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整除的性质

1 整除性

若 𝑎 和 𝑏 都为整数， 𝑎 整除 𝑏 是指 𝑏 是 𝑎 的倍数，𝑎 是 𝑏 的约数（或者叫 因数、因子），记为 𝑎|𝑏。整除的大部分性质都是显而易见的，为了阐述方便，我给这些性质都起了个名字

1)任意性

若 𝑎|𝑏，则对于任意非零整数 𝑚，有 𝑎𝑚|𝑏𝑚

2)传递性

若 𝑎|𝑏 且 𝑏|𝑐 ，则 𝑎|𝑐 。

3)可消性

若 𝑎|𝑏𝑐 且 𝑎 和 𝑐 互素（互素即两者没有大于一的公共因子），则 𝑎|𝑏 。

4)组合性

若 𝑐|𝑎 且 𝑐|𝑏，则对于任意整数 、𝑚、𝑛，有 𝑐|(𝑚𝑎+𝑛𝑏)

2 常见数的整除特性

1)0的特性

0 是任何非零整数的倍数，对于任意非零整数 𝑎，必然有 𝑎|0。

1)的特性

对于任何整数 𝑎，总有 1|𝑎。

2)能被 2 整除的数的特征

若整数 𝑎 的末位是 0、2、4、6 或 8，则 𝑎 能被 2 整除。

3)能被 3 整除的数的特征

若整数 𝑎 的数字和能被 3 整除，则 𝑎 能被 3 整除

4)能被 4 整除的数的特征

若整数 𝑎 的末尾两位数能被 4 整除，则 𝑎 能被 4 整除。

5)能被 5 整除的数的特征

若整数 𝑎 的末位是 0 或 5，则 𝑎 能被 5 整除。

6)能被 6 整除的数的特征

若整数 𝑎 能被 2 和 3 整除，则 𝑎 能被 6 整除。

7)能被 7 整除的数的特征

能被7整除的数：这个数的末三位数与除末三位数的数字组成的数之差能被7、11、13整除，则 7|a, 11|a , 13|a

8)能被 8 整除的数的特征

能被8整除的数：一个整数的末3位若能被8整除，则该数一定能被8整除

9)能被9整除的数

能被9整除的数：各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除

10)能被10整除的数

能被10整除的数：如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）

练习

1小兵和小亮两人做一种轮流报数的游戏。规则是：每个人报出的数不能超过8，也不是0，把两人报出的数加起来，谁报数后加起来是100，谁就获胜。小亮先报，并且第一次都报1，以后不管小兵报几，最后小亮准赢。这是为什么？请说明理由？

2在1至100的整数中，能被2整除或能被3整除的整数共有多少个？

3从1、3、5、7、、、、97、99中最多可以选出几个数，使它们当中的每一个数都不能另一个数的倍数。

5一位马虎的采购员买了36套桌椅，，洗衣服时将购货发票洗烂了，只能依稀看到：36套桌椅，单价：□3.□□元，总价：1□24.5□元。你能帮忙算出单价和总价吗？

6首位数字是9，各位上的数字互不相同，能被6整除的最小数是多少？

7在1至100以内所有不能被3整除的数的和是( )

8在四位数字173□中，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字,

所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？

3 获取练习答案

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