第二门课: 改善深层神经网络：超参数调试、正 则 化 以 及 优 化 (Improving Deep Neural Networks:Hyperparameter tuning, Regularization and Optimization)

第二周：优化算法 (Optimization algorithms)

2.1 Mini-batch 梯度下降（Mini-batch gradient descent）

本周将学习优化算法，这能让你的神经网络运行得更快。机器学习的应用是一个高度依赖经验的过程，伴随着大量迭代的过程，你需要训练诸多模型，才能找到合适的那一个，所以，优化算法能够帮助你快速训练模型。

其中一个难点在于，深度学习没有在大数据领域发挥最大的效果，我们可以利用一个巨大的数据集来训练神经网络，而在巨大的数据集基础上进行训练速度很慢。因此，你会发现，使用快速的优化算法，使用好用的优化算法能够大大提高你和团队的效率，那么，我们首先来谈谈 mini-batch 梯度下降法。

你之前学过，向量化能够让你有效地对所有𝑚个样本进行计算，允许你处理整个训练集，而无需某个明确的公式。

所以我们要把训练样本放大巨大的矩阵𝑋当中去，𝑋 = [$x^{(1)}{x}^{(2)}{x}^{(3)}\dots \dots x^{(m)})$]。𝑌也是如此，𝑌 = [$y^{(1)}{y}^{(2)}{y}^{(3)}\dots \dots y^{(m)}$]。

所以𝑋的维数是(𝑛𝑥, 𝑚)，𝑌的维数是(1, 𝑚)，向量化能够让你相对较快地处理所有𝑚个样本。如果𝑚很大的话，处理速度仍然缓慢。比如说，如果𝑚是 500 万或 5000 万或者更大的一个数，在对整个训练集执行梯度下降法时，你要做的是，你必须处理整个训练集，然后才能进行一步梯度下降法，然后你需要再重新处理 500 万个训练样本，才能进行下一步梯度下降法。所以如果你在处理完整个 500 万个样本的训练集之前，先让梯度下降法处理一部分，你的算法速度会更快，准确地说，这是你可以做的一些事情。

你可以把训练集分割为小一点的子集训练，这些子集被取名为 mini-batch，假设每一个子集中只有 1000 个样本，那么把其中的$x^{(1)}$到$x^{(1000)}$取出来，将其称为第一个子训练集，也叫做 mini-batch，然后你再取出接下来的 1000 个样本，从$x^{(1001)}$到$x^{(2000)}$，然后再取 1000个样本，以此类推。

接下来我要说一个新的符号，把$x^{(1)}$到$x^{(1000)}$称为$X^1$，$x^{(1001)}$到$x^{(2000)}$称为$X^2$，如果你的训练样本一共有 500 万个，每个 mini-batch 都有 1000 个样本，也就是说，你有 5000 个mini-batch，因为 5000 乘以 1000 就是 5000 万。

你共有 5000 个 mini-batch，所以最后得到是$X^{5000}$,对𝑌也要进行相同处理，你也要相应地拆分𝑌的训练集，所以这是$Y^1$，然后从$y^{(1001)}$到$y^{(2000)}$，这个叫$Y^2$，一直到$Y^{5000}$。mini-batch的数量𝑡组成了$X^t$和$Y^t$，这就是1000个训练样本，包含相应的输入输出对。

在继续课程之前，先确定一下我的符号，之前我们使用了上角小括号(𝑖)表示训练集里的值，所以$x^{(i)}$是第𝑖个训练样本。我们用了上角中括号[𝑙]来表示神经网络的层数，$z^{[l]}$表示神经网络中第𝑙层的𝑧值，我们现在引入了大括号𝑡来代表不同的mini-batch，所以我们有$X^t$和$Y^t$，检查一下自己是否理解无误。

$X^t$和$Y^t$的维数：如果$X^1$是一个有 1000 个样本的训练集，或者说是 1000 个样本的𝑥值，所以维数应该是(𝑛𝑥, 1000)，$X^2$的维数应该是(𝑛𝑥, 1000)，以此类推。因此所有的子集维数都是(𝑛𝑥, 1000)，而这些（$Y^t$的维数都是(1,1000)。

解释一下这个算法的名称，batch 梯度下降法指的是我们之前讲过的梯度下降法算法，就是同时处理整个训练集，这个名字就是来源于能够同时看到整个 batch 训练集的样本被处理，这个名字不怎么样，但就是这样叫它。

相比之下，mini-batch 梯度下降法，指的是我们在下一张幻灯片中会讲到的算法，你每次同时处理的单个的 mini-batch $X^t$和$Y^t$，而不是同时处理全部的𝑋和𝑌训练集。

那么究竟 mini-batch 梯度下降法的原理是什么？在训练集上运行 mini-batch 梯度下降法，你运行 for t=1……5000，因为我们有 5000 个各有 1000 个样本的组，在 for 循环里你要做得基本就是对$X^t$和$Y^t$执行一步梯度下降法。假设你有一个拥有1000个样本的训练集，而且假设你已经很熟悉一次性处理完的方法，你要用向量化去几乎同时处理 1000 个样本。

首先对输入也就是$X^t$，执行前向传播，然后执行$z^{[1]}=W^{[1]}X+b^{[1]}$，之前我们这里只有，但是现在你正在处理整个训练集，你在处理第一个 mini-batch，在处理 mini-batch 时它变成了$X^t$，即$z^{[1]}=W^{[1]}{X}^{(t)}+b^{[1]}$，然后执行$A^{[1]k}=g^{[1]}(Z^{[1]})$，之所以用大写的𝑍是因为这是一个向量内涵，以此类推，直到$A^{[L]}=g^{[L]}(Z^{[L]})$，这就是你的预测值。注意这里你需要用到一个向量化的执行命令，这个向量化的执行命令，一次性处理 1000 个而不是 500 万个样本。

接下来你要计算损失成本函数𝐽，因为子集规模是 1000，$J=\frac{1}{1000}{\sum }_{i=1}^{l}L({\hat{y}}^{(i)},y^{(i)})$ ，说明一下，这$L({\hat{y}}^{(i)},y^{(i)})$指的是来自于 mini-batch $X^t$和$Y^t$中的样本。

如果你用到了正则化，你也可以使用正则化的术语:

$J=\frac{1}{1000}{\sum }_{i=1}^{l}L({\hat{y}}^{(i)},y^{(i)})+\frac{\lambda }{2\ast 1000}{\sum }_l||w^{[l]}|{|}_F^2$，因为这是一个 mini-batch 的损失，所以我将𝐽损失记为上角标𝑡，放在大括号里（$J=\frac{1}{1000}{\sum }_{i=1}^{l}L({\hat{y}}^{(i)},y^{(i)})+\frac{\lambda }{2\ast 1000}{\sum }_l||w^{[l]}|{|}_F^2$）。

你也会注意到，我们做的一切似曾相识，其实跟之前我们执行梯度下降法如出一辙，除了你现在的对象不是𝑋，𝑌，而是$X^t$和$Y^t$。接下来，你执行反向传播来计算𝐽{𝑡}的梯度，你只是使用$X^t$和$Y^t$，然后你更新加权值，𝑊实际上是$W^{[l]}$，更新为$W^{[l]}:=W^{[l]}-\alpha d{W}^{[l]}$，对𝑏做相同处理，$b[l]:=b^{[l]}-\alpha d{b}^{[l]}$。

这是使用 mini-batch 梯度下降法训练样本的一步，我写下的代码也可被称为进行“一代”（1 epoch）的训练。一代这个词意味着只是一次遍历了训练集。

使用 batch 梯度下降法，一次遍历训练集只能让你做一个梯度下降，使用 mini-batch 梯度下降法，一次遍历训练集，能让你做 5000 个梯度下降。当然正常来说你想要多次遍历训练集，还需要为另一个 while 循环设置另一个 for 循环。所以你可以一直处理遍历训练集，直到最后你能收敛到一个合适的精度。

如果你有一个丢失的训练集，mini-batch 梯度下降法比 batch 梯度下降法运行地更快，所以几乎每个研习深度学习的人在训练巨大的数据集时都会用到，下一个视频中，我们将进一步深度讨论 mini-batch 梯度下降法，你也会因此更好地理解它的作用和原理。

2.2 理解 mini-batch 梯度下降法（Understanding mini-batch gradient descent）

在上周视频中，你知道了如何利用 mini-batch 梯度下降法来开始处理训练集和开始梯度下降，即使你只处理了部分训练集，即使你是第一次处理，本视频中，我们将进一步学习如何执行梯度下降法，更好地理解其作用和原理。

使用 batch 梯度下降法时，每次迭代你都需要历遍整个训练集，可以预期每次迭代成本都会下降，所以如果成本函数𝐽是迭代次数的一个函数，它应该会随着每次迭代而减少，如果𝐽在某次迭代中增加了，那肯定出了问题，也许你的学习率太大。

使用 mini-batch 梯度下降法，如果你作出成本函数在整个过程中的图，则并不是每次迭代都是下降的，特别是在每次迭代中，你要处理的是$X^t$和$Y^t$，如果要作出成本函数$J^t$的图，而$J^t$只和$X^t$,$Y^t$有关，也就是每次迭代下你都在训练不同的样本集或者说训练不同的 mini-batch，如果你要作出成本函数𝐽的图，你很可能会看到这样的结果，走向朝下，但有更多的噪声，所以如果你作出$Y^t$的图，因为在训练 mini-batch 梯度下降法时，会经过多代，你可能会看到这样的曲线。没有每次迭代都下降是不要紧的，但走势应该向下，噪声产生的原因在于也许$X^t$和$Y^t$是比较容易计算的 mini-batch，因此成本会低一些。不过也许出于偶然，$X^2$和$Y^2$是比较难运算的 mini-batch，或许你需要一些残缺的样本，这样一来，成本会更高一些，所以才会出现这些摆动，因为你是在运行 mini-batch 梯度下降法作出成本函数图。

你需要决定的变量之一是 mini-batch 的大小，𝑚就是训练集的大小，极端情况下:

如果 mini-batch 的大小等于𝑚，其实就是 batch 梯度下降法，在这种极端情况下，你就有了 mini-batch $X^1$和$Y^1$，并且该 mini-batch 等于整个训练集，所以把 mini-batch 大小设为𝑚可以得到 batch 梯度下降法。

另一个极端情况，假设 mini-batch 大小为 1，就有了新的算法，叫做随机梯度下降法，每个样本都是独立的 mini-batch，当你看第一个 mini-batch，也就是$X^1$和$Y^1$，如果 mini-batch 大小为 1，它就是你的第一个训练样本，这就是你的第一个训练样本。接着再看第二个 mini-batch，也就是第二个训练样本，采取梯度下降步骤，然后是第三个训练样本，以此类推，一次只处理一个。

看在两种极端下成本函数的优化情况，如果这是你想要最小化的成本函数的轮廓，最小值在那里，batch 梯度下降法从某处开始，相对噪声低些，幅度也大一些，你可以继续找最小值。

相反，在随机梯度下降法中，从某一点开始，我们重新选取一个起始点，每次迭代，你只对一个样本进行梯度下降，大部分时候你向着全局最小值靠近，有时候你会远离最小值，因为那个样本恰好给你指的方向不对，因此随机梯度下降法是有很多噪声的，平均来看，它最终会靠近最小值，不过有时候也会方向错误，因为随机梯度下降法永远不会收敛，而是会一直在最小值附近波动，但它并不会在达到最小值并停留在此。

实际上你选择的 mini-batch 大小在二者之间，大小在 1 和𝑚之间，而 1 太小了，𝑚太大了，原因在于如果使用 batch 梯度下降法，mini-batch 的大小为𝑚，每个迭代需要处理大量训练样本，该算法的主要弊端在于特别是在训练样本数量巨大的时候，单次迭代耗时太长。如果训练样本不大，batch 梯度下降法运行地很好。

相反，如果使用随机梯度下降法，如果你只要处理一个样本，那这个方法很好，这样做没有问题，通过减小学习率，噪声会被改善或有所减小，但随机梯度下降法的一大缺点是，你会失去所有向量化带给你的加速，因为一次性只处理了一个训练样本，这样效率过于低下，所以实践中最好选择不大不小的 mini-batch 尺寸，实际上学习率达到最快。你会发现两个好处，一方面，你得到了大量向量化，上个视频中我们用过的例子中，如果 mini-batch 大小为1000 个样本，你就可以对 1000 个样本向量化，比你一次性处理多个样本快得多。另一方面，你不需要等待整个训练集被处理完就可以开始进行后续工作，再用一下上个视频的数字，每次训练集允许我们采取 5000 个梯度下降步骤，所以实际上一些位于中间的 mini-batch 大小效果最好。

用 mini-batch 梯度下降法，我们从这里开始，一次迭代这样做，两次，三次，四次，它不会总朝向最小值靠近，但它比随机梯度下降要更持续地靠近最小值的方向，它也不一定在很小的范围内收敛或者波动，如果出现这个问题，可以慢慢减少学习率，我们在下个视频会讲到学习率衰减，也就是如何减小学习率。

如果 mini-batch 大小既不是 1 也不是𝑚，应该取中间值，那应该怎么选择呢？其实是有指导原则的。

首先，如果训练集较小，直接使用 batch 梯度下降法，样本集较小就没必要使用 minibatch 梯度下降法，你可以快速处理整个训练集，所以使用 batch 梯度下降法也很好，这里的少是说小于 2000 个样本，这样比较适合使用 batch 梯度下降法。不然，样本数目较大的话，一般的 mini-batch 大小为 64 到 512，考虑到电脑内存设置和使用的方式，如果 minibatch 大小是 2 的𝑛次方，代码会运行地快一些，64 就是 2 的 6 次方，以此类推，128 是 2 的7 次方，256 是 2 的 8 次方，512 是 2 的 9 次方。所以我经常把 mini-batch 大小设成 2 的次方。在上一个视频里，我的 mini-batch 大小设为了 1000，建议你可以试一下 1024，也就是2 的 10 次方。也有 mini-batch 的大小为 1024，不过比较少见，64 到 512 的 mini-batch 比较常见。

最后需要注意的是在你的 mini-batch 中，要确保𝑋{𝑡}和𝑌{𝑡}要符合 CPU/GPU 内存，取决于你的应用方向以及训练集的大小。如果你处理的 mini-batch 和 CPU/GPU 内存不相符，不管你用什么方法处理数据，你会注意到算法的表现急转直下变得惨不忍睹，所以我希望你对一般人们使用的 mini-batch 大小有一个直观了解。事实上 mini-batch 大小是另一个重要的变量，你需要做一个快速尝试，才能找到能够最有效地减少成本函数的那个，我一般会尝试几个不同的值，几个不同的 2 次方，然后看能否找到一个让梯度下降优化算法最高效的大小。希望这些能够指导你如何开始找到这一数值。

你学会了如何执行 mini-batch 梯度下降，令算法运行得更快，特别是在训练样本数目较大的情况下。不过还有个更高效的算法，比梯度下降法和 mini-batch 梯度下降法都要高效的多，我们在接下来的视频中将为大家一一讲解。