【数据结构】P1 数据结构是什么、算法怎样度量

news2024/9/25 17:10:30

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1.1 基本概念与术语

数据： 数据是信息的载体，是所有能被计算机识别以及处理的符号。
数据元素： 数据元素是数据基本单位，由若干 数据项 组成，数据项是构成数据元素最小的单位。
- $e . g .$ 数据元素如一条学生记录，数据项则为其中学号、姓名、性别等属性；
数据对象： 数据对象是具有相同性质的数据元素的集合。
- $e . g .$ 小明是班级1学生，小红也是班级1学生，有集合 $班级1={小明, 小红, ....}$
数据类型： 分为原子类型、结构类型以及抽象数据类型；
- 原子类型： 其值不可再分的数据类型；
- 结构类型： 其值可以再分解为若干成分的数据类型；
- 抽象数据类型
数据结构： 数据结构描述数据元素相互之间的关系，包括三方面内容：逻辑结构、存储结构和数据的运算。

1.2 数据结构三要素

数据结构的三要素为：逻辑结构、存储结构、数据的运算；

1.2.1 逻辑结构

逻辑结构指数据元素之间的逻辑关系，从逻辑关系上描述数据，分为线性结构与非线性结构。

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线性表是典型的线性结构，树和图是典型的非线性结构。

1.2.2 存储结构

存储结构指数据结构在计算机中的表示，也称物理结构，是用计算机实际实现的逻辑结构，主要有顺序存储、链式存储、索引存储和散列存储。

顺序存储：逻辑上相邻的元素存储在物理位置也相邻的存储单元中。
- 优点：可以实现随机存取，每个元素占用最小的存储空间。
- 缺点：只能使用相邻的一整块存储单元，会导致出现较多的外部碎片。
链式存储： 不要求逻辑上相邻的元素在物理位置上也相邻，借助指示元素存储位置的指针来表示元素之间的逻辑关系。
- 优点：不会出现外部碎片，能充分利用全部存储单元。
- 缺点：存储指针会额外占用存储空间，且只能顺序存取。
索引存储： 另建立索引表，其中每一项为索引项，一般形式为：关键字、地址。
- 优点：检索速度快。
- 缺点：索引表额外占用存储空间，且增加、删除数据时也需修改索引表的时间成本。
散列存储： 根据元素的关键字计算该元素的存储地址，又称为哈希存储。
- 优点：检索、增加和删除结点操作快。
- 缺点：若散列函数不好，会导致存储单元冲突，解决冲突需要额外的时间和空间开销。

1.2.3 数据的运算

施加在数据上的运算包含运算的定义和实现。

运算的定义 是针对逻辑结构的，指出运算的功能。
运算的实现 是针对存储结构的，指出运算的步骤。

2.1 算法定义

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算法（Algorithm）是对特定问题求解步骤的一种描述，是指令的有限序列，其中每条指令表示一个或者多个操作。

2.2 算法五大特征

有穷性： 一个算法必须在执行有穷步骤之后结束，且每一步都在有穷时间内完成。
确定性： 算法中每条指令必须有明确的含义，对于相同的输入只能得出相同的输出。
可行性： 算法中操作可以通过已经实现的基本运算执行有限次来实现。
输入： 一个算法有零个或者多个输入。
输出： 一个算法有一个或者多个输出。

一个好的算法，通常应考虑如下目标：

正确性： 算法应能正确的解决问题。
可读性： 算法应具有良好的可读性，简单的结构，同时带有标注帮助人们理解。
健壮性： 输入非法数据时，算法应能对其做出反应和处理，而不会意外退出或者输出莫名结果。
高效率与低存储量： 效率是指算法执行的时间，存储量是指算法执行中所需的最大存储空间。

2.3 算法效率度量

2.3.1 时间复杂度

一个语句的频度指的是该语句在算法中被重复执行的次数。算法中所有语句的频度之和为 $T (n)$ ，时间复杂度分析 $T (n)$ 的数量级。

算法的时间复杂度记为： $T (n) = O (f (n))$
其中 $O$ 的含义表示数量级。

需要注意的是，算法的时间复杂度不仅仅取决于算法的结构规模，还取决于待输入数据的初始状态。对于同一个算法，因初始状态不同，结果可以为 $O (n)$ 也可能为 $O (1)$ 。
其中 $O (n)$ 我们其为 “最坏时间复杂度”， $O (1)$ 称为 “最好时间复杂度”，而 “平均时间复杂度” 则为当所有可能输入实例在等概率出现的情况下，算法的期望运行时间。