数理逻辑:1、预备知识

news2024/11/13 10:51:38

17.1 命题和联结词

​ 命题:可以判定真假的陈述句。(则悖论,祈使句,疑问句都不是命题)

​ 原子命题:不能被分割为更小的命题的命题

例如:

  1. 2既是素数又是偶数

    可以由$p: 2 是素数, 2是素数, 2是素数,q: 2 是偶数,由 2是偶数,由 2是偶数,由p\land q$联结得来

  2. 只有在天晴时,我们才去郊游

    可以有 p : p: p:天晴, q : q: q:去郊游,由 q → p q\rightarrow p qp联结得来(q蕴含p,郊游时一定天晴,但天晴时不一定去郊游)

常用的联结词

  1. 非: ¬ \neg ¬,表示否定
  2. 合取: ∧ \land ,表示并且
  3. 析取: ∨ \lor ,表示或
  4. 蕴含: → \rightarrow ,表示“如果…,则…”的意思
  5. 等价: ↔ \leftrightarrow ,表示当且仅当

命题

​ 形式化的递归定义,

​ 命题是一个符号串,满足:

  1. 字母集中每个元素都是命题
  2. 如果 P , Q P,Q P,Q是命题,那么 ¬ P , P ∧ Q , P ∨ Q , P → Q , P ↔ Q \neg P,P\land Q,P\lor Q,P\rightarrow Q,P\leftrightarrow Q ¬P,PQ,PQ,PQ,PQ也是命题
  3. 有限次使用1和2

但我们注意到,如此定义,会出现形如 P ¬ , ∧ Q P\neg ,\land Q P¬,Q的命题,这在日常生活中是不存在的,但从代数的角度是可以的,为此需要引入泛代数的概念

17.2 泛代数

​ 困难的一节。

:在群论中,我们指出,集合 A A A上的 n n n元运算实际上就是一个 n n n元单值函数 t : A n → A t: A^n\rightarrow A t:AnA,其中 n n n在之后就称为 t t t的元。

​ 在群G中,定义一个一元运算 i : G → G i:G\rightarrow G i:GG求逆元,即 i ( a ) = a − 1 i(a)=a^{-1} i(a)=a1

​ 对于0元运算,实际上是从集合 A 0 A^0 A0(只有一个元素,通常记为 ∅ \varnothing 到A上的函数),即 t 0 : ∅ → A t_0:\varnothing\rightarrow A t0:A,因此0元运算实质上是唯一对应了 A A A上的某个元素,故0元运算通常可视为 A A A中的一个特殊元素。

​ 在群论中,定义0元运算 e ∗ : ∅ → G , e ∗ ( ∅ ) = e e^*:\varnothing \rightarrow G,e^*(\varnothing) =e e:G,e()=e,其中 e e e为单位元,实际上 e ∗ e^* e给出了群G的单位元,之后我们将 e ∗ e^* e看作单位元 e e e,也可以把 e e e看作0元运算。

定义1 类型

​ 设 a r ar ar为集合 T T T到非负整数集 N N N的函数,则称集合 T T T和函数 a r ar ar为一个类型,记为 T = ( T , a r ) T=(T,ar) T=(T,ar),简记为 T T T。此外,令 T n = { t ∈ T ∣ a r ( t ) = n } T_n=\{t\in T| ar(t) =n\} Tn={tTar(t)=n}

定义2 T-代数

​ A是一个集合,T是一个类型,T中每个元素 t t t对应于 A A A上的一个函数: t A : A a r ( t ) → A t_A:A^{ar(t)}\rightarrow A tA:Aar(t)A,则称集合 A A A { t A ∣ t ∈ T } \{t_A|t\in T\} {tAtT}构成类型 T T T的一个代数 A A A,称为T-代数,元素 t ∈ T n t\in T_n tTn称为 n n n元T-代数运算

定义3 T-代数相等

​ T-代数A,B相等 ⟺ ∀ t ∈ T , t A = t B \Longleftrightarrow \forall t\in T,t_A=t_B tT,tA=tB,记为 T A = T B T_A=T_B TA=TB

定义4 T-子代数

​ 设A是一个T-代数,B为A的子集,如果将A上的运算限制在B上仍然构成一个T-代数,即:对任意的非负整数n,任意的 t ∈ T n . b 1 , b 2 , ⋯   , b n ∈ B t\in T_n.b_1,b_2,\cdots,b_n\in B tTn.b1,b2,,bnB,有 t A ( b 1 , ⋯   , b n ) ∈ B t_A(b_1,\cdots,b_n)\in B tA(b1,,bn)B成立(封闭的),则称B是A的一个T-子代数

定义5 T-代数同态

​ 设A,B是T-代数, φ \varphi φ是从A到B的映射,若对任意 t ∈ T , a 1 , ⋯   , a n ∈ A ( n = a r ( t ) ) t\in T,a_1,\cdots,a_n\in A(n=ar(t)) tT,a1,,anA(n=ar(t)),有 φ ( t A ( a 1 , ⋯   , a n ) ) = t B ( φ ( a 1 ) , ⋯   , φ ( a n ) ) \varphi(t_A(a_1,\cdots,a_n))=t_B(\varphi(a_1),\cdots,\varphi(a_n)) φ(tA(a1,,an))=tB(φ(a1),,φ(an)),则称 φ \varphi φ为从 A A A B B B的同态映射,当 φ \varphi φ是满射时,称A和B市同态的。

​ 特别地,当 φ \varphi φ是同态映射,且可逆时,称 φ \varphi φ为同构映射,称 A , B A,B A,B是同构的,此时逆函数 φ − 1 \varphi ^{-1} φ1是从B到A的同构映射。

定义6 自由T代数

​ 设X是集合,G是一个T-代数, σ \sigma σ为X到G的函数,若对每个T-代数A和X到A的函数 τ \tau τ,都存在唯一的G到A的同态映射 φ \varphi φ,使得 φ σ = τ \varphi \sigma = \tau φσ=τ,则称 G G G(更严格地说是 ( G , σ ) (G,\sigma) (G,σ))是生成集X上的自由T-代数。X中的元素为生成元。

在这里插入图片描述

引理1 自由T-代数中的内射

​ 若 ( G , σ ) (G,\sigma) (G,σ)是X上的自由T-代数,则 σ \sigma σ是内射

定理1 自由T-代数存在性

​ 对任何集合X和类型T,存在X上的自由T-代数,并且这种T-代数在同构意义下是唯一的。

​ 证明是复杂的, P227

​ 其中,出现了T-代数的构造方式:

T-代数的构造方式

  1. G 0 = T 0 ∪ X G_0 =T_0\cup X G0=T0X,假定 T 0 ∩ X = ∅ T_0\cap X =\varnothing T0X=
  2. 假定 G r G_r Gr已经确定,则

G n = { ( t , a 1 , ⋯   , a k ) ∣ t ∈ T k , k > 0 , a i ∈ G r i , ∑ k r i = n − 1 } G_n=\{(t,a_1,\cdots,a_k)|t\in T_k,k>0,a_i\in G_{r_i},\sum ^k r_i =n-1\} Gn={(t,a1,,ak)tTk,k>0,aiGri,kri=n1}

​ 其中 G 0 G_0 G0可理解为原子命题, G n G_n Gn可理解为做了一些逻辑运算的若干个命题。

​ 例如:

p , q ∈ G 0 , ¬ p ∈ G 1 , p ∧ q ∈ G 2 p,q\in G_0,\neg p \in G_1,p\land q \in G_2 p,qG0,¬pG1,pqG2

​ 一个例子

在这里插入图片描述

注意,第一个元素为运算,例子中的 → \rightarrow 为二元运算,所以后面要选择两个元素,而由于 F F F是零元的,所以在 n > 0 n>0 n>0时,不能取F

由这种构造方式,我们可以自然地得到一个推论

推论1

​ 设G是可列集 X = { x 1 , x 2 , ⋯   } X=\{x_1,x_2,\cdots\} X={x1,x2,}上地自由T-代数,则G中每个元素都是某个有限子集 X n = { x 1 , ⋯   , x n } X_n=\{x_1,\cdots,x_n\} Xn={x1,,xn}所生成地自由T-代数中的元素。

定义 7 T-代数变量

​ 一个T-代数变量是一个自由T-代数的自由生成集的元素。

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