计算机算法中的数字表示法——原码、反码、补码

news2024/10/6 14:31:07

1.前言

昨天有粉丝让我讲解下定点数和浮点数，本来这部分是打算在FPGA入门系列的最后面来讲的。作者想开的系列真的很多，比如开发FPGA需要学会相关软件Matlab、Vivado、ModelSim等等的使用，每个软件做一个系列；FPGA入门教程做一个系列；基础数字信号处理做一个系列；通信相关的系列；IP核使用详解系列；FPGA数字积木系列（自己设计的一些参数化IP）。但是这些无疑都会花大量的时间去构思和整理资料，会出的比较慢，请读者耐心等待。

这篇文章就先介绍定点数和浮点数的概念，因为要真正讲清楚还得从原码、补码和反码开始讲起。要仔细研究的建议去多看看相关书籍，讲清楚原理之后再讲Matlab里面计算的浮点数怎么转换为定点数到FPGA里面进行使用，以及FPGA里面计算的定点数，怎么在Matlab里面又转换为浮点数。

这里需要重点强调的是，原理虽然很枯燥，但是真的很重要，是绝对不能忽视的，如果原理弄的一知半解，就开始去做处理，后期该踩得坑一个也少不了。

2.研究数字表示法的意义

在计算机算法中，有两个基本设计准则是非常重要的:分别是数字表示法和代数运算的实现。例如:定点数或浮点数就是常用且可行的数字表示法。一些基本的运算，像加法器和乘法器，更为繁琐的运算，诸如求平方根和应用CORDIC算法计算角函数的有效实现，都要以可行的数字表示法为基础实现。
FPGA由于其物理位级编程结构的特点，提供了大量实现数字信号处理算法所需要的计算机算法。这恰好与带有定点多级累加器内核的可编程数字信号处理器(programmable digital signal processors,PDSP)相反。在FPGA设计中仔细地选择位宽就能够从本质上做到节约。

3.数字表示法

在工程的早期阶段，必须仔细考虑，确定是使用定点数还是浮点数更适合于解决问题。一般可以认为:定点数的实现具有更高的速度和更低廉的成本；而浮点数则具有更高的动态范围且不需要换算，这对较为复杂的算法可能更适合。下图给出了传统和非传统定点数和浮点数的数字表示法的一个概观。两套系统都由许多各自的标准所覆盖，当然，如果需要的话也可以以一种专有形式实现。

3.1 无符号整数

设 $X$ 是一个 $N$ 位无符号二进制数, 则其范围是 $\left[0,2^N-1\right]$ , 表达式如下:
$X=\sum_{n=0}^{N-1} x_n 2^n$

其中 $x_n$ 是 $X$ 的第 $n$ 位二进制数字(也就是 $x_n \in[0,1]$ )。数字 $x_0$ 称作最低有效位(Least Significant Bit, LSB), 具有相当于个位的权重。数字 $x_{N-1}$ 就是最高有效位(Most Significant Bit, MSB), 具有相当于 $2^{N-1}$ 的权重。

3.2 有符号数值

在有符号数字表示法中, 数字和符号是单独表示的。第一位代表符号, 余下的 $N - 1$ 位代表数字, 表达式如下:
$\begin{cases}\sum_{n=0}^{N-1} x_n 2^n & X \geq 0 \\ -\sum_{n=0}^{N-1} x_n 2^n & X<0\end{cases}$

表达式的范围是 $\left[-2^{N-1}, 2^{N-1}\right]$ , 有符号数字表示法的优点就是简化了溢出的问题, 但缺点就是加法需要根据哪一个操作数更大来进行区分运算。

3.3 二进制补码(Two’s Complement, 2C)

有符号整数的 $N$ 位二进制补码表达式如下:
$\begin{cases}\sum_{\infty-0}^{N-1} x_n 2^n & X \geq 0 \\ 2^k-\sum_{n=0}^{1-1} x_n 2^n & X<0\end{cases}$
其范围是 $\left[-2^{N-1}, 2^{N-1}-1\right]$ 。目前数字信号处理领域，最常用的就是用二进制补码来表示有符号数。这是由于它可以累加多个有符号数，且最终结果也在N位范围内，即可以忽略一切算术上的溢出。

例如，我们计算两个3位数的差（3-2=?）：
$\begin{array}{rrr} 3_{10} & \leftrightarrow & 011_{2 C} \\ -2_{10} & \leftrightarrow & 110_{2 C} \\ 1_{10} & \leftrightarrow & 1.001_{2 C} \end{array}$

溢出可以忽略。所有的计算都是取模 $2^N$ 。这样就有可能出现不能够正确表示中间值的情形,但只要最终值有效, 结果就是正确的。例如计算 3 位的数字 $2 + 2 - 3$ , 会得到一个中间值 $010+010=100_{2 C}$ , 也就是 $4_{10}$ , 但是结果 $100-011=100+101=001_{2 C}$ , 是正确的。

二进制补码还可以用来实现模 $2^N$ 的算法, 而且不需要在算法中作任何改动。

3.4 二进制反码(也称作 1 的补码, One’s Complement, 1C)

$N$ 位二进制反码数字表示法可以表示的整数范围是 $\left[-2^{N-1}-1,2^{N-1}-1\right]$ 。在二进制反码中,正整数和负整数除了符号位之外具有相同的表示方法。那么“0”就有正的和负的，两个表达式。二进制反码中有符号数的标准表达式如下:
$\begin{cases}\sum_{n=0}^{N-1} x_n 2^n & X \geq 0 \\ 2^N-1-\sum_{n=0}^{N-1} x_n 2^n & X<0\end{cases}$

请看下面的简单示例:
$\begin{array}{rrrrrr} 3_{10} & \leftrightarrow & & 0 & 1 & 1_{1 C} \\ -2_{10} & \leftrightarrow & & 1 & 0 & 1_{1 C} \\ 1_{10} & \leftrightarrow & 1. & 0 & 0 & 0_{1 C} \\ 进位 & & \rightarrow & \rightarrow & \rightarrow & 1_{1 C} \\ 1_{10} & \leftrightarrow & & 0 & 0 & 1_{1 C} \end{array}$
在二进制反码中需要， “进位问绕(carry wrap-around)” 加法。在最高有效位与最低有效位相加得到正确结果时, 就会出现进位。

尽管如此, 这种数字表示法还走能够有效地实现模 $2^N-1$ 运算, 而且不需要校正。因此二进制反码在实现特定的 DSP 算法(例如: 整数计算不 $2^N-1$ 的 Mersenne 变换)时, 还是有其特殊价值的。

3.5 减 1 表示法(Diminished one System, D1)

减1表示法是一种有偏移的数学表示法。正整数与二.进制补码相比减少了 1。 $N$ 位 D1数值范围是 $\left[-2^{N-1}, 2^{N-1}\right]($ 不含 0 $)$ 。D1 数字表示法的编码规则定义如下:
$\begin{cases}\sum_{n=0}^{A-1} x_n 2^n-1 & X \geq 0 \\ 2^N-\sum_{n=0}^{N-1} x_n 2^n & X<0 \\ 2^N & X=0\end{cases}$

从下面两个 D1 数相加可以看到, 对于 D1 而言还必须计算补码和颠倒进位的加法。
$\begin{array}{rrrrrr} 3_{10} & \leftrightarrow & & 0 & 1 & 0_{D 1} \\ -2_{10} & \leftrightarrow & & 1 & 1 & 0_{D 1} \\ 1_{10} & \leftrightarrow & 1. & 0 & 0 & 0_{D 1} \\ 进位 & & \rightarrow &\fbox{. -1} & \rightarrow & 0_{D 1} \\ 1_{10} & \leftrightarrow & & 0 & 0 & 0_{D 1} \end{array}$
D1 数不需要在算法上作任何改动就能够有效地实现模 $2^N+1$ 运算。比如可以利用这一结论在 $2^N+1$ 计算环中实现费尔出 NTT(Fermat Network Transfer Table, Fermat 网络传输表)。