目录
- 1、二叉树的概念及结构
- 1、1 二叉树的概念
- 1、2 二叉树的结构
- 2、特殊的二叉树
- 3、二叉树的性质
- 4、二叉树的储存结构
- 4、1 顺序储存
- 4、2 链式储存
- 5、结语
1、二叉树的概念及结构
1、1 二叉树的概念
二叉树顾名思义是一个以根为起始位置橡树一样展开的结构，其实质是结点的一个有限集合。
该结点可以为空，也可以拥有子树。
当根为空结点时，称其为 空树。
而对于二叉树，约定俗成的规则是二叉树中不存在度大于2的结点，且二叉树的左右树次序不能颠倒，故二叉树是一个有序树。
1、2 二叉树的结构
对于二叉树的结构，树中的结点有下图四种类型，且每一个节点都可以看作是一个根，这有助于对递归的理解。
2、特殊的二叉树
在二叉树的分类中，有用两个特殊的二叉树：
1. 满二叉树
满二叉树是指二叉树中每一层的结点都达到了最大值，且当二叉树有k层时，结点的总数为2^k - 1个。
2. 完全二叉树
完全二叉树是指当二叉树有k层时，除了最后一层外，其他层的结点个数都达到了最大值，且最后一层中结点与节点之间没有空子树，这样的二叉树称之为完全二叉树。
注意：满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
3、二叉树的性质
1、若规定根节点的层序为1，则一颗非空二叉树的第i层上最多有 2^(i - 1)个结点。
2、若规定根节点的层序为1，则深度为h的二叉树结点个数最多为 2^h - 1个。
3、对于任意一个二叉树，度为0的结点个数记为 n0，度为2的节点个数记为 n2，则有 n0 = n2 - 1。
4、若规定根结点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度， h=log（n + 1）(ps：log（n + 1）是log以2为底，n+1为对数)。
5、对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
1. 若i>0，i位置结点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
2. 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
3. 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子
有关第三条性质的证明：
由二叉树的性质可知，一个结点的子节点可以有0，1，2个，故我们将一个非空二叉树的所有结点可以归结为：
拥有n0个度为0的结点。
拥有n1个度为1的结点。
拥有n2个度为2的结点。
假设二叉树拥有N个结点，即N = n0 + n1 + n2。
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从边的角度考虑，N个结点的任意二叉树，总共有N-1条边
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因为二叉树中每个结点都有双亲，根结点没有双亲，每个节点向上与其双亲之间存在一条边
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因此N个结点的二叉树总共有N-1条边
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因为度为0的结点没有孩子，故度为0的结点不产生边; 度为1的结点只有一个孩子，故每个度为1的结点
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产生一条边; 度为2的结点有2个孩子，故每个度为2的结点产生两条边，所以总边数为：n1+2*n2
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故从边的角度考虑：N-1 = n1 + 2*n2 ②
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结合① 和 ②得：n0 + n1 + n2 = n1 + 2*n2 - 1
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即：n0 = n2 + 1
4、二叉树的储存结构
二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。
4、1 顺序储存
顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
4、2 链式储存
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。
在具体实践中，二叉树结点结构体中，拥有三个成员，分别是左孩子指针（LEFT），右孩子指针（RIGHT），和当前结点的数值，以此来将整个二叉树串联起来。
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5、结语
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