动手学深度学习4.5 权重衰减-笔记练习（PyTorch）

以下内容为结合李沐老师的课程和教材补充的学习笔记，以及对课后练习的一些思考，自留回顾，也供同学之人交流参考。

本节课程地址：权重衰退_哔哩哔哩_bilibili

本节教材地址：4.5. 权重衰减 — 动手学深度学习 2.0.0 documentation (d2l.ai)

本节开源代码：...>d2l-zh>pytorch>chapter_multilayer-perceptrons>weight-decay.ipynb

权重衰减

前一节我们描述了过拟合的问题，本节我们将介绍一些正则化模型的技术。我们总是可以通过去收集更多的训练数据来缓解过拟合。但这可能成本很高，耗时颇多，或者完全超出我们的控制，因而在短期内不可能做到。假设我们已经拥有尽可能多的高质量数据，我们便可以将重点放在正则化技术上。

回想一下，在多项式回归的例子（4.4节）中，我们可以通过调整拟合多项式的阶数来限制模型的容量。实际上，限制特征的数量是缓解过拟合的一种常用技术。然而，简单地丢弃特征对这项工作来说可能过于生硬。我们继续思考多项式回归的例子，考虑高维输入可能发生的情况。多项式对多变量数据的自然扩展称为单项式（monomials），也可以说是变量幂的乘积。单项式的阶数是幂的和。例如， $x_1^2 x_2$ 和 $x_3 x_5^2$ 都是3次单项式。

注意，随着阶数 $d$ 的增长，带有阶数 $d$ 的项数迅速增加。给定 $k$ 个变量，阶数为 $d$ 的项的个数为 ${k - 1 + d} \choose {k - 1}$ ，即 ${k - 1 + d} \choose {k - 1}$ 。因此即使是阶数上的微小变化，比如从 2 到 3 ，也会显著增加我们模型的复杂性。仅仅通过简单的限制特征数量（在多项式回归中体现为限制阶数），可能仍然使模型在过简单和过复杂中徘徊，我们需要一个更细粒度的工具来调整函数的复杂性，使其达到一个合适的平衡位置。

多项式展开项数：

d个阶数分配给k个变量，等同于有k-1个隔板将d个阶数划分为k份，每个变量的阶数为0~d不等，每个变量的阶数等于每两个隔板之间的分配阶数。

因此，排列数等于将d个阶数和k-1个隔板排列在一起，插入k-1个隔板，也即： $C^{k-1}_{k-1+d} = \frac{(k-1+d)!}{(d)!(k-1)!}$

范数与权重衰减

在 2.3.10节中，我们已经描述了 $L_2$ 范数和 $L_1$ 范数，它们是更为一般的 $L_p$ 范数的特殊情况。在训练参数化机器学习模型时， 权重衰减（weight decay）是最广泛使用的正则化的技术之一，它通常也被称为 $L_2$ 正则化。这项技术通过函数与零的距离来衡量函数的复杂度，因为在所有函数 $f$ 中，函数 $f=0$ （所有输入都得到值 0 ）在某种意义上是最简单的。但是我们应该如何精确地测量一个函数和零之间的距离呢？没有一个正确的答案。事实上，函数分析和巴拿赫空间理论的研究，都在致力于回答这个问题。

一种简单的方法是通过线性函数 $f(\mathbf{x}) = \mathbf{w}^\top \mathbf{x}$ 中的权重向量的某个范数来度量其复杂性，例如 |𝑤|2 。 要保证权重向量比较小，最常用方法是将其范数作为惩罚项加到最小化损失的问题中。将原来的训练目标最小化训练标签上的预测损失，调整为最小化预测损失和惩罚项之和。现在，如果我们的权重向量增长的太大，我们的学习算法可能会更集中于最小化权重范数 $| \mathbf{w} |^2$ 。这正是我们想要的。让我们回顾一下 3.1节中的线性回归例子。我们的损失由下式给出：

$L(\mathbf{w}, b) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{1}{2}\left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right)^2.$

回想一下， $\mathbf{x}^{(i)}$ 是样本 𝑖 的特征， $y^{(i)}$ 是样本 𝑖 的标签， $(\mathbf{w}, b)$ 是权重和偏置参数。为了惩罚权重向量的大小，我们必须以某种方式在损失函数中添加 $| \mathbf{w} |^2$ ，但是模型应该如何平衡这个新的额外惩罚的损失？实际上，我们通过正则化常数 𝜆 来描述这种权衡，这是一个非负超参数，我们使用验证数据拟合：

$L(\mathbf{w}, b) + \frac{\lambda}{2} \|\mathbf{w}\|^2,$

对于 $\lambda = 0$ ，我们恢复了原来的损失函数。对于 $\lambda > 0$ ，我们限制 $| \mathbf{w} |$ 的大小。这里我们仍然除以 2 ：当我们取一个二次函数的导数时， 2 和 1/2 会抵消，以确保更新表达式看起来既漂亮又简单。为什么在这里我们使用平方范数而不是标准范数（即欧几里得距离）？我们这样做是为了便于计算。通过平方 $L_2$ 范数，我们去掉平方根，留下权重向量每个分量的平方和。这使得惩罚的导数很容易计算：导数的和等于和的导数。

此外，为什么我们首先使用 $L_2$ 范数，而不是 $L_1$ 范数。事实上，这个选择在整个统计领域中都是有效的和受欢迎的。 $L_2$ 正则化线性模型构成经典的岭回归（ridge regression）算法， $L_1$ 正则化线性回归是统计学中类似的基本模型，通常被称为套索回归（lasso regression）。使用 $L_2$ 范数的一个原因是它对权重向量的大分量施加了巨大的惩罚。这使得我们的学习算法偏向于在大量特征上均匀分布权重的模型。在实践中，这可能使它们对单个变量中的观测误差更为稳定。相比之下， $L_1$ 惩罚会导致模型将权重集中在一小部分特征上，而将其他权重清除为零。这称为特征选择（feature selection），这可能是其他场景下需要的。

使用与（3.1.10）中的相同符号， $L_2$ 正则化回归的小批量随机梯度下降更新如下式：

$\begin{aligned} \mathbf{w} & \leftarrow \left(1- \eta\lambda \right) \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \mathbf{x}^{(i)} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right). \end{aligned}$

补充：

计算梯度： $\frac{\partial}{\partial \mathbf{w}} {(l(\mathbf{w}, b)+\frac{\lambda}{2}\|\mathbf{w}\|^2)} = \frac{\partial l(\mathbf{w}, b)}{\partial \mathbf{w}} + \lambda \mathbf{w}$

更新权重：

通常 $\eta\lambda < 1$ ，因此叫做权重衰退。

超参数 $\lambda$ 控制了正则项的重要程度：

$\lambda$ = 0：无作用； $\lambda \rightarrow \infty : \mathbf{w}^* \rightarrow 0$

根据之前章节所讲的，我们根据估计值与观测值之间的差异来更新 $\mathbf{w}$ 。然而，我们同时也在试图将 𝑤 的大小缩小到零。这就是为什么这种方法有时被称为权重衰减。我们仅考虑惩罚项，优化算法在训练的每一步衰减权重。与特征选择相比，权重衰减为我们提供了一种连续的机制来调整函数的复杂度。较小的 $\lambda$ 值对应较少约束的 $\mathbf{w}$ ，而较大的 $\lambda$ 值对 $\mathbf{w}$ 的约束更大。

是否对相应的偏置 $b^2$ 进行惩罚在不同的实践中会有所不同，在神经网络的不同层中也会有所不同。通常，网络输出层的偏置项不会被正则化。

高维线性回归

我们通过一个简单的例子来演示权重衰减。

%matplotlib inline
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

首先，我们[像以前一样生成一些数据]，生成公式如下：

$y = 0.05 + \sum_{i = 1}^d 0.01 x_i + \epsilon \text{ where } \epsilon \sim \mathcal{N}(0, 0.01^2).$

我们选择标签是关于输入的线性函数。标签同时被均值为0，标准差为0.01高斯噪声破坏。为了使过拟合的效果更加明显，我们可以将问题的维数增加到 𝑑=200 ，并使用一个只包含20个样本的小训练集。

n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
# 生成数据迭代器，将train_data划分为大小为batch_size的多个批次
# 每次迭代时产生一个批次的样本，直到所有的样本都被遍历完为止
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)

从零开始实现

下面我们将从头开始实现权重衰减，只需将 $L_2$ 的平方惩罚添加到原始目标函数中。

[初始化模型参数]

首先，我们将定义一个函数来随机初始化模型参数。

def init_params():
    w = torch.normal(0, 1, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)
    b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
    return [w, b]

(定义 𝐿2 范数惩罚)

实现这一惩罚最方便的方法是对所有项求平方后并将它们求和。

def l2_penalty(w):
    return torch.sum(w.pow(2)) / 2

[定义训练代码实现]

下面的代码将模型拟合训练数据集，并在测试数据集上进行评估。从 3节以来，线性网络和平方损失没有变化，所以我们通过d2l.linreg和d2l.squared_loss导入它们。唯一的变化是损失现在包括了惩罚项。

def train(lambd):
    w, b = init_params()
    net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss
    # 用lambda匿名函数定义net，输入为X，输出为d2l.linreg(X, w, b)
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            # 增加了L2范数惩罚项，
            # 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量
            l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)
            l.sum().backward()
            d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数是：', torch.norm(w).item())
    # .item() 方法用于将包含单个元素的张量转换为 Python 标量（普通的整数或浮点数）

[忽略正则化直接训练]

我们现在用lambd = 0禁用权重衰减后运行这个代码。注意，这里训练误差有了减少，但测试误差没有减少，这意味着出现了严重的过拟合。

train(lambd=0)
w的L2范数是： 13.373031616210938

[使用权重衰减]

下面，我们使用权重衰减来运行代码。注意，在这里训练误差增大，但测试误差减小。这正是我们期望从正则化中得到的效果。

train(lambd=3)
w的L2范数是： 0.38239341974258423

[简洁实现]

由于权重衰减在神经网络优化中很常用，深度学习框架为了便于我们使用权重衰减，将权重衰减集成到优化算法中，以便与任何损失函数结合使用。此外，这种集成还有计算上的好处，允许在不增加任何额外的计算开销的情况下向算法中添加权重衰减。由于更新的权重衰减部分仅依赖于每个参数的当前值，因此优化器必须至少接触每个参数一次。

在下面的代码中，我们在实例化优化器时直接通过weight_decay指定weight decay超参数。默认情况下，PyTorch同时衰减权重和偏移。这里我们只为权重设置了weight_decay，所以偏置参数b不会衰减。

def train_concise(wd):
    net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))
    for param in net.parameters():
        param.data.normal_()
    loss = nn.MSELoss(reduction='none')
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    # 偏置参数没有衰减
    trainer = torch.optim.SGD([
        {"params":net[0].weight,'weight_decay': wd},
        {"params":net[0].bias}], lr=lr)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            trainer.zero_grad()
            l = loss(net(X), y)
            l.mean().backward()
            trainer.step()
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1,
                         (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                          d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数：', net[0].weight.norm().item())

[这些图看起来和我们从零开始实现权重衰减时的图相同]。然而，它们运行得更快，更容易实现。对于更复杂的问题，这一好处将变得更加明显。

train_concise(0)
w的L2范数： 12.444916725158691

train_concise(3)
w的L2范数： 0.3768826425075531

到目前为止，我们只接触到一个简单线性函数的概念。此外，由什么构成一个简单的非线性函数可能是一个更复杂的问题。例如，再生核希尔伯特空间（RKHS）允许在非线性环境中应用为线性函数引入的工具。不幸的是，基于RKHS的算法往往难以应用到大型、高维的数据。在这本书中，我们将默认使用简单的启发式方法，即在深层网络的所有层上应用权重衰减。

小结

正则化是处理过拟合的常用方法：在训练集的损失函数中加入惩罚项，以降低学习到的模型的复杂度。
保持模型简单的一个特别的选择是使用 𝐿2 惩罚的权重衰减。这会导致学习算法更新步骤中的权重衰减。
权重衰减功能在深度学习框架的优化器中提供。
在同一训练代码实现中，不同的参数集可以有不同的更新行为。

练习

在本节的估计问题中使用 $\lambda$ 的值进行实验。绘制训练和测试精度关于 $\lambda$ 的函数。观察到了什么？

解：
当 $\lambda$ 值较小时，正则化项的影响较小，模型可能会过拟合训练集，导致在测试集上表现较差。随着λ值增大，正则化项的影响加强，可以降低模型的复杂度和过拟合的风险，从而提高在测试集上的表现。
然而，当 $\lambda$ 值过大时，正则化项可能会过分约束模型导致欠拟合，从而使训练和测试精度都较低。
代码如下：

animator = d2l.Animator(xlabel='lambda', ylabel='loss', yscale='log', 
                        xlim=[0, 20], legend=['train', 'test'])
wds = [0, 5, 10, 15, 20]
w = []
for wd in wds:
    net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))
    for param in net.parameters():
        param.data.normal_()
    loss = nn.MSELoss(reduction='none')
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    trainer = torch.optim.SGD([
        {"params":net[0].weight,'weight_decay': wd},
        {"params":net[0].bias}], lr=lr)
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            trainer.zero_grad()
            l = loss(net(X), y)
            l.mean().backward()
            trainer.step()    
    animator.add(wd,
                 (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                  d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    w.append(f'lambda={wd}, w的L2范数: {net[0].weight.norm().item()}')
for i in w:
    print(i, end = '\n')

lambda=0, w的L2范数: 13.640575408935547
lambda=5, w的L2范数: 0.3943481147289276
lambda=10, w的L2范数: 0.09477921575307846
lambda=15, w的L2范数: 0.048191435635089874
lambda=20, w的L2范数: 0.043202996253967285

2. 使用验证集来找到最佳值 $\lambda$ 。它真的是最优值吗？这有关系吗？

解:
使用验证集来找到最佳的 $\lambda$ 值是一种常用的方法，但并不一定保证找到的 $\lambda$ 值是真正的最优值。这是因为验证集是从训练数据中独立选择出来的一部分数据，可用来评估不同超参数设置下模型的性能，但并不能代表整个数据集上的真实性能。
代码如下：

animator = d2l.Animator(xlabel='lambda', ylabel='loss', yscale='log', 
                        xlim=[0, 25], legend=['test'])
wds = [0, 5, 10, 15, 20, 25]
min_loss = 1
best_lambda = 0
for wd in wds:
    net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))
    for param in net.parameters():
        param.data.normal_()
    loss = nn.MSELoss(reduction='none')
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    trainer = torch.optim.SGD([
        {"params":net[0].weight,'weight_decay': wd},
        {"params":net[0].bias}], lr=lr)
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            trainer.zero_grad()
            l = loss(net(X), y)
            l.mean().backward()
            trainer.step()    
    animator.add(wd,
                 (d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    if d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss) < min_loss:
        min_loss = d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)
        best_lambda = wd

print(f'best lambda value in test set is: {best_lambda}')

best lambda value in test set is: 15

3. 如果我们使用 $\sum_i |w_i|$ 作为我们选择的惩罚（ $L_1$ 正则化），那么更新方程会是什么样子？

解:
计算梯度： $\frac{\partial}{\partial \mathbf{w}} {(l(\mathbf{w}, b)+{\lambda}\sum_i |w_i|)} = \frac{\partial l(\mathbf{w}, b)}{\partial \mathbf{w}} + \lambda sgn({w})$ 其中:

$sgn(x)=\left\{ \begin{aligned} 1, {w} > 0 \\ 0, {w} = 0 \\ -1, {w} < 0 \end{aligned} \right.$

更新权重：

$\mathbf{w}_{t+1} = \mathbf{w}_{t} - \eta \frac{\partial l(\mathbf{w}, b)}{\partial \mathbf{w}_{t}} \\ = \mathbf{w}_{t} - {\eta} (\frac {\partial l(\mathbf{w}_{t}, b_{t})}{\partial \mathbf{w}_{t}} + \lambda sgn({w}))\\ = \mathbf{w}_{t} - {\eta} \frac {\partial l(\mathbf{w}_{t}, b_{t})}{\partial \mathbf{w}_{t}} - {\eta} \lambda sgn({w})\\ = \left\{ \begin{aligned} \mathbf{w}_{t} - {\eta} \frac {\partial l(\mathbf{w}_{t}, b_{t})}{\partial \mathbf{w}_{t}} - {\eta} \lambda, {w} > 0 \\ \mathbf{w}_{t} - {\eta} \frac {\partial l(\mathbf{w}_{t}, b_{t})}{\partial \mathbf{w}_{t}}, {w} = 0 \\ \mathbf{w}_{t} - {\eta} \frac {\partial l(\mathbf{w}_{t}, b_{t})}{\partial \mathbf{w}_{t}} + {\eta} \lambda, {w} < 0 \end{aligned} \right.$

由于权重更新方程中存在sgn(w)，因此，当w>0时，梯度下降时更新后的w变小，当w<0时，梯度下降时更新后的w变大，也即，L1正则化使得权重w从正负两端向0靠近，使网络中的权重尽可能为0，相当于减小了网络复杂度，防止过拟合。

4. 我们知道 $|\mathbf{w}|^2 = \mathbf{w}^\top \mathbf{w}$ 。能找到类似的矩阵方程吗（见 2.3.10节中的Frobenius范数）？
解：
将 $|\mathbf{w}|^2 = \mathbf{w}^\top \mathbf{w}$ 推广到矩阵形式：
$\|\mathbf{A}\|^2_F = trace({A}^T{A})$ 其中， $|\mathbf{A}|^2_F$ 表示Frobenius范数的平方， $trace(\mathbf{A})$ 表示 𝐴 的迹（ $trace(\mathbf{A}) = \sum_{i=1}^{n}{a}_{ii}$ ）。

5. 回顾训练误差和泛化误差之间的关系。除了权重衰减、增加训练数据、使用适当复杂度的模型之外，还能想出其他什么方法来处理过拟合？
解:
其他常用方法包括：
早停（Early Stopping）：在训练过程中监控验证误差，当验证误差达到最小值后，停止训练。这样可以防止模型过分拟合训练数据。

数据增强（Data Augmentation）：通过对训练数据进行一系列的随机变换或扩增，如平移、旋转、缩放、翻转等，可以引入一定的随机性和多样性，增加训练数据的多样性，从而减少过拟合。

Dropout：在训练过程中，随机选择一部分神经元将其输出置为零，这样可以减少神经元之间的共适应性，一定程度上减少过拟合。

集成方法（Ensemble Methods）：通过组合多个不同的模型，如 Bagging、Boosting、Stacking 等方法，可以减少模型的方差，提高模型的泛化能力。

模型选择（Model Selection）：通过交叉验证等技术，选择最佳的模型超参数，从而减少过拟合。

6. 在贝叶斯统计中，我们使用先验和似然的乘积，通过公式 $P(w \mid x) \propto P(x \mid w) P(w)$ 得到后验。如何得到带正则化的 $P(w)$ ？

解:
当 $w_i\sim{N(0,\sigma^2)}$ 时, $P(w) = \prod_{i}\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\exp{-\frac{(w_i-0)^2}{2\sigma^2}}$

$\log{P(w)} = \log{\prod_{i}\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\exp{-\frac{(w_i-0)^2}{2\sigma^2}}} \\ = -\frac{1}{2\sigma^2}\sum_i{w_i^2} + C$ (C为常数)

相当于L2正则化；
当 $w_i\sim{Laplace(0,b)}$ 时, $P(w) = \prod_{i}\frac{1}{2b}\exp{-\frac{|w_i - 0|}{b}}$

$\log{P(w)} = \log{\prod_{i}\frac{1}{2b}\exp{-\frac{|w_i - 0|}{b}}} \\ = -\frac{1}{b}\sum_i{w_i} + C$ (C为常数)

相当于L1正则化。

因此，从贝叶斯公式的角度也可以理解正则化：
根据 $P(w \mid x) \propto P(x \mid w) P(w)$ ，
最大后验估计（MAP）为：
$Loss = \arg \max P(w \mid x) \ =\arg \max P(x \mid w) P(w) \\ = \arg \max \log{P(x \mid w) P(w)} \ = \arg \max (\log{P(x \mid w)} + \log{P(w)})$