片通过某些变换后变成右边的图片。

可以有两种变换：

1.先向右平移1个单位，再旋转45度(默认都是绕原点、逆时针旋转)。

2.先旋转45度，后向右平移1个单位。

发现第一种变换方式并没有达到想要的效果，而第二种方式达到了目的。

得出两个结论：

1.一个复杂的变换，可以通过几个简单的变换得到。

2.变换的顺利不同最终的结果也会不同，因为矩阵相乘是不满足交换律的，矩阵相乘顺序不同结果就会不同(特殊除外)。

注意：矩阵的应用是从右到左的，将上述组合变换用矩阵表达如下(先旋转，再平移)：

组合变换矩阵相乘应用的顺序

上图中A1，A2一直到An表示变换矩阵，一个点进行组合变换时，应用在该点的矩阵是从右到左。即矩阵An乘An-1一直乘到A1，实际应用到点的顺序是A1，A2一直到An。

矩阵乘法结合律使用

矩阵相乘无法使用交换律，但是可以使用结合律。

一个点做多个变换即多个矩阵相乘再乘以这个点，根据矩阵乘法结合律，可以先把这些矩阵相乘，乘完在与这个点相乘，只要保证矩阵相乘的顺序不变即可。假设A1到An都为3*3的矩阵，那么相乘的结果还是3*3的一个矩阵，那么就可以把很多个矩阵合成一个矩阵，简化了公式。

所以上述例子的表达式可以简化为：

同理，矩阵不仅能合成，还能够分解。前面最开始图就是把变换分解成了旋转变换和平移变换。

1.11非原点的旋转变换

在上述中，默认旋转变换是绕原点进行的，那么不是绕原点的变换该怎么实现呢？可以先把变换分解，分为三个步骤变换：

1.将旋转中心移动到原点（所有点移动）

2.在原点做旋转变换

3.平移到原点的位置

综上得出结论，先平移T(-c)到原点,然后旋转R(α)，最后平移到原来位置T(c)。矩阵变换作用在物体上的顺序是从右到左，所以矩阵表达式表示：

2.三维平移变换

三维变换与二维变换类似，只是多了一个维度。那么三维变换拿二维变换做类比就可以了，包括齐次坐标表示。

2.1三维平移变换

在二维坐标中不希望平移变换是一个特例，同理在三维坐标中也是同理，那么再次使用齐次坐标。三维坐标系转为齐次坐标，与二维坐标系转为齐次坐标类似，一个点在末尾添加1，一个向量添加0。如下图。

通常，(x,y,z,w)(w!=0)是一个代表3D的点(x/w,y/w,z/w)。

使用齐次坐标表示三维空间下统一的线性变换如下：

与二维平移同理可得齐次坐标下三维平移变换矩阵：

2.2 三维缩放矩阵

在二维坐标中X，Y轴进行缩放，那么三维只需要增加一个z轴的缩放。可以得出三维缩放矩阵如下：

2.3 三维旋转矩阵

在三维旋转变换中，物体需要分别绕三个不同轴进行旋转。假设分别绕X，Y，Z三个轴旋转。

绕Z轴旋转矩阵

我们发现绕Z轴旋转矩阵和二维旋转矩阵很相似，去掉最下面一行和最右边一列就和二维旋转矩阵一样了。在二维旋转中只有X轴和Y轴，其实和三维绕Z轴旋转是一样的，也是X，Y轴的发生了变化，所以三维中Z轴对应的元素没有变化。

绕x轴旋转矩阵

同理绕X轴旋转矩阵，可以把三维的Y，Z轴看作二维的X，Y轴旋转。所以三维中X轴对应的元素没有变化。

绕Y轴旋转矩阵

同理绕Y轴旋转矩阵，可以把三维的X，Z轴看作二维的X，Y轴旋转，所以三维中Y轴对应的元素也应该没有变化。但是发现是相反的，这是什么原因呢？因为三维坐标轴是X，Y，Z。根据右手法则，X叉乘Y得到Z，Y叉乘Z得到X，而Z叉乘X得到Y，无论循环多少次，任何两个轴都能得到第三个轴，这叫做循环对称性质。而Y轴是Z叉乘X得到的，并不是X叉乘Z得到的，而叉乘顺序不同，结果不同，而X叉乘Z得到的是Y的反方向，所以是反的。如下图：

2.4绕任意轴旋转矩阵

描述复杂问题的时候，可以分解成几个简单问题，而绕任意轴旋转可分解为绕X轴旋转α角，绕Y轴旋转β角，绕Z轴旋转γ角，用以下形式表示：

根据罗德里格斯旋转公式得出矩阵(绕轴n旋转 $\alpha$ 角度)：

用一个向量n来表示一个旋转轴n是不够的，还需要知道起点位置，而以上公式默认轴n是穿过原点的，这样起点在原点上，方向就是向量n方向。所以这个公式只适用于绕穿过原点的向量旋转变换。在二维旋转中，绕任意点旋转的思路是先平移到原点后做旋转，旋转完后再平移到原来的位置，所以三维任意轴旋转一样用这个思路。

以上都是以欧拉角进行旋转，在图形学中，还能用四元数表示旋转，避免万向锁。