NIPS 2020
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如何利用多个次优专家策略来引导智能体在线学习，后续有多个文章研究该设定下的RL。

Intro

论文探讨了在强化学习（RL）中，如何通过模仿多个次优策略（称为oracle）来提升策略性能的问题。模仿学习（Imitation Learning, IL）通过在训练期间使用oracle策略作为引导，减少了这种成本。然而实际情况下，学习者可以访问到多个次优的oracle，这些oracle在某些状态下可能会提供相互矛盾的指导。现有的模仿学习文献对这种情况的处理相对有限。
论文的主要贡献包括：

1. 提出了一个理论框架，用于从多个oracle中学习，特别是通过定义一个基于多个oracle策略价值函数最大值的基准线（max-aggregated baseline），来解决多个oracle之间冲突的建议。
2. 提出了一个新颖的模仿学习算法MAMBA（Max-aggregation of Multiple Baselines），它可以通过在线学习的方式，学习与max-aggregated baseline竞争的策略。MAMBA是一个基于广义优势估计（Generalized Advantage Estimation, GAE）风格的梯度估计器的一阶算法。
3. 提供了MAMBA的遗憾（regret）性能保证，并在实验中评估了MAMBA与标准策略梯度和AggreVaTe(D)算法的性能，展示了MAMBA利用单个和多个弱oracle进行演示的能力，并显著加快了策略优化的速度。 论文还讨论了如何选择在给定状态下切换不同oracle的点，以及是否可以学习一种可靠的规则来进行切换。

Method

文章设定智能体能够访问一组Oracle策略 Π e = { π k } k ∈ [ K ] \Pi^{\mathsf{e}}=\{\pi^{k}\}_{k\in[K]} Πe={πk}k∈[K]​。设$V^k:=V^{{\pi }^k}$表示策略对应的状态价值函数。为了防止多种Oracle给出矛盾的建议导致智能体在线优化，文章提出max-aggregated baseline
$$f^{\max }(s):=\underset{k\in [K]}{\max }{V}^k(s)$$
该值将作为一个目标，让智能体学习策略使得状态值函数大于该baseline。而此时需要完全了解MDP过程以及oracle准确的价值估计函数，这在IL中无法满足。因此，本文提出在线RL去逼近。
若$\hat{A}$表示$A^{{\hat{f}}^{\max }}$。采用基于优势函数$\hat{A}$的策略梯度方法优化
$$\nabla {\hat{\ell }}_n({\pi }_n)=-T{\mathbb{E}}_{s\sim d^{\pi n}}{\mathbb{E}}_{a\sim \pi |s}\left[\nabla \log \pi (a|s)\hat{A}(s,a)\right]{|}_{\pi ={\pi }_n}$$

该定理说明在一阶在线算法(一阶导数更新模型参数)的期望遗憾满足一定条件下，最大化下界max-aggregated baseline的期望，便最大化价值函数。而在单个oracle下, 基于MC近似估计的${\hat{f}}^{max}$是无偏估计。但是存在T倍方差。在多个Oracle下对$f^{max}$行无偏估计十分困难。因此本文采用基于类似TD-$\lambda$的加权估计方法，对其进行函数近似。优化目标可表示为
$${\ell }_n(\pi ;\lambda ):=-(1-\lambda )T{\mathbb{E}}_{s\sim d^{{\pi }_n}}\left[A_{\lambda }^{\max ,\pi }(s,\pi )\right]-\lambda {\mathbb{E}}_{s\sim d_0}\left[A_{\lambda }^{\max ,\pi }(s,\pi )\right]$$
其中加权优势函数为
$$\begin{gathered} A_{\lambda }^{\max ,\pi }(s,a):=(1-\lambda )\sum _{i=0}^{\infty }{\lambda }^i{A}_{(i)}^{\max ,\pi }(s,a) \\ {A}_{(i)}^{\max ,\pi }(s_t,a_t):={\mathbb{E}}_{{\xi }_t\sim {\rho }^{\pi }|s_t}[r(s_t,a_t)+\cdots +r(s_{t+i},a_{t+i})+f^{\max }(s_{t+i+1})]-f^{\max }(s_t) \end{gathered}$$

该优化目标的梯度满足以下定理

因此原问题梯度表示为$\nabla {\hat{\ell }}_n({\pi }_n;\lambda )=-T{\mathbb{E}}_{s\sim d^{{\pi }_n}}{\mathbb{E}}_{a\sim \pi |s}[\nabla \log \pi (a|s){\hat{A}}_{\lambda }^{\pi }(s,a)]{|}_{\pi ={\pi }_n}（17）$

$$\begin{gathered} \text{Lemma 4. Define }\hat{A}(s,a):=r(s,a)+{\mathbb{E}}_{s^{\prime }|s,a}[{\hat{f}}^{\max }(s^{\prime })]-{\hat{f}}^{\max }(s).\text{ It holds that for all }\lambda \in [0,1], \\ {\hat{A}}_{\lambda }^{\pi }(s_t,a_t)={\mathbb{E}}_{{\xi }_t\sim {\rho }^{\pi }|s_t}\left[\sum _{\tau =t}^{T-1}{\lambda }^{\tau -t}\hat{A}(a_{\tau },s_{\tau })\right]\text{(18)} \end{gathered}$$
基于上式，便可利用近似函数${\hat{f}}^{\max }$，通过采样轨迹数据获得无偏估计，并通过策略梯度方法优化策略。

伪代码