文章目录
- DP
- 树
- 叶的度
- 树的度
- 节点的层次
- 节点的祖先
- 节点的子孙
- 双亲节点或父节点
- 树的表示
- 孩子兄弟表示法
- 双亲表示法
- 树和非树
- 树的应用
- 二叉树
- 满二叉树
- 完全二叉树
- 推论
- 二叉树的存储
- 以数组的方式
- 以链表的方式
- 堆(Heap)
- 堆的分类
- 大根堆和小根堆的作用
- 二叉树的遍历
- DFS和BFS
DP
动态规划(英语:Dynamic programming,简称 DP)是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的,通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。
动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题,并且记录所有子问题的结果,因此动态规划方法所耗时间往往远少于朴素解法。
动态规划有自底向上和自顶向下两种解决问题的方式。自顶向下即记忆化递归,自底向上就是递推。
使用动态规划解决的问题有个明显的特点,一旦一个子问题的求解得到结果,以后的计算过程就不会修改它,这样的特点叫做无后效性,求解问题的过程形成了一张有向无环图。动态规划只解决每个子问题一次,具有天然剪枝的功能,从而减少计算量。
树
树是所有节点的集合,最上面的节点是根,最下面的节点是叶。树的集合就是森林。树是递归定义的,因为每一个节点都可以拆成根+子树。子树又可以拆分,一直拆分,也就是递归了。
叶的度
该节点下面直接相连的节点个数
树的度
整个树中最大的叶的度
节点的层次
从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推;如果一个树的根为0层的话,那空树只能用-1来表示了。这就是复数了。为了方便表示,让空树等于0,根为1层比较好。本片所用的理论就是根为1层。
节点的祖先
从根到该节点所经分支上的所有节点
节点的子孙
以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙
双亲节点或父节点
若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点; 如上图:A是B
的父节点
树的表示
树结构相对线性表就比较复杂了,要存储表示起来就比较麻烦了,实际中树有很多种表示方式,
如:双亲表示法,孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子
兄弟表示法。
孩子兄弟表示法
typedef int DataType;
struct Node
{
struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
DataType _data; // 结点中的数据域
};
这个树的结构叫:左孩子,右兄弟。
什么意思呢,就是如果这个节点有子节点,也就是该节点的孩子,就让这个节点的左孩子指针保存孩子的地址,如果该节点没用孩子,就指向空,如果该节点的父节点除了该节点还有其他的子节点,就让该节点的右兄弟指向兄弟节点。这里的兄弟只算亲兄弟,也就是同一个父亲的兄弟。
对于一个正常的树状结构来说,需要进一步的转换才能用左孩子右兄弟的方法来表示。就像左边这个树,BCD是A的孩子,A只需要指向他最左边的孩子B就行,然后用B的右兄弟指针连接C,再让C的右兄弟连接D。发现B没有孩子,就让B的左孩子指向空。C的孩子是E,就让左孩子指向E。E既没有孩子,也没有兄弟,左孩子和右兄弟指针都指向空。然后返回上一节点C,再通过C去找D,D有孩子F,D的左孩子就指向F,F还有一个兄弟,就让F的右兄弟指向G。到这里就都连接完了,其他没用的指针都指向空。
双亲表示法
因为一个父亲可以有多个孩子,但是一个孩子只能有一个父亲,所以可以逆向思考,让孩子存父亲节点。
这里的树的结构体要全部存在数组中,就是定义一个指针数组,数组的每个元素都是指针,每个指针指向一个树的节点。
优点是:寻找父节点的题
缺点是:找孩子节点要变量整个数组,也就是整个树。
树和非树
子树不可相交,每个子树仅有一个父节点,一颗树有N个节点,有N-1条边。不能有孤立的点。比如,5个节点的树,一定有4条边。
就是树不能成环,不能有回路,以后学的图的可能有回路,等等
树的应用
目录树,C盘,D盘了,文件夹就是节点,文件可能是节点可能是叶子
二叉树
二叉树是特殊的树,就是度为2的树。每个节点最多两个孩子,也可以是空节点,那就是叶子
满二叉树
就是每个节点都是满的,除了叶子。根节点为1
结论:一个完全二叉树的层次为k,那么总的节点个数就是(2k-1),等比数列求和
每一层的节点个数就是2k-1 个
完全二叉树
完全二叉树的最底层可以不完整,但是必须从左到右连续。最后一层不满,但连续。满二叉树是特殊的完全二叉树。
树–>二叉树–>完全二叉树–>满二叉树
推论
二叉树的(叶子节点的个数)是(度为2的节点的个数+1)。叶节点的个数是有俩孩子节点个数的多一个。
如果一个二叉树有N个节点,高度是h。
- 对于满二叉树来说:2*h-1=N;h=log2(N+1)
- 对于完全二叉树来说:2*h -1-X=N。(0<=x<=2h-1-1) ,log2N <= h <=log2(N + 1)
例题:
1. 某二叉树共有 399 个结点,其中有 199 个度为 2 的结点,则该二叉树中的叶子结点数为( B )
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中,叶子结点个数为( A )
A n
B n+1
C n-1
D n/2
3.一棵完全二叉树的节点数位为531个,那么这棵树的高度为( B )
A 11
B 10
C 8
D 12
二叉树的存储
以数组的方式
从根节点开始在数组下标为0的地方,然后从左到右依次填入数组,对于完全二叉树来说。
- 若一个父节点的下标是i,那么孩子的下标分别是:2i+1和2i+2。i=4.2i+1=9,2i+2=10。
- 若一个子节点的下标是i,那么父节点下标是:(i-1)/2。(6-1)/2=5/2=2. (5-1)/2=4/2=2。
以链表的方式
链表的方式大概有两种:二叉链表,三叉链表。
二叉链表,就是有两个子节点指针的链表,三叉链表就是有两个子节点child指针,还有一个父节点parent指针。二叉链表,应用的比较多。三叉树一般应用在平衡树,红黑树等等。
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
struct BinTreeNode* pLeft; // 指向当前节点左孩子
struct BinTreeNode* pRight; // 指向当前节点右孩子
BTDataType _data; // 当前节点的值
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
struct BinTreeNode* pParent; // 指向当前节点的父亲
struct BinTreeNode* pLeft; // 指向当前节点左孩子
struct BinTreeNode* pRight; // 指向当前节点右孩子
BTDataType _data; // 当前节点的值
};
堆(Heap)
堆就是完全二叉树,用数组来储存。
堆的分类
- 大堆(大根堆)
每个父节点都大于等于子节点。左右孩子大小不规定。
- 小堆(小根堆)
每个父节点都小于等于子节点。左右孩子大小不规定。
大根堆和小根堆的作用
根(堆顶)是最大值或最小值。应用在堆排序中。
例题:
1.下列关键字序列为堆的是:(A)
A 100,60,70,50,32,65
B 60,70,65,50,32,100
C 65,100,70,32,50,60
D 70,65,100,32,50,60
E 32,50,100,70,65,60
F 50,100,70,65,60,32
二叉树的遍历
由于二叉树是一个非线性结构,不同于以往的单链表或者数组,只能从头到尾,或者从尾到头的遍历顺序。
二叉树可分为左子树、右子树、根三部分。根据三个部分的先后顺序划分,有三种分法:
- 前序(先根遍历):根->左子树->右子树
- 中序(中根遍历):左子树->根->右子树
- 后序(后根遍历):左子树->右子树->根
DFS和BFS
深度优先搜索算法(英语:Depth-First-Search,DFS)是一种用于遍历或搜索树或图的算法。其过程简要来说是对每一个可能的分支路径深入到不能再深入为止,而且每个结点只能访问一次.
因发明「深度优先搜索算法」,约翰 · 霍普克洛夫特与罗伯特 · 塔扬在1986年共同获得计算机领域的最高奖:图灵奖。
广度优先搜索算法(Breadth-First Search,缩写为 BFS),又称为宽度优先搜索,是一种图形搜索算法。简单的说,BFS 是从根结点开始,沿着树的宽度遍历树的结点。如果所有结点均被访问,则算法中止。
又因为二叉树结构的特殊性,有层数之分,根据探索的层数有两种分法:深度优先遍历,广度优先遍历
其中深度优先遍历就是:前中后序这三种方式
广度优先遍历是层序。所谓的层序就是一层层的挨着访问。从左到右。
举个例子:
-
前序:A->B->D->NULL->NULL->E->NULL->NULL->C->NULL->NULL
一般方便表示,不会写NULL,也就是ABDEC.
-
中序:NULL->D->NULL->B->NULL->E->NULL->A->NULL->C->NULL
-
后序:NULL->NULL->D->NULL->NULL->E->B->NULL->NULL->C->A
-
层序:A->B->C->D->E->NULL->NULL->NULL->NULL->NULL->NULL
大概是什么意思呢?拿中序来说,拿到这棵树,第一个节点也就是根,但是不会访问他的值,因为中序访问就是先访问左子树,对于A这棵树而言,左子树是以B为根的子树,但是这时候不能访问B的值,因为对于B而言,D才是B的左子树,对于D而言,左子树为空,返回NULL(这也就是中序第一个NULL的来源)。然后返回D节点,D是以D为根的子树的根,D的左子树已经访问完了,所以要访问D,然后访问D这棵树的右子树,右子树还是空,返回NULL。以D为根的子树才彻底访问完毕。D又是B的左子树,以B为根的子树的左子树访问完,才访问根B的值。接着是B的右子树E。以E为根的子树还要先访问左子树。。。。。。。
不难发现,中序是先沿着左子树这条路,一直找到了D的左子树NULL才停止访问。然后返回上级D这条岔路口走右子树。再返回D的上级B岔路口走右子树。
随着程序的运行,一开始就先找最深的地方,也就是深度优先遍历。走到空,无路可走了,才退回来。
所以深度优先适合数组、图,这种量大的遍历。
实现深度优先一般用递归,栈。
实现广度优先用队列。